人教B版高中数学必修第二册6-2-3平面向量的坐标及其运算练习含答案

6.2.3平面向量的坐标及其运算基础过关练题组一平面向量的坐标表示1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是()A.(3,4),(2,-2)B.(2,3),(-2,-3)C.(2,3),(2,-2)D.(3,4),(-2,-3)2.(2023安徽马鞍山二中质检)如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则AB=()A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j3.(2022湖南长沙明德中学期中)已知A(1,2),B(5,4),C(x,3),D(-3,y),且AB=A.-7,-5B.7,-5C.-7,5D.7,54.已知{a,b}是平面向量的一组基底,若m=xa+yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标.给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a-b,a+b}下的坐标为.

题组二平面向量的坐标运算5.(2024河北保定期末)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正实数m,n满足c=ma+nb,则1mA.7C.46.(2024广东揭阳期中)已知点O(0,0),向量OA=(2,3),A.14C.147.(多选题)(2023河北石家庄期中)已知向量AB=(1,2),A.BC=(-3,2)B.|AC|=2|C.ABD.与AB8.(多选题)(2024河北石家庄期中)如图所示,给出下列四个结论,其中正确的是()A.PQ=32a+32bB.PTC.PS=32a-12bD.PR9.(2022江苏南京师范大学附属中学期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).在以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线中,较长的对角线的长为()A.42C.21310.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),a,b,c,d∈R,规定运算“⊗”:m⊗n=(ac-bd,bc+ad),运算“※”:m※n=(a+c,b+d).设f=(p,q),若(1,2)⊗f=(5,0),则(1,2)※f等于()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)11.(2024黑龙江牡丹江期末)已知向量a=(1,x),b=(x-2,x),若|a+b|=|a-b|,则实数x等于.

12.(2023山东潍坊期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,DM=(1)若MN=λAB+μAD(2)用向量AM,题组三向量平行的坐标表示13.(2024陕西宝鸡期末)设向量a=(2,-1),b=(m,2)(m∈R),若向量a与a-b共线,则a+b=()A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-4,2)D.(-2,-4)14.(2024安徽合肥期末)已知向量a=(-1,3),b=(1,2),c=(2,m),若b-c与a-c共线,则实数m=.

15.(2024安徽池州期末)已知向量a=(4,-2),b=(-2,λ)(λ∈R),且a与b共线,则|3a+2b|=.

16.向量a,b,c在正方形网格(每个小正方形的边长为1)中的位置如图所示,若向量λa+b(λ∈R)与c共线,则|λa-b|=.

17.(2024辽宁锦州期末)平面内给定两个向量a=(1,2),b=(-3,2).(1)若(ka+2b)∥(2a-4b),求实数k的值;(2)若向量c为单位向量,且|c-b|=25,求c的坐标.能力提升练题组一平面向量的坐标运算1.(多选题)(2024安徽安庆期中)在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是()A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)2.将一圆周的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角形去掉内部六条线段后可以形成一个正六角星,如图所示的正六角星以原点O为中心.若以O为始点,正六角星的12个顶点为终点的有向线段所表示的向量都能写成ax+by(a,b∈R)的形式,则a+b的最大值为()A.2B.3C.4D.53.(2024贵州黔西期末)窗花是贴在窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,在正八边形ABCDEFGH中,若AE=λAD+μAG图1图2A.2B.2C.24.已知正方形PQRS的两条对角线交于点M,坐标原点O不在正方形内部,OP=(0,3),OS=(4,0),则向量A.1C.75.(2022广东广州期中)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为线段AB上靠近点B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点(包含端点).(1)用OA和(2)设OB=λ题组二向量平行的坐标表示6.(多选题)(2024黑龙江大庆开学考试)已知向量OA=(1,−3),A.-2B.127.(2022山东省实验中学三诊)设向量OA=(1,−2),OB=(a,−1),A.4B.6C.8D.98.(2022浙江宁波北仑中学期中)已知两点P1(2,-1),P2(-1,3),点P在直线P1P2上,且|P1P|=

