人教版八年级数学上册第十二章全等三角形 教学设计 共7个课时含教学反思

第十二章全等三角形

12.1全等三角形..............................................................1

12.2三角形全等的判定.......................................................5

第1课时边边边.........................................................5

第2课时边角边.........................................................9

第3课时角边角和角角边................................................13

第4课时斜边、直角边..................................................17

12.3角的平分线的性质......................................................21

第1课时角的平分线的作法及性质.......................................21

第2课时角的平分线的判定..............................................25

12.1全等三角形

了敦与目标

【知识与技能】

1.了解全等形及全等三角形的概念.

2.理解全等三角形的性质.

【过程与方法】

在图形变换以及操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉.

【情感态度】

使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运

用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣.

【教学重点】

探究全等三角形的性质.

【教学难点】

掌握两个全等形的对应边\,对应角.

教与亘卡呈

一、情境导入，初步认识

问题1观察下列图形,指出其中形状与大小相同的图形.

问题2从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中，你能找到形状、大小相同的图形

的应用的例子么？

二、思考探究，获取新知

让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？”自学课本

内容.

【教学说明】变化的图形易引起学生的注意，使它们很快地投入到学习的情境中，并通过

观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义

及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

思考1把三角形平移、翻折、旋转后，什么发生了变化,什么没有变？

思考2全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么？

【教学说明】让两个学生在黑板上引导全体学生操作并画图,从中找到答案.这个过程利

用三角形的平移、旋转、翻折的不变性，让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,

然后让学生通过操作和观察,猜测并验证全等三角形的性质.利用基本三角形变换出各种图

形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力.

思考1得到的基本图案如图：

【归纳结论】

1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

“全等”用“丝”表示，读作“全等于”.

把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合

的角叫对应角.

2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

三、运用新知，深化理解

【教学说明】出示下列问题,让学生通过交流、，思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等

三角形的对应顶点\,对应边之间有什么关联.

1.下列每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角.

2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角，对应边.

3.如图,将aABC沿直线BC平移,得到aDEF.

⑴线段AB,DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DE呢？

⑵线段BE和CF有什么关系?为什么？

⑶若NA=70°,NB=40°,你知道其他各角的度数吗？为什么？

第3题图第4题图

4.如图,将AABC沿直线BC平移,得到ADEF,说出你得到的结论,并说明理由.

5.如图，AABE^AACD,AB与AC,AD与AE是对应边，ZA=40°,ZB=30°,求NADC的大

小.

A

【教学说明】题3题4中要通过观察发现,EC是线段BC与EF的公共部分,从而有

BC-EC=EF-EC即BE=CF的结论;可以挖掘更深层次的结论,提升分析问题的能力，如AB〃DE,AC

〃DF,BE=CF,S四边形ABEG=S四边形FDGC等.

完成上述题目后，引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.

【答案】1.图(1)是AEDC由aABC绕过C点且垂直于BD的直线翻折而成，AB的对应

边ED,AC的对应边EC,BC的对应边DC,ZA的对应角ZE,ZB的对应角ZD,ZACB的对应

角为/ECD.

图(2)是AABC延BC边平移BE长的距离得到△DEB,AC的对应边DB,AB的对应边为

DE,CB的对应边为BE,NA的对应角为ND,NC的对应角为/DBE,/ABC的对应角为NE.

图(3)是aABD绕BD的中点旋转180°得ACDB,AB的对应边为CD,BD对应边为DB、

AD的对应边为CB,NA的对应角/C,NABD的对应角为NCDB,NADB的对应角为/CBD.

2.略

3.(\)ABJLDE,ACJLDF(2)BE=CF

(3)LACB=70°LD=70°乙DEF=4()。

乙/=70。全等三角形对应角相等

4.AB=DEAC=DFBC=EFNA=ND/B=/DEF/ACB=/F理由：全等三角形对应边

相等，对应角相等.

5.ZADC=110°

四、师生互动，课堂小结

1.引导学生回忆全等三角形定义'，记法与性质.

2.归纳寻找对应边\,对应角的规律：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的

角是对应角,两条对应边的夹角是对应角.

(2)公共边一般是对应边;有对顶角的,对顶角一般是对应角；公共角一般是对应角等.

，课后作业

1.布置作业：从教材“习题12.1”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识,

重点在对“三角形全等”“对应”等含义的理解.

