新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：3 .3 .2 从函数观点看一元二次不等式

温馨提示:

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合

适的观看比例，答案解+析附后。关闭Word文档返回原板块。

3.3.2从函数观点看一元二次不等式

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程•「解一元二次不等式的现实意义.

屋2.能够伟助二次函数求解•无二次不等式,并能川集合表示•元二次不等式的解集.

,3.什助二次函数的图象.r解•元二次不等式与相应函数、方程的联系.

为基础认知•自主学习④

概念认知

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元

二次不等式.

2.一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系(a>0)

A=/f—4ac△〉0△=0△VO

有两个相等的实

方程«.r2+有两个相异

数根

〃.r+c=()的的实数根处，没有实数根

_1)

根.R(<丁2)71—JCi—一瓦

b

VI/D

二次函数y

=ax1+bj'

Al\o|/X2X

+c的图象O|X]=X2~o\--------

(―0°,—y-)U

ax2,+bx+c(—8,融)(J\2a，

R

>0的解集(12，+8)(―y-»+°°)

vLa/

CLT~+bx+C

(力,)2)00

<0的解集

自我小测

1.不等式(2x+l)(x-1)>0的解集是()

1

A.ix|-2<x<l,B.{x|x>1}

C.{x|x<l或x>2}D.ix|x<->1

_1

选.因为方程的解为,所以根据函

D(2x+l)(x-1)=0xi=--,x2=1

数V=(2x+l)(x-1)的图象，可得原不等式的解集为

'x|x<-5或x>1>.

2.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1},那么a的值是

)

A.1B.2C.3D.4

选c.由题意可知-7和-1为ax2+8ax+21=0的两个根所以-7x（-

21

），

1=­da=3.

_（1

3.一兀二次不等式ax2+bx+2>O（arO）的解集是［-］闻，则a+b

的值是（）

A.10B.-10C.14D.-14

1111b

选D.方程ax2+bx+2=O（awO）的两个根为-］和§，-5+§=一［，

112

--X-二一

23a'

所以a=-12,b=-2,a+b=-14

4.（教材二次开发：练习改编）某公司每个月的利润y（单位：万元）关

于月份n的关系式为y=n2-9n+U4,则该公司12个月中，利润大

于100万元的月份共有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

选C.由题意得n2-9n+114>100,解得n<2或n>7古攵n=l,8,9,

10,11,12,共6个月.

5.二次函数y=x2-4x+3当函数值为负数时x的取值范围是

22

由于方程x-4x+3=0的两个根为Xi=1,x2=3.故不等式x-4x+3

<0的解集为仅|10<3}•

答案：l<x<3

6.不等式-3x2+5x-4>0的解集为.

原不等式变形为3X2-5X+4<0.

因为△=(-5)2-4x3x4=-23<0，所以由函数y=3x2-5x+4的图象

可知，3x2-5x+4<0的解集为0

答案：。

7.不等式-x2+mx+m<0恒成立的条件是_______.

-x2+mx+m<0恒成立,衡介于△<0,BPm2+4m<0,所以-4<

m<0.

答案：-4<m<0

8.解下列不等式：

(1)x(7-x)>12；

(2)X2>2(X-1).

⑴原不等式可化为x2-7x+12<0,

因为方程*2-7*+12=0的两根为xi=3,X2=4,

所以原不等式的解集为{x|3Sx"}.

⑵原不等式可以化为x2-2x+2>0,

因为判别式A=4-8=-4<0,

所以方程x2-2x+2=0无实根,

而抛物线y=x2-2x+2的图象开口向上，

所以原不等式的解集为R.

住学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.(2019•全国I卷)已知集合M={x|-4<x<2},N=

{xlx?-x-6<0},则McN=()

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}

选C.由题意得，M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},则MnN={x|-

2<x<2}.

2.函数y=由+x-12的自变量的取值范围是()

A.{x|x<-4aJ6X>3}B.{x|-4<x<3}

C.{x|xW-4或x>3}D.{x|-4<x<3}

选C.由题意得函数满足x2+x-12>0,

即(x-3)(x+4)>0,解得XW-4或X23,

所以函数的定义域为{x|xW-4或x>3}.

x+2

3.不等式—>2的解集是()

3-x

4

A.lx5Vx<3,B.jxx<§或x>3

X+2X+2

选A.不等式口>2,转化为有。。,

x+2-2(3-x)3x-4

即一丁­

亦即(x-3)(3x-4)<0,

解得§<x<3,

故不等式的解集是{xg<x<3>.

fx2-4x+3<0,

4.不等式组的解集是()

2x2-7x+6>0

B•I】,I)

A.(2,3)

C.[1,I]U(2,3)

D.(-00,1)U(2,+°°)

选C.解不等式x2-4x+3<0,

即(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3.

