新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用2022新高考一轮复习练习题

第六章平面向量及其应用

1平面向量的概念与线性运算.............................................-1-

2平面向量基本定理及坐标表示...........................................-7-

3平面向量的数量积及综合应用..........................................-15-

1平面向量的概念与线性运算

A组全考点巩固练

1.设Q是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.。与相的方向相反

B.a与下。的方向相同

C.|-za|^|a|

D.|—Aa|^|A|o

B解析：当2>0时，a与脑的方向相同；当％<0时，a与痴的方向相反.A

错误，B正确.|一痴|=|一由于■用的大小不确定，故|一训与⑷的大小关系

不确定.C错误.囚。是向量，而|一切表示长度，两者不能比较大小.D错误.

2.如图，。是△ABC的边AB的中点，则向量⑦等于（）

一1一

A.-BC+^BAB.-BC-^BA

C.BC—^BAD.BC+^BA

A解析：因为。是△ABC的边4?的中点,

所以eb=g（E+诙）.

因为丽=丽一反：，

所以廊一反'一反'）=一比+痂.

3.（2020•大同模拟）已知O,A,8三点不共线，P为该平面内一点，且舁=为

,AB

+=，则nl()

\AB\

A.点尸在线段AB上

B.点尸在线段AB的延长线上

C.点P在线段43的反向延长线上

D.点P在射线上

]

D解析：由由=为十——，得罚一宓=——，所以分=——-AB,所以点尸

\AB\\AB\\AB\

在射线A3上.

4.(2020•青州模拟)已知向量a,b不共线，且c=2a+),d=a+(2/l-1)从若c

与d反向共线，则实数2的值为()

A.1B.12C.2D.12

B解析：由于c与d反向共线，则存在实数左使c=&f(A<0),于是以+6=

攵[a+(2A-l)封，整理得九i+Z>=3+(2M-Z)瓦因为a,〃不共线，所以《'

2Xk—k=1,

整理得2/i2—2—1=0,解得2=1或2=—g.又Z<0,所以2<0,所以2=一；.

5.(2020•合肥模拟)设。，E,尸分别为△A8C三边BC,CA,A3的中点，则应

+2EB+3FC=()

A.^ADB.|/4£)C.^ACD.|AC

D解析：因为O,E,尸分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点，所以总+

2EB+3FC=^BA+CA)+2X^AB+CB)+3X^X(AC+BC)=^BA+AB+CB+l

乙乙乙乙乙

BC+^C+^CA

=^A6+^BC+AC=^AC4-AC=|AC.

6.若丽|=|A酉=|油一危1=2,则|油+危尸.

2s解析：因为|荏|=河石=|曲一/1=2,

所以△ABC是边长为2的正三角形，

所以|荏+花为△ABC的边8C上的高的2倍，

所以|福+屐1=2#.

7.如图，设。是△ABC内部一点，且0X+次7=—2而，则AABC与△A。。

的面积之比为.

贝质十比=2历，

所以丽=一而，

所以。是AC边上的中线BD的中点，

所以SZV4BC=2SAOAC,

所以△ABC与△AOC面积之比为2：1.

8.给出下面四个结论：

①若线段AC=AB+8C,则向量/=箱+反:；

②若向量公=油十沈，则线段AC=AB+BC；

③若向量油与於共线，则线段AC=AB+BC；

④若向量协与就反向共线，则|卷一比|=A8+BC.其中正确的结论有

________（填序号）.

①④解析：①由AC=AB+B。得点B在线段AC上，则证=屈+反?，正

确；

②三角形内，AC=AB+BC,但ACWA8+BC,错误;

③加，流反向共线时，\AC\=\AB+BC\^\AB\+\BC\,错误；

@AB,反:反向共线时，|成一反1=|油+（一南尸AB+BC,正确.

9.如图，在AABC中，。为的四等分点，且靠近8点，E,f分别为AC,

AO的三等分点，且分别靠近A,。两点，^AB=a,AC=b.

