2021年高考分类题库考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差1.(2021·浙江高考·T15)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E(ξ)=【命题意图】本题主要考查事件及概率.考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法.【解析】因为取出的两个球都是红球的概率为16,所以C42C4+m+n2=16,则(m+n+4)(m+n+3)=72,解得m+n=5.又因为一红一黄的概率为13,所以C41·Cm1C4+m+n2=13,解得m=3,则n=5-3=2,所以m-n=1.所以袋中有4个红球,3个黄球,2个绿球.则P(ξ=0)=C52C9ξ012P551所以E(ξ)=59+2×16=【答案】1892.(2021·全国乙卷文科·T17)同(2021·全国乙卷理科·T17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和(1)求x,y,s12,(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x≥2s12+s22【命题意图】本题要求考生根据新旧两台设备各生产10件产品得到的某项指标数据,判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高,即研究y-x≥2s12+s【解析】(1)由表中的数据可得:x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12=110×[(9.7-10.0)2+2×(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2×(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2×(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0s22=110×[(10.0-10.3)2+3×(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2×(10.4-10.3)2+2×(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0(2)由(1)中数据得y-x=0.3,2s

20.显然y-x>2s12+3.(2021·北京新高考·T18)(12分)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测.若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(Ⅰ)(i)若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;(ii)已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);(Ⅱ)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).【命题意图】本题考查统计概率的实际应用——离散型随机变量的分布列、数学期望、作出判断或决策等等,意在考查考生的数学建模、数学运算、逻辑推理素养.【解析】(Ⅰ)(i)共测两轮,第一轮100人分10组,故测了10次,第二轮对两名患者所在组每个人都检测一次,共10次,所以总检测次数为20.(ii)由(i)知,两名感染患者在同一组时,共需测20(次),若两名患者不在一组,需要测10+10+10=30(次),所以X所有可能取值为20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1-111=1011,X2030P110所以E(X)=20×111+30×1011=(Ⅱ)E(X)<E(Y).4.(2021·新高考I卷·T18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.【命题意图】本题主要考查概率的分布列及数学期望的相关问题,旨在考查数学建模及数学运算的核心素养.【解析】(1)X的取值可能为0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)假设先答B类问题,得分为Y,则Y可能为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4,所以E(Y)>E(X),所以应先答B类问题.【反思总结】解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布,可用二项分布的期望与方差公式计算,则更