《概率统计及其应用》课件第二章 随机变量及其分布

第一节随机变量第二节离散型随机变量第三节连续型随机变量第四节二维随机变量及其分布第五节随机变量函数的分布第一节随机变量一、随机变量的定义定义1设E是随机试验,其样本空间为S={ω},如果对任一ω∈S都有一实数X(ω)与之对应,且对任何实数x∈R,集合{ω|X(ω)≤x}是一随机事件,则称单值实函数X=X(ω)为随机变量,X(ω)简记为X.约定用大写英文字母X,Y等表示随机变量.引入随机变量后,事件可以通过随机变量来表示,从而对事件及事件概率的研究也就转化为对随机变量及其取值规律的研究.二、分布函数定义2设X为随机变量,x为任意实数,称函数F(x)=P(X≤x),-∞<x<+∞(2-1)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数.分布函数F(x)是一个普通的一元实函数,定义域是全体实数,若将随机变量X看作实轴上随机点的坐标,那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率,而X落在区间(a,b]上的概率恰为分布函数F(x)在此区间两个端点的函数值之差,即P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)分布函数F(x)的基本性质如下:(1)有界性:对任意x,有0≤F(x)≤1,且,(2)单调不减性:若x1<x2,则F(x1)≤F(x2)(3)右连续性:F(x0+0)=F(x0),即第二节离散型随机变量一、定义定义1若随机变量X只能取有限个值或者可列无穷个值x1,x2,…,xn,…,则X为离散型随机变量,称P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n,…

