盐城市2017-2018年高二年级下册期末教学质量检测数学试题含解析

盐城市重点名校2017-2018学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

11J（1〕

1.若数列｛q｝满足--------=d（neN*，d为常数），则称数列｛4｝为调和数列.已知数列一为

an-\an[Xn/

调和数列，且石+々+…+々0=200,则为5+石6=（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【解析】

分析：由题意可知数列｛七｝是等差数列，由等差数列的性质得%+々0=毛+/6

石+々+）.20=105+石6），得龙5+尤16=20

详解：数列二为调和数列

.••｛%”｝为等差数列，

由等差数列的求和公式得，为+4+X汨（）；2）.20=lQc+x）

%+*2+x20=200

.〔玉+x年20

由等差数列的性质%+%20=x5+玉6

.+.6=20

故选B

点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联

系是解题关键.

2.甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人

不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（）

A.30B.42C.50D.58

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意将4人分成3组，再进行排列，两步完成.

【详解】

第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法

第二步，将3组同学分配到3所学校，有用=6种分法

所以共有5x6=30种分配方法

故选:A

【点睛】

解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.

3.某次文艺汇演为，要将A,B,C,D,E,F这六个不同节目编排成节目单，如下表:

序号123456

节目

如果A,B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有（）

A.192种B.144种C.96种D.72种

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意知A3两个截面要相邻，可以把这两个与少奶奶看成一个，且不能排在第3号的位置，可把A3两

个节目排在1,2号的位置上，也可以排在4,5号的位置或5,6号的位置上，其余的两个位置用剩下的四个

元素全排列.

【详解】

由题意知A8两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置，

可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，

A,8两个节目可以排在1,2两个位置，可以排在4,5两个位置，也可以排在5,6两个位置，

所以这两个元素共有C&=6种排法，

其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，

所以所有节目共有=6x24=144种不同的排法，故选B.

【点睛】

本题考查了排列组合的综合应用问题，其中解答时要先排有限制条件的元素，把限制条件比较多的元素

排列后，再排没有限制条件的元素，最后再用分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解

答问题的能力.

4.点q、§在以pg为直径的球。的表面上，且qs_mg，=2,BC=若球,0的表面积是'二;y，则异

面直线和所成角余弦值为（）

B.C.D.

To

10

【答案】C

【解析】

【分析】

首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线PB和」「所成角，通过余弦定理即可得到

答案.

【详解】

设球。的半径为7TH£=24T故2=、石，如图所示:分别取PA,PB,BC的中点M,N,E,连接MN,NE,ME,AE,

易知，平面/5U由于所以AC=7AB：+8小=2次，所以PA=、M一心=2,因为

E为BC的中点，则J/_,~）由于M,N分别为PA,AB的中点，则）,「.；■■PB，且

MN=7AM2+AN2=、①同理NE//AC'且1万_，所以，异面直线PB和AC所成角为乙UNE或

NE=-AC=v5

其补角,且对，=疝/不后=3,在AMNE中'MN=遮,.V£=%5,ME=3»由余弦定理得:

=因此异面直线PMC所成角余弦值为二，故选c・

2MNNE1010

【点睛】

本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能力，计算能力和转

化能力，难度较大.

&2Q3r\2

5.已知a=（—户，b=（一）=，c=（一户，贝！1（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】

22

分别考查指数函数y=（z）'在R上单调性和塞函数V-/在（0,+00）上单调性即可得出.

5y_x

【详解】

232

•；y=（1）"在R上为减函数，—>—,b<c.

232

又在（0，+8）上为增函数，—>—,

“55

a>c,/.b<c<a.

故选：D

【点睛】

熟练掌握指数函数和塞函数的单调性是解题的关键.

6.设aeR,贝！|"a=l”是“直线（：依+2,_4=0与4：x+（a+l）y+2=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

先由直线乙与乙平行，求出。的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】

因为直线4:ox+2y—4=0与4:x+（a+l）y+2=0平行，所以。（。+1）—2=0,

解得。=1或a=-2,

又当a=—2时，小龙—y+2=0与42：x—y+2=0重合，不满足题意，舍去；

所以。=1；

由“=1时，与4分别为4：x+2y—4=0,l2;x+2y+2=0,显然平行；

因此“a=1”是“直线/】：依+2y—4=0与/2：x+（a+Dy+2=0平行”的充要条件；

故选C

【点睛】

本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.