（1）试用a,b表示比，AD,BE；

（2）证明：B,E,尸三点共线.

(1)解：在△ABC中，因为牯=a,AC=b,

trrrrrr।t]31

所以肚=病一麴=》一a,Ab=AJB+Bb=AB+-^C=a+-^b—d)--^a+^b,

BE=BA+AE=—AB+^AC=—a+^b.

2

（2）证明：因为丽=—BF=BA+AF=~AB+^AD=~a+翁4+%)=

11

十6

-呼6-所以标=；族，济与旗共线，且有公共点B,所以B,E,

产三点共线.

B组新高考培优练

10.（多选题）A,B,C是圆。上不同的三点，线段C。与线段交于点。（点

。与点。不重合）.若反=2苏+〃时（九蚱R）,则4+〃的取值可能是（）

A.1B.2C.6D.3

BCD解析：设次7=相而，则m>\.

因为反7=2宓+〃为，

所以加沆）=2/+〃为，

即历=立方+任砺

mm

又知A,B,。三点共线,

所以“+岂=1,即X+u=m

99

mm产，

所以2+〃>1.

11.（多选题X2020.山东四校联考）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且

CD=2DB,点E在边AO上，且AD=3AE,则（）

BZ^\C

BDc

A.CE=^AB+^AC

—►2—►8—►

B.CE=T:AB—7：AC

c.CE=|AD+AC

D.CE=^AD-AC

BD解析：因为场=34+&，AE=|AD,AD=AB+BD,BD=^BC,BC=

BA+AC,

所以防=g廊+危）.

所以屐）=油+由）=油+；丽+颖?，

所以施=^+34,，

所以走=鼻+；勘丽+上庆苦油一得证.

12.如图，A,B,C是圆。上的三点，线段CO的延长线与8A的延长线交

于圆。外的一点。.若加=〃2讨1+〃加，则根+〃的取值范围是.

（-1,0）解析：由点D是圆O外的一点，可设前>=2防（2>1）,则历=为+应）

=08+254=z<9A+(l-z)(9B.

因为C,0,。三点共线，令历=一〃(无8>1).

所以定=一彳为一^-丽(2>1,//>1).

因为沆=〃2醇+〃彷，

所以m=-,n=-----,

21—21

所以m+〃=___-----=__£(—1,0).

林林〃

13.如图，经过4048的重心G的直线与。A,08分别交于点P,Q,设罚

=mOA,0Q=n0B,m,〃GR,求:+'的值.

解：设万1=%0B=b,

—2I—►—]

由题意知0G=3X](0A+0B)=W(a+5),

PQ=OQ—OP=nb-ma,

PG=OG-OP=

由P,G,。三点共线得，存在实数九

使得区=2瓦;，即nb-ma=)\

消去/得品=3・

14.直线/上有不同的三点A,B,C,。是直线/外一点，对于向量醇=(1

—cosa)OB+sinaOC(a是锐角)总成立，求a.

解：因为直线/上有不同的三点A,B,C,所以存在实数九使得放=2比,

所以次一励="灰—份)，

^OA=(1-X)OB+AOC9

[1—^=1—cosa,

所以J.所以sina=cosa.

A=sina,

因为a是锐角，所以a=45°.

2平面向量基本定理及坐标表示

A组全考点巩固练

1.(2020・巴中模拟)若向量箱=(2,3),危=(4,7),则求等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

B解析：BC=AC-AB=(2,4).

2.已知平面向量a=(32),6=(1,1),kGR,则％=2是a与同向的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C解析：若a与方同向，贝Ua—mb(m>0'),

即(左,2)=机(1,1),

k=m,

则彳得〃?=2,k=2,

L2=m,

即k=2是a与力同向的充要条件.