(2-2)为离散型随机变量X的概率分布律或分布律.离散型随机变量X的分布律具有下面两个性质:二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1.(01)分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的概率分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,(0<p<1)则称X服从参数为p的(01)分布2.二项分布设试验E只有两个可能结果A与A.设P(A)=p(0<p<1),此时=1-p.将E独立地重复n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.在n重伯努利试验中,用X表示n次试验中事件A发生的次数,则X是一个离散型随机变量,它可能的取值为0,1,2,…,n,且对每一个k(0≤k≤n),事件{X=k}即为事件“n次试验中事件A恰好发生k次”,于是有定义3设随机变量X具有分布律其中0<p<1为常数,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~B(n,p).特别地,n=1时B(1,p)就是(0-1)分布.显然,二项分布满足分布律的两个条件,即:(1)P(X=k)≥0;3.泊松分布定义4设随机变量X所有可能的取值为0,1,2,…,取各个值的概率为其中λ>0为常数.则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ).泊松定理在n重伯努利试验中,事件A在一次试验中发生的概率为pn(与试验的次数n有关),如果,则对任意给定的非负整数k,有事实上,记npn=λn,即.因为因对固定的k有,故又从而第三节连续型随机变量一、连续型随机变量定义1设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在实数轴上的一个非负可积函数f(x),使得对于任意给定的实数x有则称X为连续型随机变量,并称f(x)为X的概率密度函数,简称为密度函数或者概率密度.概率密度函数的性质如下:(1)非负性f(x)≥0;(2)规范性反之,满足上述两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度.连续型随机变量的性质如下:(1)分布函数F(x)为连续函数,其图形是位于y=0与y=1之间的单调上升的连续曲线.对于实数轴上任意的集合D,有所以,对于连续型随机变量,知道了X的概率密度,即掌握了它在实数轴上的分布规律,就能够算得它落在集合D中的概率,即概率密度可以完全刻画连续型随机变量的概率特征;(2)若概率密度f(x)在点x处连续,则有F'(x)=f(x);(3)(4)对任意常数a,有P(X=a)=0.连续型随机变量不能像离散型随机变量那样,用列举它所取到的所有可能值的概率来描述它的分布规律,而必须用它在各个区间取值的概率来描述.分布律确定了离散型随机变量的概率分布,而密度函数确定了连续型随机变量的概率分布.同时容易得到,一个事件的概率等于零,此事件并不一定是不可能事件.同样地,一个事件的概率为1,此事件也不一定就是必然事件.另外,由P(X=a)=0可知,在计算连续型随机变量落在某一区间内的概率时,可以不必区分是开区间还是闭区间,即对于任意的实数a<b,有二、几种常见的连续型分布1.均匀分布设随机变量X具有概率密度则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记作X~U(a,b).当X~U(a,b)时,其分布函数为均匀分布的概率密度f(x)和分布函数F(x)的图形见图2.2.分布的“均匀”性是指X具有下述意义的等可能性,即它落在区间(a,b)内任意等长小区间的概率相等.2.指数分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为λ的指数分布,记X~E(λ).当X~E(λ)时,其分布函数为指数分布下的概率密度函数f(x)和分布函数F(x)的图形见图2.3.指数分布具有一个非常重要的性质,就是“无记忆性”.设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则对任意实数s>0,t>0,有第四节二维随机变量及其分布一、二维随机变量1.定义设试验E的样本空间S={ω},X=X(ω),Y=Y(ω)是定义在S上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量.2.联合分布函数对二维随机向量,将(X,Y)作为一个整体进行研究,不但能研究分量X和Y的性质,还可以研究它们之间的相互联系.为了描述二维随机变量(X,Y)整体的统计规律性,我们引入二维随机变量的分布函数的概念.我们将事件{X≤x}∩{Y≤y}简记为{X≤x,Y≤y}.设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X和Y的联合分布函数.分布函数F(x,y)表示事件{X≤x}和事件{Y≤y}同时发生的概率,如果用平面上的点(x,y)表示二维随机变量(X,Y)的一组可能的取值,则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入以(x,y)为右上顶点的无穷矩形中的概率,如图2.4所示.如一维随机变量的分布函数一样,二维随机变量的分布函数F(x,y)也有如下的基本性质:(1)分布函数关于每个变量单调不减,即若x1<x2,则对任意固定的y,有F(x1,y)≤F(x2,y);若y1<y2,则对任意固定的x,有F(x,y1)≤F(x,y2)(2)分布函数关于每个变量都是右连续的,即对任意给定的x和y,有F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(3)有界,即对任意给定的x和y,分布函数满足0≤F(x,y)≤1,且对任意给定的y,对任意给定的x,(4)对于任意实数x1<x2,y1<y2有P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0二、二维离散型随机变量及其分布若二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为有限对或可列对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设(X,Y)的所有可能的取值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),则称概率P(X=xi,Y=yi)=pij,i,j=1,2,…为二维随机变量(X,Y)的分布律,也称为随机变量X和Y的联合分布律.(X,Y)的分布律也常用表格来表示,见表2.1.显然,二维离散型随机变量的联合分布律具有如下性质:(1)0≤pij≤1,i,j=1,2,3,…;容易看出,二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为这里的和式表示对一切满足xi≤x,yj≤y的i,j求和.反过来,由联合分布函数也可以求出联合分布律.因此,联合分布函数和联合分布律是相互唯一确定的,它们都可以完全刻画二维离散型随机变量的概率特征.三、二维连续型随机变量及其概率分布设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果存在非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度,也简称为随机变量(X,Y)的概率密度.按定义,联合概率密度f(x,y)具有如下性质:(1)f(x,y)≥0;(2)(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续,则有(4)若G是xOy平面上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为四、边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体,前面讨论了它的联合分布,而X,Y各自都是一维随机变量,它们也有各自的分布函数,记为FX(x),FY(y).FX(x),FY(y)分别称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.事实上,(X,Y)的边缘分布函数为FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)

(211)FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y)=F(+∞,y)