7.已知点P（2®6）为双曲线三-丁=］上一点，则它的离心率为。

【答案】B

【解析】

【分析】

计算离心率。

将点P带入求出a的值，再利用公式e=£1+4

a

【详解】

将点P带入得一■—3=1,解得“2=3

a

所以e，

a’4/

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，属于基础题。

8.某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男

生当选的人数记为则J的数学期望为()

16203240

卜.---B.--c.—D.

131313TI

【答案】C

【解析】

分析：先写出4的取值，再分别求J的概率，最后求4的数学期望.

详解：由题得』=0,1,2,3,4.

PC=0)=条P记=1)=器-PC=2)=与里，PC=3)=与袅PC=4)=§^.所

。52。52。52。52。52

以心=0x殍+卜安^+2*三舁+3乂4^+4*■^^=兰

C52C52C52C52C5213

故答案为：c

点睛：(1)本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)

离散型随机变量的数学期望=%门+々P2++xnpn.

12

—x+2%,0＜九＜4

9.已知函数/(x)=＜2'，若方程/(%)=加有三个实数根玉,％2，毛，且石＜X2＜不，

ln(x-3),x〉4

则%-玉々的取值范围为()

A.[5—21n2,4)B.[5-21n2,e2-l)

C.[4+211121-1)D.[3-ln2,5+21n2)

【答案】B

【解析】

【分析】

先将方程/（%）=加有三个实数根，转化为y=/（x）与>=，"的图象交点问题，得到机的范围，再用相

表示七一%％=em+3-2wi,me（0,2）,

令g（加）=e"'+3-2私加e（0,2）,利用导数法求g（间的取值范围即可.

【详解】

12

/、—x+2x,0<x<4

已知函数/'（%）=2,

ln（x-3）,x>4

其图象如图所示：

因为方程/（x）=m有三个实数根，

所以0<加<2,

令A——1x2+2cx=m,

2

得玉％2=2m9

令ln（x_3）=加，

所以F=e"+3,

所以七一百九2=*+3-2m,me（0,2）,

令g（m）=em+3-2m,mG（0,2）,

所以g'（m）=e"—2,

令g'（机）=em—2=0,得力=In2,

当0<根<ln2时，g'（相）<0,当/n2<nt<2时，g'（机）>0,

所以当加=ln2时，g（加）取得极小值5-21n2.

又g（0）=4,g（2）=/-1,

所以g（"）的取值范围是：［5-2如2超2-1）.

即无3—王W的取值范围为［5—2In2,e2-l）.

故选：B

【点睛】

本题主要考查函数与方程,导数与函数的单调性、极值最值,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,

属于难题.

10.运行下列程序，若输入的。，q的值分别为65,36,则输出的的值为

/魁人

5<94?>^

A.47B.57

C.61D.67

【答案】B

【解析】

分析：按照程序框图的流程逐一写出即可

详解：第一步：p=65,4=36nS=101

第二步：p=67,q=31nS=98

第三步：p=69,q=26nS=95

第四步：p=71,q=21nS=92

最后：输出p=73,q=16.p-q=51,故选B.

点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之

间的关系式.

22

11.椭圆C:彳+2?=1（"＞沙＞0）的左焦点为尸，若尸关于直线x+y=o的对称点A是椭圆。上的点，

则椭圆的离心率为（

73C.72-1D.出-1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用点厂（―c,0）关于直线x+y=O的对称点A（O,c）,且A在椭圆上，得6=c,即得椭圆C的离心率;

【详解】

•••点F（-c,O）关于直线x+y=0的对称点A为A（O,c）,且A在椭圆上，

即Z?2=c2,:.c=b,

椭圆C的离心率e==也.

Vtz2\b2+c22

故选A.

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题.

12.球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的），经过这3个点的小圆周长为4万，

6

那么这个球的半径为（）

A.4若B.2百c,2D.Q

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

在正三角形ABC中，应用正弦定理得AB=2rsin600=2v3.

因为ZAOB=3=夕所以侧面A0BB1EH角形得球悔/?=OA=AB=2V3.

解法三:因为正三角形ABC的外径r=2,故高AD=:=3,。是BC的中点.

2

:C

解：1±/\OBCP,BO=CO=RI^BOC=^^JT^BC=BO=R,BD=-BC=-R.

322

在/?[△"£）中,AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得炉=+9，所以R=2\3.

故选B.

二、填空题：本题共4小题

13.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（填序号）.

①某宾馆每天入住的旅客数量是X；

②某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③西部影视城一日接待游客的数量X；

④阅海大桥一天经过的车辆数是X.