3.线段A3的端点为A(x,5),B(—2,y),直线AB上的点使|危|=2|比

I，则x+y=()

A.12B.2

C.—2或6D.2或6

C解析：由已知得病=(1—X,-4),2反7=2(3,1-y).由|危|=2|病可

得庆=±2反

1—x=6,

则当危=2反?时有

-4=2-2y,

解得匕|x=,-5

此时x+y=-2;

-►f[1—x=-6,

当AC=-2BC时，有J,cic

l-4=-2+2y,

x=7,

解得<'此时x+y=6.

g-l,

综上可知，x+y=-2或6.

4.(2020・南昌调研)已知向量a=(l,-2),8=(x,3y—5),且。〃。.若x,y均

为正数，则孙的最大值是()

r-252525

A.2^/6B.3C.五D.不

C解析：因为a〃b,所以(3y—5)Xl+2x=0,即2x+3y=5.因为x>0,y>

0,所以5=2x+3y»2mH，所以孙W五，当且仅当3y=2x时取等号.

5.(多选题)已知向量“『-2,0),4—万=(-3,—1),则下列结论错误的是()

A.6=(-1,1)B.a//b

C.\a\=\b\D.\a+b\=\b\

ABC解析：因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以》=(1,1),所以a。

=-2,\a\=2,\b\=\f2,所以选项A,B,C都不正确.而“+。=(一1,1),则|a

+b\=y[2=\b\,所以D正确.故选ABC.

6.(2020•开封月考)已知向量为=(4+1,1),〃=q+2,2).若(24+〃)〃(加一2"),

则4=.

0解析：因为2机+〃=(3/1+4,4),zn—2n=(—2—3,—3),且(2m+〃)〃(机

-2n),所以(一3>(32+4)—4(一丸一3)=0,解得2=0.

7.已知在△ABC中，点O满足次1+彷+沃?=0,点P是OC上异于端点的

任意一点，且用》=优宓+〃万则〃?十"的取值范围是.

(-2,0)解析：设(5>=女无(0<%<1),由为+为+而=0,知次:=一(/+

OB),所以舁=一2/一丸刃.由平面向量基本定理知，机+〃=一2九所以m+n&(~

2,0).

8.(2020.中原名校联考)如图，在△ABC中，点M是3c的中点，N在边AC

Ap

上，且AN=2NC,AM与3N相交于点P,则丽

4解析：(方法一)如图，过M作MO〃AC交BN于点。，易知APMDSAPAN.

依题设知DM=3NC=%N,

„APAN

即丽=丽=4,

(方法二)设筋=a,AC=b,因为A,P,M三点共线，所以存在唯一实数九

使得AP=Z4M.

又知M为8C的中点，所以分=%(a+b).

因为8,P,N三点共线，所以存在唯一实数〃，4更得BP=/iBN,

又AP=AB+5P=AB+〃8N=AB+〃(AN-AB)=AB+〃=(L〃)a+

12

所以手(a+6)=(1—〃)a+?必,

1-〃=手

所以2」

孕一小

A43

解得2=予〃=亍

所以国＞=，篇f,PM=^AM.

rrAD

所以|AP|：|PM]=4：1,即丽=4.

9.已知a=(l,O),b=(2,l),

(1)当〃为何值时，妨一Z＞与。+2方共线；

⑵若屈=2a+3A,比=°+，抽且A,B,C三点共线，求机的值.

解：(1)3一8=41,0)—(2,1)=伏一2,-1),

a+26=(l,0)+2(2,l)=(5,2).

因为ka-b与a+2b共线，

所以2(女一2)一(一1)义5=0,

即2A—4+5=0,得人=一/

(2)(方法一)因为A,B,。三点共线，所以牯=2反?，

即2a+3b=X(a+mb)9

2=九3

所以彳解得加=不

、3=加九2

(方法二)翁=2a+36=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(1,0)+z??(2,1)=(2m+1,m).

因为A,B,C三点共线，所以防〃反?，

3

所以8〃?一3(2m+1)=0,即2机一3=0,所以"?=之.

10.已知点。是△A3C内的一点，NAO8=150。，NBOC=90。.设0X=a,OB

=b,次7=c，且|a|=2,\b\=\,|c|=3,试用a和力表示c.

