2021-2022学年四川省遂宁市遂宁中学校高一下学期3月月考数学试题

20212022学年四川省遂宁市遂宁中学校高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列命题中，正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D．若，则与方向相同或相反【答案】B【分析】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.【详解】对于A选项：平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错；对于B选项：根据向量传递性，正确；对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错.故选：B.2．已知，则．A． B． C． D．【答案】A【详解】.所以选A.【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.3．已知为锐角，为钝角，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.【详解】因为为锐角，为钝角，，所以，，则.故选：C.4．已知向量，不共线，，，若，则（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】D【分析】根据，由，利用待定系数法求解.【详解】已知向量，不共线，且，，因为，所以，则，所以，解得，故选：D【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．已知则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）．【详解】∵∴∴，∴，∴．故选：D6．已知等边三角形的边长为6，点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据，变形转化得到，再利用数量积运算求解.【详解】因为，所以，所以，所以，，故.故选：C.7．已知向量，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平方结合数量积的定义可求.【详解】因为，所以，即．设与的夹角为，则，解得，所以与的夹角为．故选：D.8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则A． B． C． D．【答案】D【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为Sxy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．9．已知函数是偶函数，则在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简可得，根据函数为偶函数可得，再利用余弦函数的性质可求出值域.【详解】因为函数为偶函数，所以.又∵，∴，即.因为，∴，∴当时，的最大值为1，当时，的最小值是.所以在上的值域是.故选：D.10．若的外心为，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把，用及表示后再利用计算．【详解】，故选：C．11．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.【详解】,当时，，所以，故的值域为，因为在上有解即在上有解，故即，故选：C.12．已知函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用倍角公式及辅助角公式将函数化为，再根据函数在区间上恰有5个零点，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可得解.【详解】解：，令，则，由，则，因为函数在区间上恰有5个零点，所以，解得.故选：C.二、填空题13．已知单位向量，的夹角为，则______．【答案】1【分析】利用模的平方等于向量的平方结合平面向量数乘公式即可求解.【详解】，则．故答案为：1.14．__________．【答案】【分析】先由题得到，再整体代入化简即得解.【详解】因为，所以，则．故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15．已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则___________.【答案】【分析】由同角三角函数的关系先求出，由二倍角公式求出，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出，再分析出，从而求出的值，得出答案.【详解】由，则所以，所以由，，可得由角终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则，则所以所以由所以故答案为：16．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________【答案】【分析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.【详解】∵，由，得，当时，，则，解得此时，当时，，则，解得此时，不合题意，当取其它整数时，不合题意，∴.故答案为：.三、解答题17．已知向量，，.(1)若，求n的值；(2)若向量满足，，求的坐标.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合，列出方程组，即可求解；（2）设，得到，结合，且，列出方程组，即可求解.【详解】(1)解：由题意，向量，，，可得，因为，可得，则，解得.(2)解：设，则，，由，且，所以，解得或，所以或.18．已知,其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数转化求解即可．（2）利用正切的两角和的三角函数，结合角的范围，求解角的大小即可．【详解】解：（1）因为，，所以所以所以，（2）因为，，所以，因为，，所以，所以所以【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，是基本知识的考查．19．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，三点共线，设，由，，三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；（2）由，，三点共线，设，由（1）可求得，，即可得到为定值.【详解】解答：（1）由，，三点共线，可设，由，，三点共线，可设，∴，解得，，∴.（2）∵，，三点共线，设，由（1）知，，∴，，∴.20．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.①.②.③.（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【答案】（1）（2），证明见解析【分析】（1）选择①化简得这个常数为；（2）找到一般规律：，再化简证明.【详解】解：（1）（2）一般规律：证明：【点睛】本题主要考查归纳推理，考查三角恒等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21．已知．（1）求的单调递增区间；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（）；（2）．【分析】（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令，即可求得的单调递增区间.（2）根据（1）化简可得，则原题等价于，即可，利用二倍角公式，对化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）化简得==，令，解得所以单调递增区间为，.（2）由（1）可得，即，对任意的恒成立，只需要即可，，令，因为，则，所以，所以，由对勾函数性质可得，当时，为减函数，所以当时，，所以．【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除，得到关于的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题.22．已知函数.(1)若，且，求；(2)记函数在上的最大值为b，且在上单调递增，求实数a的最小值.【答案】(1