【答案】②

【解析】

【分析】

利用离散型随机变量的定义直接求解.

【详解】

①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；

②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.

故答案为：②

【点睛】

本题考查离散型随机变量的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的定义的合理运用，

比较基础.

V2

14.已知点P(0,1),椭圆一+y2=m(m>l)上两点A,B满足AP=2pB，则当m=时，点B横

4

坐标的绝对值最大.

【答案】5

【解析】

分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数

关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.

详解：设4%,必),5(>2，%)，由AP=2P6得一%=2%2/-必=2(%-1)，二一%=2y2-3,

因为A,B在椭圆上，所以工+才=私二+学=m,

44

22

4X27x2,3、2m

「.一j—\-(2y-3)=m,.\——+(y2--)，

42424

Y23+VH1

与三二+y；="2对应相减得%=-q—，考=--(m2-10根+9)<4,当且仅当m=5时取最大值.

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为

在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助

于函数最值的探求来使问题得以解决.

15.从编号为0,1,2,…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28

的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为__

【答案】1

【解析】

【分析】

确定系统抽样间隔.=根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案.

【详解】

由系统抽样知，抽样间隔，

k=y=16

因为样本中含编号为28的产品，

则与之相邻的产品编号为12和44,

故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,1,即最大编号为1.

【点睛】

本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着

重考查了运算与求解能力，属于基础题.

16.若(1+2%)”的二项展开式中的第3项的二项式系数为15,则(1+2%)”的展开式中含/项的系数为

【答案】160.

【解析】

分析：先根据二项式系数求n,再根据二项式展开式通项公式求含三项的系数.

详解：因为(l+2x)"的二项展开式中的第3项的二项式系数为15,所以C；=15.”=6,

r3

因为(1+2x)"的展开式中Tr+1=Q2'x,所以含三项的系数为C^2=160.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出升值,

最后求出其参数.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设集合用={%,%2,…,％3.}=N*(nuN*),如果存在Af的子集A={%,%,,«„},

6=但也，,r},C={q,C2L，j}同时满足如下三个条件：

①BC；

②A,B,。两两交集为空集；

③a,.+舟=c,(z=1,2,3,­•­,n),则称集合M具有性质Q.

(I)已知集合石={L2,5,6,7,9},尸={1,2,3,4,5,6},请判断集合E,尸是否具有性质。，并说明理由；

(II)设集合％,={1,2,…,3租}(meN*),求证：具有性质。的集合区.有无穷多个.

【答案】(I)不具有，理由见解析；(II)证明见解析

【解析】

【分析】

(I)由条件易得集合E具有性质。，对集合产中的6进行讨论，利用题设条件得出集合F不具有性质。；

(H)利用反证法，假设具有性质。的集合“有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质。的

集合“有无穷多个.

【详解】

解：(I)E={1,2,5,6,7,9}具有性质。，如可取A={1,2},3={5,7},C={6,9}；

产={1,2,3,4,5,6}不具有性质Q；理由如下：

对于产中的元素6,1+5=6或者2+4=6

如果1+5=6,那么剩下3个元素2,3,4,不满足条件；

如果2+4=6,那么剩下3个元素1,3,5,也不满足条件.

因此，集合尸={1,2,3,4,5,6}不具有性质Q.

(II)证明：假设符合条件的只有有限个，设其中元素个数最多的为“乃.

对于“外，由题设可知，存在4={4,。2，，4"，3={4也，，1}G={。1，。2，，5}满足条件.构

造如下集合

A={2q,2a2，,2a恤,1,3,,6%一“

B[=2b2,,21,9%,97阳一1,,6%+“

G={2q,2c2，,2c恤,9mo+1,9%+2,,12%}

由于,。恤‘4也’力吗，。,©?,＜私}={1,2,3,,3%}

所以{2q,2a2，,2%,2b.瓦,,2%,2ci，2c,2c%}={2,4,6,,6%}

易验证4，B],G对集合={L2,…，12%}满足条件，而4mo＞为

也就是说存在比M,%的元素个数更多的集合具有性质Q,与假设矛盾.

因此具有性质Q的集合有无穷多个.

【点睛】

本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题.

18.选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x—2]

(I)解不等式/(x)+/(2x+l)N6；

(II)对。+〃=1(。力＞0)及VxeR,不等式—m)—x)＜：+g恒成立，求实数的取值范

围.

