北京四中初二一次函数的应用

...wd......wd......wd...一次函数的应用

编稿：范兴亚审稿：白真责编：高伟经典例题分析

类型一：与一次函数最值相关的应用问题

我们知道，在一般情况下，一次函数〔、为实数，且〕的自变量的取值范围是全体实数，一次函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线．但是，在实际问题中，自变量的取值常常受到一定的限制，导致函数的图像发生变化，由直线变为其它图形．同时，自变量的取值范围受到限制，可能出现最大值和最小值，这种最值往往用来解决“成本最省〞、“利润最大〞等问题，也就是一次函数最优问题，这类问题是近几年中考常考的问题，现举例说明．

1某市市政公司为绿化一段沿江观光带，方案购置甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计说明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．

(1)假设购置树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?

(2)假设购置树苗的人民币不超过34000元，应若何选购树苗?

(3)假设希望这批树苗的成活率不低于92％，且购置树苗的费用最低，应若何选购树苗?

分析：此题考察学生一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的综合运用，确定最低费用，关键是确定一次函数自变量的取值范围．

解：

(1)设购甲种树苗株，那么乙种树苗为(500-x)株．依题意得

50x+80(500—x)=28000，

解得x=400．

500-x=500-400=100．

所以购置甲种树苗400株，乙种树苗100株．

(2)由题意得

50x+80(500-x)34000，

解得x200．

所以购置甲种树苗不小于200株．

(3)由题意可得

90%x+95％(500—x)92％·500，

解得x300．

设购置两种树苗的费用之和为y元，那么

y=50x+80(500-x)=40000-30x，

-30<0，

∴y随x的增大而减小．

∴当x=300时，y=40000-30300=31000．

500-300=200．

所以购置甲种树苗300株，乙种树苗200株．

2日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场方案今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经历测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表：〔单位：千元/吨〕品种先期投资养殖期间投资产值西施舌9330对虾41020养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x吨，

〔1〕求x的取值范围．

〔2〕设这两个品种产出后的总产值为y〔千元〕，试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值最大值是多少

分析：此题考察学生一次函数、不等式组的综合运用，由不等式组确定一次函数自变量的取值范围，根据一次函数的增减性确定y的最大值．

解：

〔1〕设西施舌的投放量为x吨，那么对虾的投放量为〔50-x〕吨，

根据题意，得，

解得，

∴30x32．

〔2〕y=30x+20(50-x)=10x+1000．

∵10>0，

∴y随x的增大而增大．

30x32，

∴当x=32时，y=1032+1000=1320．

所以当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元．

类型二：与分段函数相关的应用问题

收费问题与我们的生活息息相关，如：话费问题、水费问题、电费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式．以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在各类考题中，下面请看几例．

话费中的分段函数

1某移动分公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间〔分钟〕与相应话费〔元〕之间的函数图象如图1所示：

〔1〕月通话为100分钟时，应交话费______元.

〔2〕当时，求与之间的函数关系式.

〔3〕月通话为280分钟时，应交话费多少元

分析：此题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费〔元〕是月通话时间〔分钟〕的正比例函数，当时，月话费〔元〕是月通话时间〔分钟〕的一次函数．

解：

〔1〕观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元.

〔2〕设与之间的函数关系式为．

由图上知：当=100时，=40；当=200时，=60．

那么有，解得．

所求函数关系式为．

〔3〕把=280代入关系式，得．

即月通话为280分钟时，应交话费76元．

水费中的分段函数

2某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费的方法，某户居民应交水费〔元〕与用水量〔吨〕的函数关系如图2．

〔1〕分别写出当和时，与的函数关系式．

〔2〕假设某户该月用水21吨，那么应交水费多少元?

分析:此题是一道与收水费有关的分段函数问题．观察图象可知，当时，是的正比例函数；当时，是的一次函数．

解:

〔1〕当时，设，把=15，=27代入，得27=15k，

所以，所以〔〕.

当时，设，将=15，=27和=20，=39.5代入，得，

解得.

所以=2.5-10.5〔〕．

〔2〕当该用户该月用21吨水时，应交水费2.5×21－10.5=42〔元〕．

电费中的分段函数

3今年以来，广东大局部地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的方法，假设某户居民每月应交电费〔元〕与用电量〔度〕的函数图象是一条折线〔如图3所示〕，根据图象解以下问题：

〔1〕分别写出当和时，与的函数关系式.

〔2〕利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准.

〔3〕假设该用户某月用电62度，那么应缴费多少元假设该用户某月缴费105元时，那么该用户该月用了多少度电

分析:从函数图象上看图象分为两段，当时，电费是电量的正比例函数，当时，是的一次函数，且函数图象经过点〔100，65〕和〔130，89〕，设出相应的函数关系式，将点的坐标代入即可确定函数关系式，根据函数关系式即可解决问题．

解:

〔1〕设当时，函数关系式为，将=100，=65代入，

得，所以.

设当时，函数关系式为，将=100，=65和=130，=89代入，

得，

解得，．所以．

综上可得．

〔2〕用户月用电量在0度到100度之间时，每度电的收费标准是0.65元；超出100度时，超过的局部每度电的收费标准是0.8元．

〔3〕用户月用电62度时，用户应缴费40.3元，假设用户月缴费105元时，该户该月用了150度电．

类型三：与一次函数的图象相关的应用问题

此类题考察从图象中获取信息的能力,考察综合运用一次函数的性质与图象解决实际问题的能力.解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点〔如：起点、终点、折线中的折点〕所反映出的信息，从而建设正确的函数解析式，这是解题的关键.

1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度〔〕与挖掘时间〔〕之间的关系如图4所示，请根据图象所提供的信息解答以下问题：

〔1〕乙队开挖到30m时，用了_________．开挖6时甲队比乙队多挖了___________.

〔2〕请你求出：

①甲队在的时段内，与之间的函数关系式.

②乙队在的时段内，与之间的函数关系式．

〔3〕当为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等

解：

〔1〕2，10．

〔2〕设甲队在0≤x≤6的时段内与之间的函数关系式，

由图可知，函数图象过点〔6，60〕，

∴，解得，∴．

设乙队在的时段内与之间的函数关系式为，

由图可知，函数图象过点〔2，30〕、〔6，50〕，

∴解得∴〔〕．

〔3〕由题意，得，解得=4〔〕．

∴当x为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．

2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用〔元〕与上网时间〔小时〕的函数关系如图5所示，其中BA是线段，且轴，AC是射线.

〔1〕当30时，求与之间的函数关系式.

〔2〕假设小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用

〔3〕假设小李5月份上网费用为75元，那么他在该月份的上网时间是多少

解：

〔1〕当30时,设函数关系式为，

根据题意，得

解得.

所以.

(2)4月份上网20小时,应付上网费60元.

(3)由75=3-30解得=35,所以5月份上网35个小时.

3、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务.甲种使用者每月需缴15元月租费,然后每通话1分钟,再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元.假设一个月内通话时间为分钟,甲、乙两种的费用分别为和元.

(1)试分别写出、与之间的函数关系式.

(2)在同一坐标系中画出、的图像.

(3)根据一个月通话时间,你认为选用哪种通信业务更优惠?

解: