湖北省孝感市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（教师版）

2021-2022学年湖北省孝感市高二下学期期末考试一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.详解】直线与直线垂直,则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：B.2.已知随机变量，且，则（）A. B.12 C. D.24【答案】A【解析】【分析】由，根据数学期望的性质，可得：，根据二项分布的性质公式，可解得的值，由二项分布的方差性质公式可得答案.【详解】由，根据数学期望的性质，可得：，因为随机变量，根据二项分布的性质公式，可得：，可得方程：，解得：，则，故选：A.3.如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（）①在区间上是增函数；②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；④是的极大值点.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当时，所以在区间上单调递减，故①错误；在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；故选：C．4.如图，在一组样本数据，，，，的散点图中，若去掉后，则下列说法正确的为（）

A.相关系数r变小，决定系数变小 B.相关系数r变大，决定系数变小C.相关系数r变大，决定系数变大 D.相关系数r变小，决定系数变大【答案】C【解析】【分析】由相关系数及决定系数的意义直接判断.【详解】从散点图分析可知,只有D点偏离直线较远,去掉D点后，x与y的线性相关程度变强,相关系数r变大，决定系数变大.故选：C5.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下列联表：男生女生总计更喜欢“冰墩墩”301040更喜欢“雪容融”303060总计6040100参考公式：，其中.附表：则下列说法中正确的是（）A.有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”B.有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”C.在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”【答案】A【解析】【分析】根据题目条件求出观测值，同观测值表中的进行检验，即可得出答案.【详解】由题意可得：，所以有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”.故选：A.6.面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（）A.6种 B.9种 C.12种 D.24种【答案】C【解析】【分析】分类加法计数原理，结合排列组合知识进行求解.【详解】分为三类：①甲、乙各一天，有种；②甲2天，乙1天，有种；③乙2天，甲1天，有种，6+3+3=12，故共有12种方案.故选：C7.若，则的值是（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】令得，令得①，令得②，联立即可求解.【详解】∵，令得，令得①，令得②，（①+②）÷2得，则，故选：B.8.已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.【详解】由题意知：，；，，；令，则，，则当，即时，取最大值，此时.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.袋中装有4个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，从中不放回的随机取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的有（）A.事件A与事件B独立B.事件A与事件B不互斥C.在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为D.在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概念判断A，B的正误，根据条件概率公式分别计算事件A发生的前提下，事件B发生的概率以及在事件B发生的前提下，事件A发生的概率判断C，D的正误.【详解】对选项A：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率，因为，所以事件A与事件B不独立，选项A错误﹔对选项B：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项B正确；对选项C：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项C正确；对选项D：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项D错误．故选：BC.10.已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（）A.数列是等比数列 B.C.数列是递减数列 D.数列是递增数列【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得，从而得出，求出，从而可求出，进而可判断各个选项.【详解】由，则两式相减可得，即由题意，满足所以,所以数列是等比数列，故选项A正确.则，故选项B正确.又，所以数列是递增数列故故选项C不正确，故选项D正确.故选：ABD11.已知函数在上可导且，当时，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（）A.函数在上为增函数 B.是函数的极大值点C D.函数有2个零点【答案】AC【解析】【分析】由条件判断单调性后对选项逐一判断【详解】由题意得，而当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A正确，B错误，对于C，由单调性可知，则，故C正确，对于D，，若，则函数无零点，故D错误，故选：AC12.如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥-的体积为定值B.存在点P，使得C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段ACD.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3【答案】ACD【解析】【分析】结合选项逐个求解，体积问题利用锥体体积公式可得，垂直问题利用向量求解，截面周长根据截面形状可求.【详解】对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确；对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，；若，则，即，与题意矛盾，所以B不正确；对于C，，由得，所以的轨迹就是线段，所以C正确；对于D，因为，所以平面；因为平面平面，所以平面；以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为，所以截面周长为，所以D正确.故选：ACD.【点睛】正方体中的动点问题，可以借助空间向量来处理，把位置关系，角度关系转化为向量运算.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.被除，余数为___________.【答案】1【解析】【分析】将化为，然后利用二项式定理求解即可【详解】，因为能被7整除，所以除以7的余数即为8除以7的余数，即为1．故答案为：114.已知某批产品共20件，其中二等品有8件.从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列.012______________________【答案】①.②.【解析】【分析】利用超几何分布求解即可【详解】由题意可得，，故答案为：；.15.陕西省白水县是国内外专家公认的苹果最佳优生区之一，素有“中国苹果之乡”的美誉，其“白水”苹果也被确定为陕西省知名品牌.白水苹果以酸甜适中､香脆可口而驰名中外，多次被评为“中华名果"“黄土高原上的明珠"等.据统计，白水苹果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为___________.（附：若，则）【答案】【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则和正态曲线的对称性进行求解.【详解】由服从正态分布，则则故答案为：16.已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．【答案】【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.详解】设，所以，设，，当时，，，所以单调递增，当时，，，所以单调递减，当时，函数有最小值，即有最小值，所以，此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，由，显然在直线上，则，因此有，故答案为：【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数单调性是解题的关键.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知，___________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）和（2），，【解析】【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.【小问1详解】二项展开式的通项公式为：.若选①，则由题得，∴，即，解得或(舍去)，∴.若选②，则由题得，∴，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，，.【小问2详解】由（1）可得二项展开式的通项公式为：.当即时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:，，.18.已知数列的前项和为.数列是递增的等比数列，，；（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项的和为，且证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质列式求解作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.【小问1详解】因为数列是递增的等比数列，，必有，依题意，，解得，因此，数列的公比，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，而，则，所以.19.在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为的中点，（1）证明：；（2）若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由和证明平面即可得出；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和面的法向量，利用向量关系即可求出.【小问1详解】证明：因为为的中点，所以.又，且，所以平面，又因为面，所以；【小问2详解】因为底面为直角梯形，，所以四边形为矩形，所以，又，平面，所以四边形是平行四边形，则，所以，则，以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，则，所以平面和平面所成角的余弦值.20.已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．（1）求C的方程；（2）点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.【小问1详解】设双曲线C的方程为，由题意知，∴双曲线C的方程为【小问2详解】设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1），则，，∴直线PA方程为，令，则，同理N（0，），由，可得∴∴∴∴∴∴，当时，，此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）【解析】【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）又当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，所以：令（a＞0）所以：在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，故：a的取值范围为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质