【答案】(I)ST[3,4W).

(II)-13<m<5.

【解析】

【分析】

【详解】

3c-3cx,x<—1,

x+1,—<x<2,

2

3x-3,x>2.

当x<一时，由3-3%>6,解得％<-1；

2

当，<犬<2时，冗+126不成立；

2

当%>2时，由3%—326,解得xN3.

所以不等式/(力26的解集为［3,+a)).

(II)因为Q+b=l(Q,〃>0),

所以一+—=(〃+/?)—+-=5+—+—>5+2J----=9.

ab\abJabNab

由题意知对DXEE,|x—2—加1—卜］—2|<9,

即(|%—2—时T—X—2|)max<9,

因为|x—2—对一|—x—21<—2—m)一(x+2、=|-4—zn|,

所以—9+4W9,解得一13〈加45.

【点睛】

(1)绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有:

①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法.

⑵不等式的恒成立可用分离变量法.若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，

从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也是求最值.一般有：

®/(x)<g(a)(。为参数)恒成立og(a)>/(x)1mx

②/(x)>g(a)(。为参数)恒成立og(a)</(x)1mx.

19.已知A(石,yj,3(%2，%)为抛物线V=16x上的相异两点，且%+%=8.

(1)若直线AB过M(2,0),求AB的值；

(2)若直线AB的垂直平分线交X轴与点尸，求△PA3面积的最大值.

【答案】(1)4而(2)生还

9

【解析】

【分析】

(1)设直线的方程为“=%-机，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，

计算可得所求值；

(2)设线段的中点为MQ。，%),运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直线方程，可得尸的

坐标，

设出直线的方程代入抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，化简整理,

结合基本不等式可得所求最大值.

【详解】

解：(1)当垂直于工轴或斜率为零时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为“=x-机，

代入方程y=16%,得y-16》一16根=0

A=(161)2+4x16加>0

故<M+%=6

%%--16m

…一才+£(%+为『-2%y2T.

9

兀十———o

1616

结合机=2解得

4

因此，|AB|=Jl+/—%=Jl+/JQ6t¥+4>16m=4\/15.

(2)设线段AB的中点为%),

2f二16二8

则/=岩=4,配丁一丁,

二支%y0-

线段AB的垂直平分线的方程是y-%=-卷(％-4),①

由题意知x=12,y=o是①的一个解，

所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，

且点尸坐标为(12,0).

8/八

直线AB的方程为y-%=—(X-4),

%

即尤=普0-%)+4,②

O

②代入>2=16%得y2=2%(y-%)+64,即9-2戏+2y；-64=0,③

依题意，%,y2是方程③的两个实根，且%#%,

所以△=4y；—4(2y：-64)>0,即一8<%<8.乂+%=2%，％%=24-64，

「

IAB\=&XX2¥+5一％了=J(1+1)[(必+%)?-4必%]=J(1+工)(4%2_8;^+256)

11--------------------------------------

=公&64+%2)(64-%2),

点尸(12,0)到线段AB的距离h=\PM\^J(12_4)2+(0_%)2=,64+年,

22264

•­-S^BP=^)(64-y0)„晶(+%2+64+：2+128.2%2)；=等6.

ZooV23y

当且仅当64+128—2必，即%=±半时，上式取得等号.

所以AA3尸面积的最大值为书而.

【点睛】

本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值

的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用，属于中档题.

Y

20.函数/(%)=■；—(尤<0),令力(x)=y(x),f(x)=f(f(x))neN.

1-xn+ln

(1)求力(X),力(X)并猜想力(X)的表达式(不需要证明)；

(2)g(x)=%,(x)与x-25y-"=0相切，求〃的值.

【答案】(1)见解析；(2)4

【解析】

【分析】

(1)分别求出力(龙)和力(尤)的解析式，结合函数工(%)的解析式归纳出函数力(力的解析式；

（2）设切点P（x°，%），由函数y=g（x）在点尸处的切线斜率等于直线无一25y—〃=0,

以及点P为直线x-25y-〃=0与函数y=g（x）图象的公共点，利用这两个条件列方程组求出n的值。

【详解】

X

（1）0〉）=/•（/；（%））=i-；

11-2x

1-x

X

于3(X)=/■伉(切=J2；”=—•

1%1-3%

Y

猜想力(x)=:一(x<0,neN).

1-nx

（2）设切点为P（Xo，%），

X1

g(x)=g'(%)二

1-nx(1-nx)2

711

切线斜率％=^=ET(x<°'nwN"),

4

解得％o=—.

n

_4

所以y0=7^-n4

l-nx,45n

1+n--

n

4416

所以“=x0—25%=——+25・=-=一,解得〃=4.

n5nn

【点睛】

本题考查归纳推理、导数的几何意义，在处理直线与函数相切的问题时，抓住以下两个基本点:

（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；

（2）切点为切线与函数图象的公共点。

另外，在处理直线与二次曲线或反比例型函数图象相切的问题，也可以将直线与曲线方程联立，利用判别

式为零处理。

21.某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x

元+21

（万元）满足「一（其中0<x<a,a为正常数）.已知生产该产品还需投入成本6m+——-万

41

m—

I1）

元（不含促销费用），产品的销售价格定为14+个）元/件.

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;

(2)促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大?

【答案】(1)y=29-|lx+^1j(O<^<a)(2)当a»4时，利润最大值为17万元，当“<4时，最

大利润29-1万元

【解析】

【分析】

(1)利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本;

(2)可有对勾函数的的单调性求得最大值.

【详解】

(、

1

(1)y=4H-----\m—x—6m+

1

lmJm—

27

x+2

将丁代入

_cc/x+21

y=x+2+30-x-6-------

14JC

℃/x14

=32—6——I---1——

U2X

=29-二-2

2x

=29--^-|x+—16j(0<x<a)

x

(2)令g(无)=尤+3,g(x)在(0,4)单减，(4,+8)单增

X

•••gOXnin=g(4)=8

.♦.当时，利润最大值为17万元

当〃<4时，最大利润—+万元

【点睛】

本题考查函数的应用，解题关键是确定关系式求得函数解析式，然后通过函数解析式求得最值等.

X1

22.已知=-----.

(1)求证:-X—/+120恒成立;

(2)试求/(X)的单调区间；

(3)若q=l,«„+1=/(«„),且4>0,其中〃eN*，求证：4>4+1恒成立.

【答案】(1)证明见解析；(2)单调递增区间为(-8,0),(0,y)，无单调递减区间。(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)构造函数g(x)=/x—/+1,利用导数求出函数y=g(x)的最小值，利用g(x)而/。来证明所证

不等式成立；

(2)先解等式三二1〉。可得出函数y=/(x)的定义域，求出该函数的导数/'(%),利用(1)中的结论

X

得出了'(x)>0在定义域内恒成立，由此可得出函数y=/(x)的单调区间；

(3)证法一：利用分析法得出要证区,>4+1，即证%/”+1>0,利用数学归纳法和单调性证明出

%>0对任意的〃eN*恒成立，再利用(1)中的不等式即可得证；

证法二：利用数学归纳法证明4>a.+i，先验证当”=1时，不等式成立，即a1>/，再假设当"=左时

不等式成立，即4>4+],利用函数y=/(X)的单调性得出4+1>4+2，由归纳原理证明所证不等式成

【详解】

(1)令g(x)=e"x—e*+l,则g'(x)=e*x,由g'(x)>0得x〉0,由g'(x)<0得x<0.

函数y=g(x)在(f,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

\g(x)?g(0)0,即-x—产+lNO恒成立；

(2)由幺二■〉()得x〉0或x<0,.,.函数y=/(x)的定义域为(fo,0)u(0,+8),

X

因为r(x)=yTexx-ex+1

-ij

由(1)可知当"0时，e*x—靖+1>0恒成立，且x(e-l)〉0,.,"'(x)>0.

二函数y=/(%)单调递增区间为(―，。)，(。,+“)，无单调递减区间;

e4_]_]

(3)证法一：Qan+,=f(an)=In-----,要证a“>a“+i，即证a.>ln------

4册

e"〃—1

即证e“">-----,即证a,/2"—e%+l>0.

先证对任意x〉0,/(x)>0,即1〉1,即/—1>龙.

构造函数g(x)=e'—xT,其中x〉0,贝!Jg'(x)=e，-l>0,

则函数y=g(x)在(0,+oo)上单调递增,g(x)>g(0)=0,

所以，对任意的x〉0,ex-l>x，即^-->1,.-.f(x)=ln--->0.

XX

下面证明对任意的〃eN*，an>0.

q>0,a2=/(4)>0.

假设当”=左(左eN*)时，ak>Q,贝!|当〃=左+1时，ak+1=f(ak)>0.