3

解不等式2x2-7x+6>0,即(x-2)(2x-3)>0,解得x<­或x>2.因为

{x[l<x<3}c]x|xW或x>2]=[1,I]U(2,3),故原不等式组的解集为

[1,j]U(2,3).

5.若2x2-5x+2<o,则「4x2-4x+l+2|x-2|=()

A.1B.2C.3D.4

选C.将不等式2x2-5x+2<0因式分解得（x-2）（2x-l）<0,

fx-2>0,fx-2<0,i

即1或J无解或5<x<2,

[2x-l<0[2x-1>O,z

所以]4X2-4X+1+2|X-2|=\j（2x-1）2+2|x-2|=2x-1+4

-2x=3.

6.若产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3OOO

+20x-0.1x2（0<x<240），若每台产品的售价为25万元,则生产者不

亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）

A.100台B.120台

C.150台D.180台

选C.y-25x=-O.lx2-5x+3000<0,

即x2+50x-30000>0,

解得X2150或烂-200（舍去）.

故生产者不■本的最低产量是150台.

二、多选题

7.下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）

A.3x+4<0B.x2+mx-1>0

C.ax2+4x-7>0D.x2<0

选BD.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是，C不

—XE是，B,D-XE是.

8.下列结论错误的是()

A.若方程ax2+bx+c=0(ar0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0

的解集为R

B不等式ax2+bx+cWO在R上恒成立的条彳牛是a<OfiA=b2-4ac<0

1

-

贝n

Ja<

C.右关于x的不等式ax2+x-4

1

D.不等式［>1的解为x<l

选ABD.A选项中，只有a>0时才成L；B选项当a=b=0,c<0时也

成立；D选项应为0<x<1.

三、填空题

9.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1,

0)和(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.

根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-8,-1)U(3,+8).

答案：(-OO,-1)U(3f+8)

10.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围

是_______•

由题意，知x2-4x+3m>0对一切实数x恒成立，所以△=(-4)2-

4

4x3m<0,解得m>2.

4、

答案：W，+8

L07

四、解答题

11.解不等式：0<x2-x-2<4.

[x2-x-2>0,

原不等式等价于1

俨-x-2<4.

解x2-X-220,得狂-1或X22；

解x2-x-2",得-2WXW3.

所以原不等式的解集为{x|xW-1或x>2}n

{x|-2<x<3}={x|-2<x<-1或2<x<3}.

12.某单位在对一个长800m、宽600m的草坪进行绿化时，是这样

想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证

绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,则花坛宽度的取值范围是多

少？当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？

设花坛的宽度为xm,则绿草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,

1

根据题意得(800-2x)-(600-2X)>2X800X600整理得x2-700x+60

000>0,

解不等式得让600(舍去)或XW100,

由题意知x>0,所以0<x<100.

当x在(0,100］之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

绿草坪的面积S=(800-2x)-(600-2x)

=4(x-350)2-10000(0<x<100),

当x=100时S取得最小值.

即当花坛宽度为100m时绿草坪面积最小.

综合突破练

一、选择题

1.在R上定义运算O：aOb=ab+2a+b，则满足xO(x-2)<0的实

数x的取值范围为()

A.(0,2)

B.(-2,1)

C.(-00,-2)U(1,+°°)

D.(-1,2)

【解题指南】先利用。运算的法则变形，再解不等式.

选B.由aOb=ab+2a+b,得xO(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=X?+x

-2<0,所以-2<x<l.

2.若不等式x2-2x+5>a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取

值范围为()

A.[-1,4]

B.{-00,-2]U[5,+°0)

C.(-00,-1]U[4,+叫

D.[-2,5]

选A.x2-2x+5=(x-l)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5>a2-3a对

任意实数x恒成立,只需a2-3a<4,解得-l<a<4.

3.函数y=^x2+mx+y对一切x£R恒成立,则实数m的取值范

围是()

A.m>2B.m<2

C.m<0或m>2D.0<m<2

选D.由题意知x2+mx+y>0对一切xER恒成立,所以△=m2-

2m<0,所以0<m<2.

4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12

万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高

产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0

<x<l),则出厂价相应提高比例为0.75X,同时预计年销售量增加比

例为0.6x，已知年利润=(出厂价-投入成本)x年销售量.为使本年度

的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x的范围是

AHB.(0』

fi»fia

c•[z，SD•。2

选B.由题意，设本年度年利润为y,

则y=[(1+0.75x)xl2-(1+x)xl0]x(l+0.6x)xl0000=-6OOOx2+2

OOOx+20000,

即y=-6000x2+2OOOx+20000(0<x<1).

上年度利润为(12-10)x10000=20000.