对“全等三角形”的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并

鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数

据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、

态度和价值观.

12.2三角形全等的判定

第1课时边边边

F,敦与目标

【知识与技能】

掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.

【过程与方法】

经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

【情感态度】

通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.

【教学重点】

掌握三角形全等的“边边边”条件.

【教学难点】

三角形全等条件的探索过程.

教与国程

一、情境导入，初步认识

1.复习全等三角形的性质，归纳得出：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形

全等.

2.提出问题:两个三角形全等,一定需要六个条件吗?如果只满足其中部分条件的两个三

角形，是否也能全等呢？

指导学生探究下列两个问题：

探究1先任意画出一个△ABC.再画一个aA'B'C1,使aABC与△△'B'C'满足六

个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画

出的4A'B'C与△ABC一定全等吗？

通过画图可以发现，满足六个条件中的一个或两个，AABC与4A'B'C'不一定全等.

探究2先任意画出一个△ABC.再画一个aA'B'C,使A'B'=AB,BzC=BC,C'

A'=CA.把画好的△△'B'C剪下来，放到aABC上，它们全等吗？

在充分的观察、讨论、交流后，引导学生总结出:三边对应相等的两个三角形全等,即“边

边边”公理，或写成“SSS”.

【教学说明】利用提出的问题激发学生的探究发现兴趣,教师应根据学生观察发现的结

论,无论对与错，多给予肯定与鼓励,并引导学生最终得出正确的结果.教师讲课前，先让学生

完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

教师操作演示：

由三根木条钉成的一个三角形的框架,大小和形状固定不变，由此归纳出：（1）三边对应

相等的两个三角形全等；（2）三角形具有稳定性.

例1如图，AABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架，求证:aABDg

△ACD.（由学生思考后表述思路，教师指导并展示证题过程.）

证明：；D是BC中点，；.BD=CD.

在4ABD和4ACD中，

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

/.△ABD^AACD(SSS).

例2如图，已知AC=FE,BC=DE,点A\,D,B\,F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明

△ABC出△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE外，还应有什么条件？怎样才能得到这个条件？

答：还需要AB=FD,这个条件可由AD=FB得到.

证明:AD=FB,AD+BD=BD+FB,

即AB=FD.

在AABC和△FDE中，

A13=FD,

<AC=FE,

=DE.

/.△ABC^AFDE(SSS)

【教学说明】由以上两例，应让学生掌握：

1.证明题的基本格式,做到每一步推理有根有据,并正确用几何语言表述出来.

2.积累分析问题的经验,逐步学会怎样探寻未知条件,为证题提供足够的依据.

三、运用新知，深化理解

1.如图，E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”证明三角形全等的是()

A.AABC^AADC

B.△ABE丝△ADE

C.ACBE^ACDE

2.如图，Z\ABC中，AD=DE,AB=BE,NA=100°,则/DEC=度.

3.如图，AB=AC,AD=AE,BE=CD.求证：AABD^AACE.

证明：在aABD和4ACE中,

(AJ3=AC,

AD=AE,

[BE=CD.

AAABD^AACE(SSS)

上述的证明过程正确吗?若不正确，请写出正确的推理过程.

笫4题佟I

4.如图，已知A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:BC〃EF.

【教学说明】学生在教师指导下完成上述习题时,教师应提醒学生注意:

1.善于利用题中已知条件和隐含条件（如题3的公共线段DE后），联想“SSS”证得三角

形全等.

2.要灵活地结合三角形全等性质，以证出线段相等或角相等,进而推得两线平行、或互相

垂直等位置关系.

3.熟悉证题格式.

完成上述题目后，引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.

【答案】LB2.80

3.不正确.其证明过程如下：；BE=CD,，BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在AABD和4ACE中,

(AB=A(\

AD=AE,

[BD=CE,

/.△ABD^AACE(SSS).

4.先证△ABCg^DEF(SSS),.•.NBCA=NEFD,；.BC:〃EF.

四、师生互动，课堂小结

教师引导学生反思:本节课我们有哪些收获?

【指导要点】回顾反思本节课重要知识,探究过程,并归纳方法和结论,并领悟其中所包

含的数学思想与规律.

.'课后作业

1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本课时教学时应抓住以下重点：

1.分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的

同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.

2.教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从

中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.

3.强调思路分析和书写规范.