答案与分层梯度式解析6.2.3平面向量的坐标及其运算基础过关练1.C2.C3.C5.A6.C7.ABD8.ACD9.B10.B13.A1.C根据题中的平面直角坐标系,可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.2.C记O为坐标原点,则OA=2i+3j,OB=4i+2j,所以AB=OB−3.C易得AB=(4,2),∵AB=CD,4.答案-解析由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),得p=a+2b.设p在基底{a-b,a+b}下的坐标为(m,n),则p=m(a-b)+n(a+b),所以p=(m+n)a+(n-m)b,所以m所以p在基底{a-b,a+b}下的坐标为-15.A因为a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),所以2m6.C因为OA=(2,3),所以AB=又因为点P是线段AB的三等分点,所以AP=所以OP=即点P的坐标为1437.ABDBC=AC−AB=(-2,4)-(1,2)=(-3,2),A∴|AC|=2|AB|,B正确;因为1×4≠2×(-2),所以AB与AC不平行,C错误;与AB8.ACD设每个小方格的长度为1,则a=(1,1),b=(-1,1).对于A,PQ=(0,3),设PQ=m1a+n1b(m1,n1∈R),则(0,3)=(m1-n1,m1+n1),解得m1=n1=32,故PQ=32a+32对于B,PT=(3,0),设PT=m2a+n2b(m2,n2∈R),则(3,0)=(m2-n2,m2+n2),解得m2=32,n2=−32,故对于C,PS=(2,1),设PS=m3a+n3b(m3,n3∈R),则(2,1)=(m3-n3,m3+n3),解得m3=32,n3=−12,故PS=3对于D,PR=(1,2),设PR=m4a+n4b(m4,n4∈R),则(1,2)=(m4-n4,m4+n4),解得m4=32,n4=12,故PR=39.B以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为|AB+因为A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),所以AB=(3,5),所以AB+所以|AB+因为210>4210.B由(1,2)⊗f=(5,0),得p所以f=(1,-2),所以(1,2)※f=(1+1,2-2)=(2,0).11.答案1或-2解析∵a+b=(x-1,2x),a-b=(3-x,0),∴|a+b|=(x-1)2+4x2又∵|a+b|=|a-b|,∴x2+x-2=0,解得x=1或x=-2.12.解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,1),B(2,0),C(2,1),M23(1)易得MN=因为MN=λAB+μAD,即4−1(2)由题可设AE=tAC,AC=mAM所以(2,1)=23m+2即AC=37又因为M,E,N三点共线,所以37t+67t=1,解得t=13.A由题意得a-b=(2-m,-3),若向量a与a-b共线,则2×(-3)=-(2-m),解得m=-4,则b=(-4,2),所以a+b=(-2,1).14.答案3解析∵a=(-1,3),b=(1,2),c=(2,m),∴b-c=(-1,2-m),a-c=(-3,3-m),∵b-c与a-c共线,∴-1·(3-m)-(-3)(2-m)=0,解得m=3215.答案45解析因为a与b共线,所以4λ-(-2)×(-2)=0,解得λ=1,所以b=(-2,1),所以3a+2b=(8,-4),所以|3a+2b|=8216.答案13解析建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),∴λa+b=(λ,λ-1).∵λa+b与c共线,∴λ-2(λ-1)=0,∴λ=2,∴λa-b=2(1,1)-(0,-1)=(2,3),∴|λa-b|=13.17.解析(1)ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4),因为(ka+2b)∥(2a-4b),所以(k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0,解得k=-1.(2)设向量c=(x,y),因为向量c为单位向量,所以|c|=x2+y又因为c-b=(x+3,y-2),所以|c-b|=(x+3由①②解得x所以c=(1,0)或c=513能力提升练1.BCD2.D3.A4.D6.ABD7.C1.BCD设第四个顶点为C(x,y),当OA是平行四边形OBAC的对角线时,有CA=OB,即(1-x,1-y)=(3,0),解得当OB是平行四边形OABC的对角线时,有AB=OC,即(2,-1)=(x,y),解得当OC是平行四边形OACB的对角线时,有AC=OB,即(x-1,y-1)=(3,0),解得故选BCD.2.D建立如图所示的平面直角坐标系.设x=(1,0),则y=-3由OA=ax+by得a则a+b=4.同理,可得OB,OC对应的a+b的值分别为5,1,由对称性知OD,OE3.A不妨设AB=2,以点A为坐标原点,AB,AF所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.因为正八边形内角和为(8-2)×180°=1080°,所以∠HAB=18所以D(2+2,2+所以AE=(2,2+2因为AE=λ所以(2,2+22)=λ(2+所以2=(2+解得λ=22-2,4.D由OP=(0,3),OS=(4,0),得P(0,3),S(4,0).根据题意作出如图所示的正方形PQRS,过R作RN⊥x轴,垂足为N,易知Rt△OSP≌Rt△NRS,所以SN=OP=3,RN=OS=4,则ON=7,所以点R的坐标为(7,4),所以RM=15.解析(1)因为M为线段AB上靠近点B的三等分点,所以MA=又CB∥OA,且OA=2BC,故CB=则OM=OA−(2)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),因为点P在线段BC上运动(包含端点),所以可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,则OB=(1,1),CA=(2,−1),则μ=3m+2,λ=μ-1,因为m∈[0,1],所以m+2∈[2,3],故μ∈1,326.ABD由题意得AB=若以A,B,C为顶点