所以y-20000>0,即-6OOOx2+2OOOx>0,

所以0<x<；,即x的范围为|o局•

二、填空题

5.不等式9x4-37x2+4<0的解集为.

【解题指南】注意到X，=(x2)2,可将原不等式看作关于X2的一元二次

不等式，求出X2的范围后，再求X的范围.

11

9x4-37x2+4<0=俨-4)函-1)<0=§<x2<4，所以-2<x<-§

所以该不等式的解集为

‘X-2<x<-3或g<x<2

答案：'X-2<x<-聂力<x<2,

6.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元.为

了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木

材销售量减少|t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每

年不少于900万元，则t的取值范围是_______.

设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y=2

(51,

40020-Ztxt%=60(8t-t2).

\人)

令y>900,即60(8t-t2)>900,解得3<t<5.

答案：［3,5］

b

7已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+叫贝归=_______,

d

ax-b

关于x的不等式——>0的解集是_______.

x-2

依题意，a>0且［=1,所以'=-1；

ax-b(

不等式---->0可变形为(ax-b)(x-2)>0,SPx--(x-2)>0,所

x-2I

以(x+l)(x-2)>0,故x>2或x<-1.

答案：-1{x|x<-1或x>2}

8.若对x£［-3,-1］上恒有X?-ax-3<0成立，则a的取值范围是

要使x2-ax-3<0在[-3,-1]上恒成立,则必须使函数y=x2-ax

-3在[-3,-1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上,

[(-3〉-(-3)a-3<0,(3a+6<0,

此时a应满足J,、,、即彳.

)-3<0[a-2<0,

解得a<-2.故当a£(-8,-2)时，有x2-ax-3<0在x£[-3,-

1]时恒成立.

答案：(-8,-2)

三、解答题

9.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为｛x|x<1或x>b｝.

⑴求a,b的值；

(2)解不等式ax2-(ac+b)x+be<0.

⑴因为不等式ax2-3x+6>4的解集为｛x|x<1或x>b｝,所以xi=1

与X2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.

r3

1+bQ[a=l,

由根与系数的关系，得《9解得

lxb=-,3=2.

Ia

⑵由⑴知不等式ax2-(ac+b)x+be<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,

即(x-2)(x-c)<0.

当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为｛x[2<x<c｝；当c<2时,

不等式（X-2）（x-c）<0的解集为{x[c<x<2}；当c=2时，不等式（x-

2）（x-c）<0的解集为◎

10.用可围成32m墙的砖头，沿一面旧墙（旧墙足够长）围成猪舍四间

（面积大小相等的长方形）应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大

面积是多少？

（\

32-5x

设长方形的一边（垂直于旧墙）长为Xm,则另一边长为—m,

总面积

、32

S=x（32-5x）=-5x2+32x,0<x<y,

〜16,256,

当x=wmn时，Smax=E"（m2）.

答：当长方形一边（垂直于旧墙）长为当m,另一边长为4m时猪舍

面积最大，最大值为争ri?.

》素养培优练出

（60分钟100分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得3分，有选错的得0分）

X

1.A=ix_-0f,B={x|x?+x-6<0},则AnB=（）

x—z9

A.{x|-3<x<0}B.{x|0<x<2}

C.{x|0<x<2}D.{x|-3<x<2}

V

选B.由集合A中的不等式---<0,

x-2

x>0[x<0

得至I」0c或cc，解得0WX<2,

x-2<0[x-2>0

所以集合A={x[0Wx<2}

由集合B中的不等式x2+x-6<0,

因式分解,得(x-2)(x+3)<0,

解得-3<x<2,

所以集合B={x|-3<x<2},

则AcB={x|0<x<2}.

2.若不等式0<x2-2mx+2m+1<1有唯一解，则实数m的取值为

()

A.0B.1C.0或2D.1或3

选C.因为x2-2mx+2m+1=(x-m)2+2m+1-m2,所以2m+1-m2

=1才能满足不等式0<x2-2mx+2m+1<1有唯一解，解得m=0或

2.

3.已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,且ax?+bx+c=0

有两个实数根X1,X2,则Xl+X2等于()

A.0B.3C.6D.不能确定

选C.由于二次函数y=ax12*6+bx+c的对称轴方程为x==3,可

b

得-1=6,又因为方程ax2+bx+c=0的两根分别为xi,x,由根与

d2

系数的关系得XI+X2=4=6.

d

(x-la-2、

4在R上定义运算=ad-be，石不寺式>1对

\Cdj+1x/

任意实数X恒成立，则实数a的最大值为()

1313

A.-2B.-C.2D.

'x-1a-2

选D.由定义知，不等式>1等价于x2-x-(a2-a-

Ia+1xy

2)>1,所以x2-x+l>a2-a对任意实数x恒成立.因为x2-x+l=

(x2333

[-2]+4-4,所以a2-aq,

133

解得-2<a<2,则实数a的最大值为'.