第2课时边角边

敦与目标

【知识与技能】

掌握证明三角形全等的“边角边”定理.

【过程与方法】

1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察\,分析图形的能力及动手能力.

2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推

理.

【情感态度】

通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.

【教学重点】

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.

【教学难点】

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.

教学Eili呈

一、情境导入，初步认识

问题1教材探究3:已知任意△ABC,画AA'B'C',使AB=A'B',A'C=AC,/A'=

ZA.

【教学说明】要求学生规范地用作图工具画图,纠正学生的错误做法,并让学生剪出画好

的△ABC,4A'B'C',把它们放在一起，观察出现的结果，引导学生间交流结论.教师讲课

前，先让学生完成“自主预习”.

问题2请各学习小组间交流,并总结出规律.

二、思考探究，获取新知

根据学生交流情况,教师作出如下归纳总结.

1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.

2.其中的角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两条对应边.

例1如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A

和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出

DE的长就是A,B的距离,为什么？

【教学说明】让学生思考后，书写推理过程，教师引导分析.

要想证AB=DE,只需要证AABC丝而证这两个三角形全等，已有条件,还需

条件.

证明：在4ABC和4DEC中，

(CA=CD,

L1二A2.

=CE.

.•.△ABC^ADEC(SAS)..".AB=DE.

【归纳结论】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两

个三角形全等来得到答案.

例2如图，已知AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求证:△ABDgZ\ACE.

BA

CD------------E

【教学说明】由学生依题意寻找条件，涉及三角形边的条件有AB=AC,AD=AE,但/BAC=/

DAE只是对应边夹角的一部分，怎么办？以此引导学生思考,理清解题思路.

证明：：NBAC=/DAE（已知），

,ZBAC+CAD=ZDAE+CAD,

即NBAD=NCAE.

在△ABD与△ACE中，

AB=AC（已知）,

NBAD=NCAE（已证），

AD=AE（已知）,

.,.△ABD^AACE.

【归纳结论】用来证明三角形全等的边、角条件，必须是这两个三角形的边、角，而不是

其中的一部分,如NBAC=NDAE不能直接用于证4ABD与4ACE的全等.

三、运用新知，深化理解

1.如图，已知N1=N2,如果用SAS证明△ABCgZXBAD,还需要添加的条件是.

2.如图，已知OA=OB,OC=OD,N0=50°,ND=35°,则NAEC等于().

A.60°B.50°C,45°D.30°

3.如图，已知AB〃DE,AB=DE,BE=CF,如果NB=50°，/A=70°,则NF=().

A.70°B.65°C.60°D.55°

A

4

BECF

第3题图第4题图

4.如图，点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.

(1)请你添加一个条件(不再加辅助线)，使AABC丝AEFD,你添加的条件是.(2)添

加了条件后，证明△ABCgZXEFD.

5.如凰C是线段AB的中点,CD平分NACE,CE平分/BCD,CD=CE.

(1)求证：AJICD丝4BCE.

⑵若ND=50°,求NB的度数.

力.可让学生在黑板上写出4\,5题的过程，强化学生书写证明过程的能力.

在完成上述习题的解答后,请学生探究:“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形

是否全等？”，指导学生画图分析、共同讨论，形成结论.

教师出示下列材料帮助学生探究：

如图，在4ABC和aABD中，ZB=ZB,AB=AB,AC=AD,由图可知，AABC与AABD并不全等.

完成上述题目后，引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.

【答案】l.AC=BD2.A3.C

4.(1)ZB=ZF或AB〃EF或AC-ED.

(2)当/B=/F时，在aABC和AEFD中，

AB=EF,

NB=NF,

BC=FD,

AABC丝AEFD(SAS).其它证明略.

5.⑴...点C是线段AB的中点，，AC=BC,

又YCD平分NACE,CE平分/BCD,

.,.Z1=Z2,N2=N3,，Nl=/3.

在4ACD和4BCE中,

CD=CE,

Z1=Z3,

AC=BC,

AAACD^ABCE(SAS).

(2)VZ1+Z2+Z3=18O,.•.Zl=Z2=Z3=60.

VAACD^ABCE,/.ZE=ZD=50°./.ZB=180°-ZE-Z3=70".

四、师生互动，课堂小结

先归纳“SAS”，并强调：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.

再提出问题供同学思考\,交流探讨.

1.判定三角形全等的方法有哪些？

2.证明线段相等角相等的常见方法有哪些？

：,课后作业

1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

教学反思

本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索

的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题一一测量

池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中

一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.

第3课时角边角和角角边

教学目标

【知识与技能】

掌握两个三角形全等的条件：“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.

【过程与方法】

经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;

并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.

【情感态度】

敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.

【教学重点】

理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.

【教学难点】

探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.

产,教与亘睚

一、情境导入，初步认识

问题1一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样

大的纸板吗？

鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

问题2教材探究4.

先任意画出一个△ABC.再画一个4A'B'C,使A'B'=AB,NA'=NA,ZB'=/B

（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的AA'B'C'剪下来，放到aABC上，它们全等

吗？

要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.

把画好的4A'B'C'剪下，放在aABC上，观察出现的情形,并根据结果总结规律，说出

每个人的发现并交流.

二、思考探究，获取新知

【归纳结论】根据学生的发言，予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”.

强调注意：“边”必须是“两角的夹边”.

例1如图，点D在AB上，点E在AC上,BE和CD相交于点0,AB=AC,ZB=ZC.求证:AD=AE.

证明：AABE和4ACD中，

ZB=ZC,

AB=AC,

ZA=ZA,

.,.△ABE^AACD(ASA).

AAD-AE.

【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.

如图,AB=A'C,NA=NA',NB=NC,求证:ZkABE且百CD.

【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.

例2在4ABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.证明△ABC丝ZkDEF.

【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发

现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.

上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.

【课堂练习】

如图，要测量河两岸相对的两点A,B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使

BC=CD,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长,

为什么？

【答案】利用三角形全等得到DE=AB.

证明：在aABC和AEDC中，

ZB=ZEDC=90°,

BC=DC,

ZACB=ZECD.

AAABC^AEDC..\DE=AB.

三、运用新知，深化理解

1.如图，B是CE的中点，AD=BC,AB=DC,DE交AB于F点.求证：⑴AD〃BC;⑵AF=BF.

2.如图，在aABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合)，F,E分别是AD及其延长线上的

点,CF〃BE,请你添加一个条件，使ABDE丝Z\CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字

母)，并给出证明.

【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证

明线段相等(或两线平行\,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三

个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.

【答案】1.⑴连接BD,VAD=CB,AB=DC,BD=DB,.,.△ABD^ACDB(SSS),AZADB=ZCBD.

AADZ/BC.

(2)YB为CE中点，，EB=BC.由⑴知AD〃BC,AD=BC,，AD=BE,NA=NFBE,又NAFD=NBFE,

.,.△ADF^ABEF(AAS)..\AF=BF.

2.添加条件加D=DC(或点D是线段BC中点)，FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下：；

CF/7BE,.,.ZFCD=ZEBD.又...BDuDC,ZFDC=ZEDB..,.ABDE^ACDF(ASA).

四、师生互动，课堂小结

1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如：大小不同的两个等腰直角三角形不全

等.

3.证两线相等（或两角相等）的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.

厂,课后作业

1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

户教学反思

本课时教学以“自主探究一一合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供

学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究,

合作学习的能力.

同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回

顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.

第4课时斜边、直角边

孽L教与目标

【知识与技能】

掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等.

【过程与方法】

通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性

思维.

【情感态度】

通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.

【教学重点】

理解、掌握直角三角形全等的条件:HL.

【教学难点】

熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.

“承教与国ili呈

一、情境导入，初步认识

问题1舞台的背景形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,

但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1)请你设法帮工作人员找到解决问题的方式.

(2)如果工作人员只带了一卷尺，他能完成这个任务吗？

全体学生思考,并互相交流每个人的想法,组长收集每组的结论.

问题2教材探究5

任意画出一个RtZkABC,使NC=90°,再画一个RtZ\A'B'C',使NC'=90°,B'C'

=BC,A'B'=AB.

要求:每个学生都动手画图，并剪下所画的直角三角形,每两人把剪下的直角三角形,重

叠在一起,观察它们是否重合.

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

教师根据学生操作、交流情况,引导学生一起归纳上述两个问题的结果.

对于问题1,(1)方法有:测量斜边和一个对应的锐角(AAS),或测量没遮住的一条直角边

和一个对应的锐角(ASA或AAS);(2)可以完成这个条件,其依据正是本节所要学的知识，以此

激发学生探究的兴趣.

