椭圆知识点及经典例题

椭圆知识点

知识要点小结：

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点K、B的距离之和等于常（卜6|+/6|=2a＞同可），这个动

点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若（怛月|+pK|=|F,F2|）,则动点P的轨迹为线段片居；

若（归耳|+/鸟|＜闺可），则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

22

1.当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：0+4=13＞8＞0）,其中。2=〃一/

CTb

2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：5+1=1（a＞6〉0）,其中,2="一〃；

a"

3,椭圆的参数方程卜="c°s°（泌参数）

y=bsm（p

注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆

的标准方程；

2.在椭圆的两种标准方程中，都有（a＞b＞0）和="一。2

3.椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为（c,0）,（-c,0）；

当焦点在），轴上时，椭圆的焦点坐标为（0,c）,（0,-c）

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆：「+5=1（。＞匕＞0）的简单几何性质

a-b

（1）对称性：对于椭圆标准方程rX+JV=1（。＞人＞0）：说明：把x换成一x、或把y换成一y、

a-b

22

或把X、y同时换成一X、一V、原方程都不变，所以椭圆会+为=1是以X轴、y轴为对称轴

的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

(2)范围：

椭圆上所有的点都位于直线x=±。和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足卜|<a,

(3)顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

22

②椭圆三+==13>8>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

4(—a,0),43,0),B^O-b),B2(0,b)

③线段A|A2,耳当分别叫做椭圆的长轴和短轴，IA4|=2a，|BtB2\=2b.a和b分

别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

(4)离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e='=£。

2aa

②因为所以e的取值范围是(0<e<l)。e越接近1,则c就越接近。，从而

b7a2越小,因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,从而匕越接近于a,这

时椭圆就越接近于圆。当且仅当。=人时，c=(),这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为

g|.8l

x+y=a

注意：椭圆j+=l的图像中线段的儿何特征(如下图)：

ah

.,,.\PFtI\PF,I

⑴(PE\+\PF2=2«)；r-L±=r^-L=e；

1111

\PM}|\PM2I

(|PM|+P“2|=等;

22

•（|町|=忸鸟|=a）；（\OFt\=\OF2\=C）；\\B|=|A2B|=A/«+/7；

（3）[A]F,|=|A2F,\=a-c；I^F,|=|^2^\=a+cja-c<^PFx|<a+c；

知识点四：椭圆第二定义

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e,那么这个点的轨

迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.

22

左准线L：X=-上右准线，2：X=上

CC

知识点五：椭圆的焦半径公式:

（左焦半径）八=a+exa（右焦半径）r2-a-ex（｝其中e是离心率.

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:

。+冲0

（其中片，鸟分别是椭圆的下上焦点）.

\MF2\=a-ey0

知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

弦长公式：若直线/:y=Zx+b与圆锥曲线相交与A、B两点,A（王，y）,以/,%）则

22

弦长|Afi|=y/（x,-x2）+（^-y2）=J（X|-%2）2+（依-3）2=J1+七]的-x2|

2

=Jl+GJ（X]+x2）-4X1X2

222x2

知识点七：椭圆二+二=1与\+1(a>b>0)的区别和联系

ab~a~

22y2x2

标准方程hL8b>6-+-=1(a>/,>0)

1

y

fl,

图形0--5

Xk

2

焦点耳(―c,0),用(孰0)耳(0,—c),F2(0,C)

焦距I咽|=2cH尸2|=2c

范围\x\<a,|y|<^1X型，|y

对称性关于X轴、y轴和原点对称

顶点(±4,0),(0，土b)(0,土a),(±b,0)

性质

轴长长轴长=2a,短轴长=»

e=£(0<e<1)

离心率

a

a2a2

准线方程x=±—y=±-

cc

6I=Q+气，|尸闾="%

焦半径\PF\=a+eyQ,\PF2\=a-ey0

2222

注意：椭圆下〉］，»w>。)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系

都有(〃>。>0)和6=£(0<6<1),«2=b2+C2;不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点

a

坐标也不相同。

规律方法：

1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐

标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件。力；一个定位条件焦点坐标，由焦点

坐标的形式确定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量a,仇c的几何意义

椭圆标准方程中，。，仇c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分

别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：（a>b〉O）,

（a>c>0）,且=从+。2）。

可借助右图理解记忆：

显然：a/,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条

直角边。

3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看V的分母的大

小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4.方程A?+为2均不为零）是表示椭圆的条件

2222

AxRvyPv

方程-2+B）,2=c可化为一+-2-=1,即a+.=1,所以只有A、B、C同号，且

cccc"

AB

A#B时，方程表示椭圆。当c'>2c•时，幡圆的焦点在X轴上；当c时c，椭圆的焦点在y轴

ABAB

上。

5.求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由

条件确定方程中的参数a,"c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

22

共焦点，则c相同。与椭圆二+勺=1（。>人>0）共焦点的椭圆方程可设为

ab-

x22

此类问题常用待定系数法求解。

212

a4-mb+m

7.判断曲线关于x轴、)，轴、原点对称的依据：

①若把曲线方程中的X换成一X,方程不变，则曲线关于y轴对称；

②若把曲线方程中的y换成-y,方程不变，则曲线关于x轴对称；

③若把曲线方程中的x、y同时换成一X、-y,方程不变，则曲线关于原点对称。

8.如何求解与焦点三角形△PFE(P为椭圆上的点)有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PFR有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股

定理)、三角形面积公式及用&=g|P6|x|p周xsinN与尸用相结合的方法进行计算解题。

将有关线段俨周、|P周、恒局，有关角NFiPF?()结合起来，建立

仔耳|+归闾、|尸耳冈尸图之间的关系.

9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率6=£(0<6<1),因为02=/一〃，

a

a>c>0f用〃表示为e=-(一)~(0<e<1)。

显然：当2越小时，e(0<e<l)越大，椭圆形状越扁；当越大，e(0<e<l)越小，椭圆形状

aa

越趋近于圆。

经典例题：

一、椭圆的定义

例1、已知Fi(-8,0),F2(8,0),动点P满足|PFI|+|PF2|=16,则点P的轨迹为()

A圆B椭圆C线段D直线

22

例2、椭圆3--2-=1左右焦点为Fi、F2,CD为过FI的弦，则/CDF2的周长为______

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二、椭圆的标准方程

例3、已知方程』一+」一=1表示椭圆，则k的取值范围是()

1+k1-k

A-l<k<lBk>0Ck20Dk>l或k〈-l

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例4、已知方程井―+-2—=1,表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为_______.

-12-m

例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10,短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2,1)

(3)经过点(5,1),(3,2)

例6、若ZABC顶点B、C坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB边上的中线长之和为30,求/

ABC的重心G的轨迹方程。

例7、已知动圆P过定点A(—3,0),且在定圆&(x-3Y+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆

心P的轨迹方程.

例8、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为延和述，过P点

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作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.

三、离心率

x2V2

例9、椭圆-y—方=1(。>6>0)的左右焦点分别是F|、F2,过点F1作X轴的垂线交椭圆于P点。

ab

若/F|PF2=60°,则椭圆的离心率为

例10、已知正方形ABCD,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为

22

例11、椭圆二+与=1(。＞匕＞0)与X轴正向交于点A,若这个椭圆上总存在点P,使

a-b

OPLAP(。为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.

四、最值问题

r2

例12、椭圆一