(212)1.二维离散型随机变量的边缘分布律设(X,Y)为二维离散型随机变量,其联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…则X的分布律为Y的分布律为pi·和p·j(i,j=1,2,3,…)分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.若将(X,Y)的分布律用表格形式表示,则pi·就是表中第i行所有概率之和,p·j就是表中第j列所有概率之和.若将分布律的表格扩充,可以更直观地得到边缘分布律,如表2.2所示.2.二维连续型随机变量的边缘概率密度类似地,由二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),也可以得到单个连续型随机变量的概率密度.事实上,由得到同理,由得到fX(x),fY(y)分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度函数或者边缘概率密度.连续型随机变量与离散型随机变量相同:已知联合分布可以求得边缘分布;反之则不能唯一确定.五、条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布设(X,Y)是离散型二维随机变量,X和Y的联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…则(X,Y)关于X和Y的边缘分布律为定义1对于固定的j,若p·j=P(Y=yj)>0,称为在Y=yj条件下,随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若pi·=P(X=xi)>0,称为在X=xi条件下,随机变量Y的条件分布律.易知上述条件概率满足分布律的性质:2.连续型随机变量的条件分布连续型随机变量(X,Y)的条件分布比离散型复杂,对于任意实数x,y,有P(X=x)=0,P(Y=y)=0,所以就不能直接用条件概率来计算条件分布函数.设(X,Y)为二维连续型随机变量,分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y),f(x,y)和fY(y)均连续,且fY(y)>0.计算条件概率:由于从而至此,我们定义:对于一切fY(y)>0,给定Y=y条件下X的条件分布函数和条件概率密度函数分别为同理可以定义对于一切fX(x)>0,给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件概率密度函数分别为六、随机变量的独立性1.二维随机变量的独立性定义2设(X,Y)为二维随机变量,若对任意的实数x,y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y)即P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)(2-23)则称随机变量X与Y相互独立.随机变量(X,Y)只要满足上述定义的条件,则任何只与X有关的事件和任何只与Y有关的事件都相互独立.对于二维离散型随机变量,有下面更为简明的独立性定义.定义3设(X,Y)为二维离散型随机变量,若对于一切i,j,有P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)即pij=pi··p·j(2-24)则称随机变量X与Y相互独立.定义4设(X,Y)为连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),关于X和Y的边缘概率密度分别为fX(x),fY(y),如果对于一切x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y)(2-25)则称随机变量X与Y相互独立.2.n维随机变量的独立性关于二维随机变量的一些概念和结论,可以推广到n维随机变量的情形.设随机变量X1,X2,…,Xn是定义在同一个样本空间上的随机变量,它们构成的向量(X1,X2,…,Xn)称为n维随机变量,n元函数F(x1,x2,…,xn)=P(X≤x1,X≤x2,…,X≤xn)称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数.设(X1,X2,…,Xn)关于Xi的边缘分布函数为FXi(xi),(i=1,2,…,n)有下面的定义.定义5设(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量,若对于任意的实数x1,x2,…,xn,有对于离散型随机变量(X1,X2,…,Xn),X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是对一切x1,x2,…,xn,有对于连续型随机变量(X1,X2,…,Xn),X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是对一切x1,x2,…,xn,有f(x1,x2,…,xn)=fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)

(2-28)这里f(x1,x2,…,xn)是(X1,X2,…,Xn)的概率密度,fXi(xi)(i=1,2,…,n)是(X1,X2,…,Xn)关于Xi的边缘概率密度.下面的结论在数理统计中会经常用到:若X1,X2,…,Xn相互独立,则(1)其中任意r(r≤n)个随机变量也相互独立.(2)X1,X2,…,Xn各自的函数g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互独立.(3)设(X1,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…,Xm)相互独立,则g(X1,X2,…,Xn)与h(Y1,Y2,…,Ym)也相互独立,其中h,g是连续函数.第五节随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量,则Y=g(X)也为离散型随机变量,它的分布律可以直接从X的分布律得到.方法是先确定Y可能取的值,再求出它取每个值的概率.若X的分布律为则Y=g(X)的分布律为当g(x1),g(x2),…,g(xn),…中有某些值相等时,应把相等的值分别合并,并把对应的概率相加,作为Y取该值的概率.2.二维离散型随机变量函数的分布当(X,Y)为离散型随机变量时,它的函数Z=g(X,Y)是(一维)离散型随机变量,其分布律的求法与前面讨论过的一维离散型随机变量的情形是一样的.即先确定Z=g(X,Y)所有可能取的值,再求出它取每个值的概率.设(X,Y)的分布律为P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,3,…则Z=g(X,Y)的分布律为P(Z=g(xi,yj))=piji,j=1,2,3,…二、连续型随机变量函数的分布1.一维连续型随机变量函数的分布一般地,连续型随机变量的函数不