人教版数学九年级上册 第24 章 圆 难题（含解析）

第24章圆难题精编

一.选择题（共30小题）

1.如图，。。1的直径A8长度为12,002的直径为8,NAOIO2=30°,。。2沿直线。1。2平移，当。。2

平移到与。。1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距。1。2=%则x的取值范围是（）

A.2WxW10B.C.D.2（xW8

2.如图，AB是OO的直径，AB=AC且/54C=45°,。。交BC于点。，交AC于点£,。尸与。。相

C.AE=2DED.BC=2CE

3.如图，A8为半圆。的直径，M,C是半圆上的三等分点，AB=8,3。与半圆。相切于点艮点尸为

赢上一动点（不与点A,M重合），直线PC交8D于点。，BELOC于点E,延长BE交PC于点R

则下列结论正确的是：①PB=PD；②祕的长为±TT；®ZOBE=45°；④当尸为AM中点时，EC=

3

EF；@ZDFB=ZCBP.其中正确的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

4.如图，AB是。O的直径，CD为。。的弦，且CD1AB于点E,点F为圆上一点，若AE=BF,AD=CF,

0E=\,则8C的长为（)

C.4D.5

5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形。4BCAE绕点。顺时针旋转i个45°,得到正

六边形OAiBiCiDiEi,则正六边形。4面GDEi（=2020）的顶点G的坐标是（）

A.(1,-V3)B.(1,«)C.(1,-2)D.(2,1)

6.如图，四边形ABCD内接于O。，AB=CB,ZBAC=30°,BD=M，则4。+。。的值为()

A.3B.2^3C.Vs+lD.不能确定

7.如图，。。的半径是5,点A是圆周上一定点，点2在。。上运动，且/ABM=30°,AC±BM,垂

足为点C,连接OC,则OC的最小值是（）

M

A

A.苧B.亨C・喙。.年一•

8.如图，RtZXACB中，ZC=90°,AC=6,8C=8,半径为1的。0与AC,8。相切，当。0沿边CB

平移至与相切时，则O。平移的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

9.在OO中内接四边形ABC。，其中A,C为定点，AC=8,8在上运动，BDLAC,过。作AO的

垂线，若。。的直径为10,则OE的最大值接近于（）

10.如图，已知O。的半径为10,A、8是。。上的两点，ZA（9B=90°,C是射线OB上一个动点，连

结AC并延长交。。于点D,过点。作。交。8的延长线于点E.当/A从30°增大到60°时，

弦AD在圆内扫过的面积是（）

11.若四边形ABCZ）的对角线AC,8。相交于O,AAOB,△BOC,△CO。，△OOA的周长相等，且4

AOB,/\BOC,△C。。的内切圆半径分别为3,4,6,则的内切圆半径是（）

A.—B.—

22

C.工D.以上答案均不正确

2

12.如图，已知AB是圆。的直径，弦CO与AB垂直，垂足为M,E是CD延长线上一点，且AB=10,

CD=8,3DE=4OM,过尸做作圆。的切线ERBF交CD于G.则以下说法其中正确的是（）

A.MB=3B.EF=A弧C.FD//ABD.EF=EG

13.如图，AABC,AC=3,BC=4^,ZACB=60°,过点A作8c的平行线/,P为直线/上一动点,

O。为△APC的外接圆，直线B尸交。。于£点，则AE的最小值为（）

A.V3-1B.7-4A/3C.V3D.1

14.如图，在。€。中，AB=AC,BC=6.AC=3A/10>/是△ABC的内心，则线段。/的值为（）

C.5-^/10D.-1710

15.模型结论：如图①，正△ABC内接于O。，点P是劣弧AB上一点，可推出结论E4+PB=PC.