5.函数y=x2-(a+l)x+a的零点的个数是()

A.1B.2C.1或2D.0

选C.由X?-(a+l)x+a=0得xi=a,x2=1,当a=1时函数的零点为

1个；当awl时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1

或2.

6.关于x的不等式2ax2-4x<ax-2只有一^整数解，则a的取值范

围是()

1

A.<a<lB.l<a<2

C.l<a<2D.-l<a<l

1

选C.2ax2-(4+a)x+2=(2x-l)(ax-2)<0，当a=0时，得x>,，不

符合题意；

2

当且时，符合题意，解得

a>01<d-<2l<a<2.

.侈选)关于的不等式2的解集，以下叙述正确的是

7x56x2+ax-a<0

()

aA

.当时，不等式的解集为

Aa>0{x|--/<x<­o}

B.当a=0时，不等式的解集为。

C.当a<0时，不等式的解集为仅由<x<-y}

aA

D.当a>0时,不等式的解集为{X[R<X<-y}

选ABC.关于x的不等式56x2+ax-a2<0可化为(8x-a)(7x+a)<0,

当a>0时，不等式的解集为]x-|<x<|j；

当a=0时，不等式的解集为。；

a3

当a<0时，不等式的解集为卜§<x<-天.

8.(多选)(2020秋•厦门期末)关于x的一元二次不等式x2-2x-a<0的

解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是()

A.2B.4C.6D.8

选BC.设y=x2-2x-a，其图象为开口向上，对称轴是x=1的抛物线,

如图所示.

若关于X的一元二次不等式x2-2x-awo的解集中有且仅有5个整数,

(-1)2-2x(-1)-a<0

因为对称轴为则

x=l,Jo,

(-2)2-2x(-2)-a<0

[3-a<0

即J,

18-a>0

解得3<a<8,所以a可以为4,6.

.(多选)若关于的一元二次方程有实数根

9x(x-2)(x-3)=mXi,x2,

且XKX2，则下列结论中正确的是()

A.当m=0时，XI=2,X2=3

1

B.m>--

C.当m>0时,2<XI<X2<3

D.当m>0时,XI<2<3<X2

选中，时，方程为,解为：

ABD.Am=0(x-2)(x-3)=0Xi=2,x2=3,

所以A正确；

中,方程整理可得：2由存在不相等的两个根的

Bx-5x+6-m=0,

1

条件为：A=25-4(6-m)>0,可得m>--,所以B正确.当m>0时，

即(x-2)(x-3)>0,函数f(x)=(x-2)(x-3)-m与x轴的交点(xi,0),

如图可得,所以正确,不正确.

(x2,0),XK2<3<X2DC

二、填空题(每小题5分，共15分)

10.已知某函数的图象如图所示，则此函数的零点为

由图象可知，函数图象与x轴交点的横坐标分别为0.3,2,即为函数

的零点.

答案：0.3,2

.若关于的二次方程22的两个根分别为

11xx+mx+4m-3=0xx,x2,

且满足,则的值为.

xi+x2=xix2m

关于x的二次方程x2+mx+4m2-3=0有两个根，则△=m?-4(4m2

2

-3)=-3(5m-4)>0,所以--,xi+x2=-m,xrx2=

2

4m-3,又因为xi+X2=xix2,

所以-m=4m2-3,BP4m2+m-3=0,

33

解得m4或m=-1(舍去)，所以m的值为“

3

冬口室•--4

12.已知关于x的不等式为(ax-l)(x+l)<O(aGR)，若a=1,则该不

等式的解集是_________若该不等式对任意的x£[-l,1]均成立，

则a的取值范围是_______.

当a=1时，(x-D(x+1区0,解得-1<X<1,故解集为{x|-1<X<1}.

令y=(ax-l)(x+1),xe[-1,1].

当a=0时，y=-x-1,所以当x=-1时，y取得最大值0,即y<0

恒成立.

当a>0时，y=(ax-l)(x+1)的图象如图所示：

a>0,

要满足xG[-1,1],(ax-l)(x+1)<0恒成立,只需满足：<1

打，

nO<aWl.

当a<0时，y=(ax-l)(x+1)的图象如图所示:

a<0,

要满足xG[-1,1],(ax-l)(x+l)<0恒成立,只需满足<10

I-

l<a<0.

综上:"lWaWl.

答案：{x|-1<X<1}[-1,1]

三、解答题(每小题1。分，共40分)

13.已知不等式x?-ax+a-2>0(a>2)的解集为(-8,Xi)U(X2,+叫，

1

求X1+X2+薪的最小值.

a>2时，△=a?-4(a-2)>0,

因为不等式x2-ax+a-2>0(a>2)的解集为(--,xi)U(X