由上可知，对任意的〃eN*，«„>0.

xxaa

由(1)可知，当x〉0时，ex-e+1>0,。“>0，ane"-e"+1>0,

因此，对任意的“eN*，an>an+l；

证法二：数学归纳法

①当”=1时，q=l,a2=/(a1)=/(l)=ln(e-l),

Qe-l<e,ln(e-l)<l,即/〈q成立；

②假设当“=左(左eN*)时结论成立，即』+1<4成立.

由(2)知，函数y=在(0,+。)上单调递增，."(a,)<〃%),

又/(%+1)=4+2，/(%)=以+1，，%+2<%+1，,当〃=左+1时结论成立

综合①②，，%>%+i恒成立.

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式以及利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用数学归纳法证明不等式,

证明时应充分利用导数分析函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于难题.

盐城市重点名校2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数2=(加+1)-(加-2)7在复平面内对应的点在第一象限，则实数„1的取值范围是()

A.(-1,2)B.(一8,-1)C.(-2,1)D.(2,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解.

【详解】

解：复数z=(m+1)-(利-2)i在复平面内对应的点在第一象限，

m+1>0

：・<(c，解得T(根<2.

-(/w-2)>0

,实数机的取值范围是(T,2).

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题.

2.已知平面向量。=(1,一3)为=(—2,0),则卜+2同=()

A.3拒B.3C.2拒D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

先由a力的坐标，得到a+2b的坐标，进而可得向量的模.

【详解】

因为a=(1,—3),b—(—2,0),

所以a+2Z?=(―3,—3)，

因此|a+2"==30.

故选A

【点睛】

本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型.

3.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有()

A.5种B.6种C.7种D.8种

【答案】B

【解析】

由分步计数原理得，可选方式有2x3=6种.故选B.

考点：分步乘法计数原理.

4.在等差数列｛an｝中，若S9=18,Sn=240,«„_4=30,则n的值为

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【解析】

试题分析：由等差数列的性质知S9=9义（[+佝）=9a5=18,,=2;

H（a,+a,i）n（a5+a„.4）._

S=—------------=---------------=16〃=240,."=15.

"22

考点：等差数列的性质、前几项和公式、通项公式.

27r

5.已知扇形的圆心角为彳弧度，半径为2,则扇形的面积是（）

8/r44〃

A.-----B.—C.27rD.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】

1,

利用扇形面积公式5=二1氏~（戊为扇形的圆心角的弧度数，R为扇形的半径），可计算出扇形的面积.

2

【详解】

12万4万

由题意可知，扇形的面积为S=7x—[X22=＜，故选D.

233

【点睛】

本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.

6.若如下框图所给的程序运行结果为S=35,那么判断框中应填入的关于左的条件是（）

A.攵=7?B.k<6?C.k<61D.k>6?

【答案】D

【解析】

分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累

加变量S的值为35时，再执行一次k=k+l,此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件.

详解：框图首先给累加变量S赋值1,给循环变量k赋值L

判断1>6,执行S=l+l=ll,k=l-1=9；

判断9>6,执行5=11+9=20,k=9-1=8；

判断8>6,执行5=20+8=28,k=8-1=7；

判断7>6,执行S=28+7=35,k=6；

判断6s6,输出S的值为35,算法结束.

所以判断框中的条件是k>6?.

故答案为:D.

点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循

环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题.

7.已知函数/(*)=2对''(e)+lnx,贝！|/,)=()

A.~eB.eC.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

先求导，再计算出尸(e),再求/(e).

【详解】

由题得f\x)=2尸(e)+L•.尸⑻=2尸(e)+L•./(e)=

xee

所以/(e)=2d'(e)+Ine=2ex(--)+1=-1.

e

故选：C.

【点睛】

本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.

8.已知命题e*21+sinx.则命题「P为()

A.\/x&R,ex<1+sin%B.\/x&R,<1+sinx

C.3%0eR,<1+sinx0D.3%0eR,<l+sinx0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用全称命题的否定解答.

【详解】

命题"：X/xeR,e*Nl+sinx.命题「P为三/wH,<l+sinx0.

故选D

【点睛】

本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

9.为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001,0002,…，2000的2000名学生中采用系统

抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003,

则最后一个样本编号是（）

A.0047B.1663C.1960D.1963

【答案】D

【解析】

2000-50=40，故最后一个样本编号为3+49x40=1963，故选D.

10.已知顶点在X轴上的双曲线实轴长为4,其两条渐近线方程为2x±y=o,该双曲线的焦点为（）

A.（±2A