解：以。为原点，OC,08所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面

直角坐标系.

由题意知，0A=2,ZAOC=120°,

所以A(2cos120。，2sin120°),

即4(一1,一),易知3(0,-1),C(3,0).

设次=为访+勿花，

即(一1,#)=九(0,-1)+22(3,0),

[-1=3^2,「尸一小,

所以彳解得彳1

N3=Ti,h=­y

所以a=一小万一gc,即c=-3。一3小小

B组新高考培优练

11.(多选题)已知向量机=(1,0),〃=弓，；)，贝ij()

A.\m\=y[2\n\

B.(m~~ii)//n

C.(机一")J_〃

3兀

D・机与一〃的夹角为彳

ACD解析：因为“=(1,0),&3),所以制|=1,|〃尸乎,

所以|加|=陋|川，故A正确；

因为次一〃=[3，—；)，所以机一〃与〃不平行，故B错误；

,人一，z、机•(一〃)\12“

又(机一〃)•〃=(),故C正确；因为cos一〃〉=-------=—。,所以m

\m\\一n\2

3兀

与一〃的夹角为4，故D正确.故选ACD.

12.已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P

满足丽=。8°——,Ae[0,+8),则动点p的轨迹一定

一JAB|cosB|AC|cosC>

通过AABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

rjr''

C解析：设BC的中点为。，则一2一=①.

rf]

Ir,,GfAB,AC

由已知得DP=a------+—-----,

JAB|cosB|AC|cosC?

所以存•比=3•欧+乎明

JAB|cosB|AC|cosC)

"一一一、

,|AB|-|Bqcos(7t-B),|AC||BqcosC

=A---------------------+——-----------

<|AB|cosB|AC|cosC)

=A(-|BC|+|BC|)=0.

所以DP工BC,点P在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的

外心.

13.(2020•丹东五校联考)向量tana),〃=(cosa,1),且a〃)，则cos

26x=.

解析：因为a〃〃，tana),6=(cosa,1),所以tana・cosa=sina

2

=；,所以cos2a=1—2sin2a=1—2X(；)=*

14.在直角梯形ABC。中，AB±AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

别为3C,CD的中点，以A为圆心，AO为半径的半圆分别交BA及其延长线于点

M,N,点P在半圆弧MN上运动(如图).若力=施+〃而，其中九〃GR,则22

一5〃的最小值为,最大值为.

NAR

一2/2解析：由于故以A为原点，以AB,A。所在直线分别

为九轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

因为点P在半圆弧MN上运动，圆的半径为1,

所以设P(cosa,sina)(0WaW7C),

所以A^=(COSQ,sina),AE=(2,1),济=(—1,

因为

所以(cosa,sina)

=A(2,l)+^-l,I)

=12A—2

22—〃=cosa,

所以，2+1/z=sina,

;1.,3

z=^sina+gcosa,

解得•

1.1

〃=尹11a—4cosa,

所以22—5//=2cosa_2sina=2啦sin(a+^^.

小“八一一.3兀〜।3兀兀

因为OWIWTI,所以彳・1+彳★彳,

所以—2啦W2啦Sin(a+,)W2.

即22—5〃的最小值为一2啦，最大值为2.

15.如图，G是△OAB的重心，P,。分别是边。A,08上的动点，且P,G,

。三点共线.

(1)设历=2区，将济用九0P,两表示；

(2)设^^二兀为，OQ=yOB,证明：是定值.

(1)解：OG=OP+PG=OP+XPQ=OP+X(dQ-OP)=(}~X)OP+XOQ.

(2)证明：由⑴,得

OG=(l-A)OP+AOQ=(l-A)xdA+AyOB.®

又因为G是△04?的重心，

r2—?1rr1—1—

所以x+为)②

而。X漏不共线，

(1—A)x=|,

所以由①②，得J]

[4=彳，

卜-3人

解得jJ

_

ly=32,

所以1+'=3(定值).

xy

16.给定两个长度为1的平面向量万1和彷，它们的夹角为90。，如图所示，

点C在以。为圆心的圆弧蓝上运动.若加=x8l+y彷，其中x,y£R,求x+y

的最大值.