应用迁移：如图②，在Rt/XEOG中，/EDG=90°,DE=3,OG=2«,尸是△DEG内一点，则点

E到△OEG三个顶点的距离和的最小值为（）

16.如图，在△ABC中，ZABC=90°,A8=8,点尸是A8边上的一个动点，以为直径的圆交CP

于点。若线段AQ长度的最小值是4,则△ABC的面积为（）

A.32B.36C.40D.48

17.如图，在。。中，直径CO垂直弦A8于点E,且点尸为统上一点（点P不与点8,C重

合），连结AP,BP,CP,AC,BC.过点C作CF_LBP于点E给出下列结论：①△ABC是等边三角

形；②在点尸从8-C的运动过程中，的值始终等于区.则下列说法正确的是（）

AP-BP2

A.①，②都对B.①对，②错C.①错，②对D.①，②都错

18.如图，A、B、C、。、E是。。上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形

和五边形WFGH.有下歹I3个结论：®AO±BE,@ZCGD=ZCOD+ACAD,③BM=MN=NE.其

中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

19.如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交54的延长线于点A,再以点8为圆

心，84为半径作圆弧交CB的延长线于8,依次进行.得到螺旋线，再顺次连结EA,AB',BC,CD',

DE,得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为Si,S2,S3,S4,S5,且满足S5-S2=l,贝1JS4-S3

的值为（）

20.如图，BC是。。的直径，AB切O。于点8,AB=BC=8,点。在O。上，DELAD交BC于E,BE

=3CE,则AD的长是()

A.4°^^B.C.4A/10D.3A/10

1717

21.如图，点。在半圆。上，半径五，AZ)=10,点C在弧8。上移动，连接AC,”是AC上一

点，/DHC=90°,连接E/,点C在移动的过程中，由/的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

22.如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),OA半径为2,尸为OA上任意一点，E是PC

2

23.如图，。。的直径A8与弦CD相交于点P,且/APC=45°,若PC2+P£)2=8,则。。的半径为()

A.V2B.2C.2A/2D.4

24.如图，AB是定长线段，圆心。是AB的中点，AE,BF为切线,E、尸为切点，满足尸在会上

取动点G,过点G作切线交AE、BF的延长线于点。、C,当点G运动时，设AD=»BC=x,则y

与x所满足的函数关系式为（）

A.正比例函数y=Ax（左为常数，左=0,x>0）

B.一次函数丫=日+&（k,b为常数，kb¥0,x>0）

C.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，aWO,x>0）

D.以上都不是

25.如图，。为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列

叙述不正确的是（）

A.。是△AEB的外心B.。是△BEC的外心

C.。是的外心D.。是的外心

26.如图，O。的圆心在矩形ABCZ）的对角线AC上，且。。与AB,BC相切，AB=3,BC=4,则。。

A.3B.75C.¥D.毕

27.如图△ABC为圆。的内接三角形，。为3C中点，E为。4中点，ZABC=40°,ZBCA=80°,则

NOE。的大小为（）

A.15°B.18°C.20°D.22°

28.扇形O4B中，。4=。8=2,ZAOB=60°，点C在弧AB上，CD1AO,垂足为点D,则△OCD面

积的最大值为（）

22

29.如图，A8为。。的直径，P为8A延长线上的一点，。在。。上（不与点A,点B重合），连接尸。

交。。于点C,且PC=O艮设NP=a,NB=B，下列说法正确的是（）

D

A.若0=30°,则ND=120°B.若0=60°,则/。=90°

C.若a=10°,则面=150°D.若a=15°,则面=90°

30.如图，AB为O。的直径，C为半圆的中点，E为BC上一点，CE=®AB=2灰，则EB的长为（

A.V2B.2C.A/3D.A/5

二.解答题(共6小题)

31.如图，。。与△ABC的AB边相切于点8,与AC、BC边分别交于点。、E,DE//OA,8E是O。的

直径.

(1)求证：AC是OO的切线；

(2)若/C=30°,AB=3,求。E的长.

32.如图，△ABC内接于。。，A8是O。的直径，AC=6,CB=8,

CE平分/AC8交(DO于E,交48于点。，过点E作分别交CA、CB延长线于M,N.

(1)补全图形，并证明是。。的切线.

33.如图，四边形ABCD内接于。0,对角线8。是。。的直径，AC平分/BA。，过点C作CG〃BO交

AD的延长线于点G.

(1)求证：CG是。。的切线；

34.如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，/ABC的平分线交。。于点。，OELBC于点E.

(1)试判断。E与。。的位置关系，并说明理由；

(2)过点。作。尸，AB于点尸，若/ABC=60°,BE=3y[z，求图中阴影部分的面积.

