2023年高考分类题库考点33 直线、平面平行的判定及其性质

考点33直线、平面平行的判定及其性质18.(2023·新高考Ⅰ卷·T18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.【命题意图】本题考查线线位置关系的判断、二面角的向量表示,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力.【解析】(1)作A2A'⊥BB1于A',D2D'⊥CC1于D',则A2A'D2D'.在平行四边形A2D2D'A'中,A2D2∥A'D'.又C2D'=B2A'=1,则C2B2∥D'A'∥A2D2,得证.(2)如图建立空间直角坐标系,设P(0,0,h),C2(2,0,3),A2(0,2,1),D2(2,2,2),设二面角P-A2C2-D2为θ=5π6.=(2,0,1),=(2,-2,2),=(0,-2,h-1),设平面A2D2C2的法向量为n1=(x,y,z),由,得2x+z=02x-2y+2z=0,令z=-2,则x=1,y=-1,所以n1=(1,-1,-2),同理可求得平面A2C2P的法向量n2=|cosθ|=32=|n1·n从而(h-2)2+3=4,解得h=1或3,故B2P=|2-h|=1.17.(2023·天津高考)在三棱台ABC-A1B1C1中,若A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M,N分别为BC,AB中点.(1)求证:A1N∥平面C1MA;(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值;(3)求点C到平面C1MA的距离.【解析】(1)连接MN,可得MN为△ABC的中位线,所以MN∥AC,且MN=12AC=1而A1C1=1,AC∥A1C1,则MN∥A1C1,MN=A1C1,可得四边形MNA1C1为平行四边形,则A1N∥C1M,而A1N⊄平面C1MA,C1M⊂平面C1MA,所以A1N∥平面C1MA;(2)取AC的中点H,连接MH,由AB⊥AC,MH∥AB,可得MH⊥AC.由A1A⊥平面ABC,MH⊂平面ABC,可得A1A⊥MH,由A1A∩AC=A,A1A⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,可得MH⊥平面ACC1A1.过H作HD⊥AC1,垂足为D,连接DM,由三垂线定理可得DM⊥AC1,可得∠MDH为平面C1MA与平面ACC1A1所成角.由MH=12AB=1在矩形AHC1A1中,DH=AH·HC1A所以cos∠MDH=DHDM=255(3)设C到平面C1MA的距离为d.在△C1MA中,AM=12BC=2,AC1=1+4=5,MC1=1+4=5则S△C1MA=12×2由VC-C可得13dS△C1MA=13d·32=13C1H·S△CMA=13×2解得d=43所以点C到平面C1MA的距离为4319.(2023·全国乙卷·文科·T19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.(1)求证:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.【解析】(1)连接DE,OF,设AF=tAC,则=+=(1-t)+t,=-+12,BF⊥AO,则·=[(1-t)+t]·-+12=(t-1)+12t=4(t-1)+4t=0,解得t=12,则F为AC的中点,由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点得DE∥AB,DE=12AB,OF∥AB,OF=12AB,即DE∥OF,则四边形ODEF为平行四边形,所以EF∥DO,又EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO.(2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M,因为PB=PC,O是BC中点,所以PO⊥BC,在Rt△PBO中,PB=6,BO=12BC=2所以PO=PB2-OB因为AB⊥BC,OF∥AB,所以OF⊥BC,又PO∩OF=O,PO,OF⊂平面POF,所以BC⊥平面POF,又PM⊂平面POF,所以BC⊥PM,又BC∩FM=O,BC,FM⊂平面ABC,所以PM⊥平面ABC,即PM为三棱锥P-ABC的高,因为