€

OA

兀

解：(方法一)设/AOC=a,则ae0,].过点C作COLOA于点D,CELOB

于点E(图略)，则四边形OOCE是平行四边形，所以说=历+无.又灰:=xdX+

yOB,所以x=cosa,y=sina,所以x+y=cosa+sina=4^sin(a+j).又因为

a@0,%则竽，所以lWx+)W啦，即x+y的最大值是啦.

(方法二)因为点。在以O为圆心的圆弧0上，所以|灰]2=仅次+)，0坪=/+

y2+2xyOAOB=x2+y2,所以^+/=1,则2孙忘_?+丁=1.又(％+»=%2+尸+

2盯W2,所以x+y的最大值为止.

3平面向量的数量积及综合应用

A组全考点巩固练

1.(多选题)已知向量a=(0,5),)=(4,-3),c=(—2,-1),那么下列结论

正确的是()

A.a+b与c为共线向量

B.a-b与c垂直

C.与a的夹角为钝角

D.a—b与8的夹角为锐角

AB解析：根据题意，向量a=(0,5),b=(4,—3),则a+b=(4,2).

又由c=(-2,-1),有4X(—l)=2X(—2),则a+〃与c是共线向量.

因为。一方=(一4,8),(a-6)-c=(-4)X(-2)+(-l)X8=0,所以“一力与c垂

直.

2.(2020.中卫二模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某

学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时.若两只胳膊的夹角为60。，每

只胳膊的拉力大小均为400N,则该学生的体重(单位：kg)约为()

(参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,小心1.732)

A.63B.69

C.75D.81

B解析：设该学生左右两只胳膊的拉力分别为bl,F2,身体的重力为G,

FI=F2=400N,两胳膊夹角。=60。，

所以G+FI+F2=0,即G=-(FI+F2).

22222

所以G=(Fi+F2)=400+2X400X400Xcos60°+400=3X400,|G|=

40M(N),40^^40X1.732^69,

则该学生的体重约为69kg.

TT

3.(202。”超级全能生”全国联考)在△ABC中，AB=4,BC=6,ZABC=^

。是AC的中点，E在上，且AELBO,则成•流等于()

A.16B.12C.8D.-4

A解析：以8为原点，BA,3c所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标

系(图略)，则A(4,0),8(0,0),C(0,6),0(2,3).设及0,t),因为AEL8。，所以加•施

=(2,3)-(—4,r)=—8+3z=0,

所以/=*即40,1).

恁拓=(一4,h.(0,6)=16.

4.(2020•兴庆区校级三模)在边长为2的等边三角形ABC中.若。是边上

的中点，点P是线段A。上的一动点，则协•行的取值范围是()

A.[-1.0]B.[-1,1]

-3、r3

C.[一不+°°JD.[―彳，0

D解析：以。为原点，0c和D4分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直

角坐标系,

则A(0,小)，C(1,O).

设P(0,y),闫0,悯，

所以酢•丽=(0,y—小)-(-1,y)=y(y—S)w[一不0.

5.(2020.唐山二模)已知向量a,b满足⑷=1,(a—5)_1(3“一))，则”与〃的

夹角的最大值为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

A解析：因为⑷=1,（a—b）.L（3a—b）,

所以（a—》〉（3。一））=3/+户-4a-b=3+》2—4a力=0,

亚族F+3

所以ab=~-,

网+生

所以cos〈a功〉=前》==—了回，半，当且仅当协|=小时，等号成立，

且0°W〈a必〉W180°,

所以cos〈。彷〉-时，a,8的夹角最大为30。.

6.（2020.重庆模拟）已知向量。=（一1,2）,办=（3,4）.若向量。与。共线，且c

在方方向上的投影为小，则|c|=.

