上海市徐汇中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（教师版）

徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期末2023.6一、填空题（本大题共有12题，1-6题4分，7-12题5分，满分54分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分.1.抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.故答案为：.2.已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角____________．【答案】【解析】【分析】根据直线的方程求得直线的斜率为，得到，进而求得的值.【详解】由题意，直线的方程为，可得直线的斜率为，即，又因为，所以.故答案为：.3.已知随机事件，则__________.【答案】【解析】【分析】由条件概率的计算公式即可求解.【详解】由条件概率可得,所以.故答案为：4.已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程．【详解】由已知可得,即得,所以双曲线方程为:.故答案为:.5.已知函数，则__________．【答案】【解析】【分析】首先计算，当时，即可求值.【详解】，，.故答案为：6.受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）23452.23.85.5若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为______.【答案】##7.1【解析】【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，将代入求解.【详解】，故，故，故，故答案为：7.17.某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______人.【答案】200【解析】【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案.【详解】由题意可知，且,则，故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为，故答案为：200.8.若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为______.【答案】【解析】【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，故.故答案为：9.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.【答案】0.6【解析】【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．

由，得，

即，所以，

所以，

故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．10.若是函数的极小值点，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】求导，根据极值点与导函数关系求的值，并代入原函数结合单调性检验.【详解】由题意可得：，因为，解得或，若，则，令，解得或；令，解得；则函数在上单调递增，在上单调递减，所以是极小值点，符合题意；若，则，令，解得或；令，解得；则函数在上单调递增，在上单调递减，所以是极大值点，不符合题意；综上所述：实数的值为2.故答案为：2.11.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为________.【答案】##1.2【解析】【分析】设取到白米粽的个数为随机变量，求出对应的概率，利用期望公式求解.【详解】设取到白米粽的个数为随机变量，则，所以，，，，所以故答案为：12.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为______．①双曲线的离心率为2；②双曲线的一条渐近线的斜率为；③线段AB的长为；④的面积为．【答案】①④【解析】【分析】利用双曲线定义结合可得，利用，求得，继而可得，即可求得额离心率，判断①，由离心率可得，判断②，利用，求得，判断③，计算的面积判断④.【详解】如图示：不妨设A在第一象限，则，由于，可得：，由于，所以，故，可得：，故，而,故，所以由可得，即，所以①双曲线的离心率，①正确；由可得，故，则双曲线的渐近线的斜率为，②错误；由以上分析可知，③错误；在中，，故，④正确，故答案为︰①④﹒【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线定理的理解和应用，解答本题的关键在于利用双曲线定义结合已知求得后，要注意推出，从而，即可求得相关线段长，则离心率渐近线斜率和弦长以及面积问题即可解决.二、选择题（本大题共有4题，13-14题4分，15-16题5分，满分18分）13.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线一般式中平行满足关系即可求解.【详解】若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行．故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”故选：A14.已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（）A.当曲线表示双曲线时，的取值范围是B.当时，曲线表示一条直线C.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆D.存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】C【解析】【分析】根据直线、椭圆以及双曲线方程的特征逐项分析判断.【详解】对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或，所以的取值范围是，故A错误；对于选项B：当时，则，解得，所以曲线表示两条直线，故B错误；对于选项C：当时，则，即，可得，曲线：表示焦点在轴上椭圆，故C正确；对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为，可得，则，无解，所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误；故选：C.15.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．16.已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于、两点.①抛物线的准线为；②直线与抛物线相切；③；④.以正结论中正确的是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】B【解析】【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．【详解】对于①：因为点在抛物线：上，则，解得，所以抛物线：，其准线为，故①错误；对于②：令，则，可得，即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，所以直线AB与抛物线C相切，故②正确；对于③：由题意可知，直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，联立方程，消去y得：，可得，即，且，因为因为，所以，故③正确；对于④：由题意可知，因为，又因为，则，所以，故④错误故选：B．【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．（2）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解．（2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到的取值范围．【小问1详解】当时，，即，化简得，即，所以，所以不等式的解集为，由此可得．【小问2详解】，可得,，得，再解，即①当时，无解，，满足；②当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．③当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．综上所述，a的取值范围是18.李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：超过M不超过M上班时间下班时间（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．附：，，【答案】18.，填表见解析19.无显著差异；理由见解析【解析】【分析】(1)根据茎叶图求出中位数，列表即可；(2)将表格中数据代入公式即可.【小问1详解】由茎叶图可知，该组数据的中位数为，故列出2×2列联表如下：超过M不超过M上班时间812下班时间713【小问2详解】由2×2列联表可知，，故上下班的通勤时间不存在显著差异.19.：，，：.（1）求，有交点的概率；（2）设交点个数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）联立方程利用判断交点个数，并结合古典概型运算求解；（2）根据（1）中的结果求分布列，进而可求期望.【小问1详解】联立方程，消去y得，显然，可得，因为，则的符号如下表所示：12345120345共有25个基本事件，其中：（没有交点）有6个基本事件，概率为；（有1个交点）有1个基本事件，概率为；（有2个交点）有18个基本事件，概率为；所以，有交点的概率.【小问2详解】由题意可知：的可能取值有，由（1）可得：，则的分布列为012所以的数学期望.20.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【解析】【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.试题解析：（1）当时，由,解得.∴在上是减函数，在上是增函数.∴的极小值为，无极大值.（2）.①当时，在和上减函数，在上是增函数；②当时，在上是减函数；③当时，在和上是减函数，在上是增函数.（3）当时，由（2）可知在上是减函数，∴.由对任意的恒成立，∴即对任意恒成立，即对任意恒成立，由于当时，，∴.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.21.已知椭圆C：的焦距为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．【答案】（1）（2）①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为.【解析】【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面