对于问题2,归纳得到:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜

边、直角边”或“HL”.

例1如图，已知AC1BC,BDXAD,AC=BD.求证:BC=AD.

【教学说明】由学生思考'，交流讨论后,指定学生表述思路,并由教师板书证明过程，引

导学生正确书写解题步骤.

证明：：AC，BC,BD±AD,

/.ZC=ZD=90o.

在RtAABC和RtABAD中，

AB=BA,

AC=BD,

.".RtAABC^RtABAD(HL).

例2如图，两根长度为12m的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩

上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.

解：相等.理由如下:

由图形及实际情形可知，AABD和4ACD均为直角三角形.

又AB=AC,AD为公共边,

/.RtAABD^RtAACD(HL),

.\BD=CD.

例3如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF

相等,两个滑梯的倾斜角NABC和NDFE的大小有什么关系？

解：ZABC+ZDFE=90°

在RtaABC和RtADEF中,

BC=EF,

AC=DF,

ARtAABC^RtADEF(HL).

又NDEF+/DFE=90°,

AZABC+ZDFE=90°.

三、运用新知，深化理解

1.如图，已知AC±BD于点P,AP=CP,请增加一个条件，使aABP丝ZkCDP,你增加的条件是

（不再添加辅助线）.

2.如图，已知AB=AC,AD±BC于D,且AABC的周长是50cm,AABD的周长是40cm,则

AD=

3.如图,ABJ_BD,AB〃DE,AB=CD,AC=CE,那么BC与DE有怎样的数量关系？写出你的猜想并

说明理由.

笫4题图

4.如图,AB=AC,AD1BC于点D,AD=AE,AB平分/DAE交DE于点F.请你写出图中三对全等

三角形,并选取其中一对加以证明.

【教学说明】指导学生解答上述习题时，强调学生应：（1）注意应用“HL”证三角形全等

时的书写格式；（2）归纳总结证明直角三角形全等的判定条件共有几个？它们分别是什么？

【答案】1.BP=DP或AB=CD或NB=/D或AB/7CD.2.15cm

3.猜想:BC=DE.

证明:VAB1BD,AZABC=90°,又ABADE,AZEDC=ZABC=90°,即AABC和AEDC为直

角三角形.又AB=CD,AC=CE,.♦.傥△ABC丝RtZXCDE(HL).，BC=DE.

4.AADB^AADC,AABD^AABE,AABE^AACD,AAFD^AAFE,Z\BFD丝ABFE(写出三对

即可，可以△ADBg^ADC为例证明，应用HL证得）.

四、师生互动，课堂小结

1.回顾本书所学知识，巩固“I1L”的记忆与认识，清楚地了解到“HL”是直角三角形全

等所独有的定理，以直角三角形为前提条件.

2.归纳直角三角形全等的证明定理有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL共五个,在实际解题时能灵

活选用.

【教学说明】

在总结直角三角形全等判定定理共有几个时，鼓励学生踊跃思考发言，发挥集体智慧得

到完整答案,利于引导学生形成合作交流意识.

;,课后作业

1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取部分题目.

2.完成练习册中本课时的练习.

篁教学反思

本课时教学应突出学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考,

自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从

中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.

12.3角的平分线的性质

第1课时角的平分线的作法及性质

「敦与目标

【知识与技能】

1.掌握角的平分线的作法.

2.会利用角平分线的性质.

【过程与方法】

经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.

【情感态度】

通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

角平分线的性质及其应用.

【教学难点】

灵活应用两个性质解决问题.

一、情境导入，初步认识

活动1学生预习教材，掌握角平分线的作法，小组间交流并动手实际画一画，总结出画

角平分线的步骤.

活动2让学生用准备好的白纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折,使角的

两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么？

【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,

而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.

请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交

流，形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识：

1.角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.

【教学说明】

1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.

2.在用几何语言表述性质时，注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.

例1如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁

路交叉处500m,这个市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：

(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个

问题？

(2)比例尺为1：20000是什么意思？

(3)图形上，表示500m的是个什么距离？

例2如图所示，BD为NABC的平分线，AB=BC,点P、D分别在BF上，PM_LAD于M,PNJ_

CD于N,求证：PM=PN.|

【分析】从一条线引两条垂线，要证明两条垂线段相等，可联想到角平分线的性质，将

证线段相等转化为找角平分线，即证角相等.根据AABD丝即可得证.

【证明】：BD为NABC的平分线，

:.ZABD=ZCBD.

在4ABD和4CBD中，

[AB=CB,

<NABD=NCBD,

BD=BD,

.,.△ABD^ACBD(SAS).

'ZADB=ZCDB.

即射线DP为NADC的平分线.

XVPM1AD,PN±CD,

PM=PN.

例3如图，点P是NAOB的平分线OM上一点，作PD±OB,PC±OA,

垂足分别是点D、C,点E、F分别在线段0D,0C上，且NPED=/PFC,求

证：0P平分NEPF.

【分析】

欲证OP平分/EPF,可设法证/OPE=NOPF,而要证NOPE=NOPF,需证NOPD=NOPC和N

DPE=ZCPF.

【证明】

YOP平分NAOB,PD_LOB,PCJ_OA,垂足分别是点D,C,；.PD=PC,

Z0DP=Z0CP=90°.

在RtZV)DP与RtZ\OCP中，<

ARtAODP^RtAOCP(HL).

.*.OD=OC,Z0PD=Z0PC.

在RtAEDP与RtAFCP中,

ZPED=ZPFC,Z0DP=Z0CP=90°,

.•.90°-ZPED=90°-NPFC,即NDPE=NCPF.

，Z0PD-ZDPE=Z0PC-ZCPF,

Z0PE=Z0PF,即OP平分NEPF.

三、运用新知，深化理解

1.角的平分线上的点到这个角的两边的相等.

2.如图，在Z\ABC中,ZA=80°,ZB与NC的平分线相交于点I,则NBIC=

3.已知在AABC中，NB=30°,ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于D,且DEIAB于E,则N

BDE==_______=_______.

【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.

【答案】1.距离2.130°

3.ZEDAZCDAZCAB

四、师生互动，课堂小结

1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.

2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质，不必再

利用证三角形全等得到线段相等或角相等.

,'i果后作业

1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.

2.完成练习册中本课时的练习.

敦与反思

本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数

学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问

题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动一一折纸，体验三角形角平分线交于一点的事

实，并得出进一步的猜想和开展新活动一一尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整

堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动

手、合作、概括与解决问题的意识与能力.

第2课时角的平分线的判定

号“教学目标

【知识与技能】

1.掌握角的平分线的判定.

2.会利用三角形角平分线的性质.

【过程与方法】

通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.

【情感态度】

锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.

【教学重点】

A

角平分线的判定.D/

【教学难点】

UEB

三角形的内角平分线的应用.

户教学国震

一、情境导入，初步认识

问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的

点是否在角的平分线上呢？

【教学说明】如图所示，已知PD_LOA于D,PE_LOB于E,PD=PE,那么能否得到点P在

ZAOB的角平分线上呢？事实上，在RtAOPD和RtAOPE中，我们利用HL可得到RtAOPD

^RtAOPE.所以NAOP=NBOP,即点P在NA0B的角平分线上.

二、思考探究，获取新知

三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？

例1如图0是AABC内的一点，且0到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若/A=70°,

求/BOC的度数.

【分析】由OD=OE=OF,且OD±BC>OE_LAC、OF±AB知，0是4ABC的三角平分线的交点，

所以N1=N2、N3=/4.要求NBOC的度数，只要求出N1+N3的度数，即只要求出2(/1+

Z3)=ZABC+ZACB的度数即可，在aABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出NBOC

的度数.

解：：OF_LAB,OD±BC,且OF=OD,

，B0平分NABC,即N1=N2,同理可得N3=N4.A

D

图①

-ZA)=90°+izA=125".

2

【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.

例2如图①,D、E、F是ZkABC的三条边上的点，且CE=BF,SMSADBF,

求证：AD平分/BAC.

【分析】由已知条件可知ADCE和4DBF的两底CE=BF,且它们的面积相图②

等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DMXAB,DN1AC,垂足分A

别为M和N,则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分NBAC.

【证明】如图②，过点D作DMLAB于点M,作DNLAC于点N.FC----4

an11

VSADC^SADBF,即一CE•DN=-BF•DM.

又,.•CE=BF,；.DN=DM,.•.点D在NBAC的平分线上，即AD平分/BAC.

例3如图所示