5解析：向量4=（—1,2）,向量c与a共线，

设c=（一九22）.由8=（3,4）,

所以c在方方向上的投影为

cb—32+82r-

klcos。=而=5=75,

解得2=小，

所以c=（一小，2小），

所以|c[=[(-#>+(2小)2=5.

7.已知向量箱=(2,3),尿：=(3,。，且法与比夹角为锐角，则实数二的取值

范围为•

《，+°°)解析：向量牯=(2,3),AC=(3,t),所以比=庆一屈=

(1,，一3).

—-ABBC>Q,

又AB与夹角为锐角，则,_

.协与反:不共线,

2+3(r-3)>0,

所以“

2(L3)—3W0,

79

解得/>1且7工,

所以实数r的取值范围是(J,1)ug,+8)

8.在平面直角坐标系九Oy中，已知A(0,-1),B(—3,一4)两点.若点C在

NAOB的平分线上，且|比|=①，则点。的坐标是.

(-1,-3)解析：由题意，OA=(0,-1)是一个单位向量.由于为=(一3,

—4),故加方向上的单位向量e=(一|,一"

因为点C在NAOB的平分线上，所以存在实数犯>0)使得反;=晨次+e)=

因为|比|=①，

所以22义舄+|1)=10,解得2=?.

代入得5b=(-1,-3).

9.已知同=4,\b\=3,(2a-3Z>)-(2a+6)=61.

(1)求a与分的夹角仇

(2)求M+"；

(3)若筋=a,BC=b,求△ABC的面积.

解：⑴因为(2a—35>(2a+方)=61,

所以41al2-4Q山一3|那=61.

又|a|=4,\b\=3,

所以64—4。力-27=61,

所以ab=~6,

..、，八a-b-61

=

所以cos^=j^i=4x3~2'

2兀

又OWOWTT,所以。=与■.

(2)|a+加2=(。+。)2=|aF+2。协+例2

=42+2X(-6)+32=13,

所以|a+加=^/15.

rr2兀

(3)因为印方与反?的夹角e=w，

“，2兀兀

所以ZABC=Tt—~Y=y

又|荏|=同=4,|BC|=|Z>|=3,

所以SA/IBC=，崩||的sinNABC

1理r-

=]X4X3X看=3小

10.在△A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A—8),

3

sin(A—B)),?i=(cosB,—sinB),且机•〃=一§.

(1)求sinA的值；

(2)若a=4啦，b=5,求角8的大小及向量或在肥方向上的投影.

3

解：(1)由m•〃=一；,

3

得cos(A—B)cosB—sin(A—B)sinB=一彳

“3

所以cosA=一亍

因为OVAV兀，

所以所nA=.l—cos2A='/1—(一[=*

（1b

⑵由正弦定理，得后=砧，

4

n,.n匕sinA5*5A/2

则sinB-~F*+

兀

因为。＞8，所以A＞8,且8是△ABC一内角，则8=7

解得c=l或c=-7（舍去）,

故向量丽在心方向上的投影为|放卜cosB=ccosB=1X=2'

B组新高考培优练

11.（多选题）已知两个单位向量为，&的夹角为仇则下列结论正确的是（）

A.不存在仇使019=近

B.e?=e2

C.（幻―C2）-L（ei+e2）

D.约在攵方向上的投影为sin。

ABC解析：对于A,因为两个单位向量ei,C2,有eie=1X1Xcos9=cos

所以A正确；对于B,因为两个单位向量ei,62,有质=后=1,所以B正

确；对于C,因为两个单位向量ei,C2,（3—02）・（01+。2）=＞一a=0,所以®一

e2）_L（ei+e2）,所以C正确；对于D,因为两个单位向量ei,ei,e\在改方向上的

投影为|ei|cos9=cos3,所以D错误.

12.（2020.乐山模拟）如图,已知函数/（冗）=竽曲词Ai,4,4是图象的顶

点，。，B,C,。为了（X）与工轴的交点，线段4。上有五个不同的点。1,Q,…，

Q,记修=Q42,OQM=1,2,…，5）,则〃1+改+…+〃5的值为（