35.已知矩形ABC。中，点E是A。中点，连接CE,经过点A,B,E三点作。。，交BC于点F,过点

F作FHLCE于H.

(1)求证：直线尸8是O。的切线；

(2)若4。=的历，且点H恰好为CE中点时，判断此时CE与。。的位置关系？说明理由，并求出

弧线段即，W围成的图形的面积？

36.如图，AB为O。的直径，CB,CD分别切O。于点8,D,CZ)交8A的延长线于点E,C。的延长线

交O。于点G,EF_LOG于点?若8C=6,DE=4.

(1)求证：NFEB=/ECF；

(2)求。。的半径长.

(3)求线段跖的长.

CT

第24章圆难题精编

参考答案与试题解析

选择题(共30小题)

1.如图，。。1的直径A8长度为12,。。2的直径为8,/401。2=30°,。。2沿直线。1。2平移，当。。2

平移到与。。1和A8所在直线都有公共点时，令圆心距OiO2=x,则尤的取值范围是()

A.2WxW10B.4WxW16C.4WxW4yD.2Wx(8

【分析】由题意得出点。2在点。1的右侧，。。2与。。1和A3所在直线都有公共点时，。1。2的最大

值和最小值，分别画出图形求解得出尤的取值范围，根据对称性可得点02在点01的左侧时的结论.

【解答】解：(1)当点。2在点的右侧时，

当。。2向右移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M,

则02M=4,

又：/4。2。1=30°,

0102=2*02M=S,

当。。2继续向右移动到与。01内切时，如图2所示，此时01。2=6-4=2,

所以当。。2平移到与OO1和A3所在直线都有公共点时，2WxW8；

(2)当点。2在点01的左侧时，

根据圆的对称性可知，24W8,

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的X的最大值和最小值是解决问

题的关键.

2.如图，A8是。。的直径，AB=AC且N8AC=45°,OO交BC于点、D,交AC于点E,。F与OO相

切，。。与8E相交于点”.下列结论错误的是（）

A.BD=CDB.四边形。班力为矩形

C.AE=2DED.BC=2CE

【分析】根据圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定等矩形逐一判断即可.

【解答】解：如图，连接A。，

是。。的直径，

：.AD±BC,

'：AB=AC,

:.BD=CD,

故A正确；

与。。相切，

C.ODLDF,

是。。的直径，

AZAEB=90°,

"：AO=BO,BD=CD,

OD//AC,

：.ZEHD=90°,

・・・四边形DHEF为矩形,

故5正确；

TAB是OO的直径，

ZAEB=90°,

VZBAC=45°,

AZABE=45°,

：.AE=BE,

9

：ZBAD=ZCADf

AE=BE,

VBD=DE,

:.AE=2DE,

故。正确；

'：ZBAC=45°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=67.5°,

即N5CE=67.5°,

：.ZEBC=22.5°,

.•.sinZEBC=sin22.5°=吆2工

BC2

:・BC72CE,

故。错误.

故选：D.

【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定，解决本题的关键是掌握圆的切

线.

3.如图，A8为半圆。的直径，M,C是半圆上的三等分点，AB=8,8。与半圆。相切于点艮点P为

菽上一动点（不与点A,M重合），直线PC交8。于点。，BELOC于点E,延长BE交PC于点F

则下列结论正确的是：@PB=PD-,②BC的长为③/Z）BE=45°；④当P为AM中点时，EC=

3

EF；®ZDFB=ZCBP.其中正确的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】①连接AC,并延长AC,与的延长线交于点"，若PD=PB,得出P为近的中点，与实

际不符，即可判定正误.

②先求出N20C,再由弧长公式求得正的长度，进而判断正误.

③由/30C=60°,得△08C为等边三角形，再根据三线合一性质得/OBE,再由角的和差关系得/

DBE,便可判断正误.

④证明NEFC=NECT=45°,可判断正误；

@iZCBF=ZCPB=30°,ZDFB=ZFBP+ZBPF,ZCBP=ZFBP+ZCBFtBZDFB=ZCBP,

可判断正误.

【解答】解：①连接AC,并延长AC,与8。的延长线交于点”，如图，

'：M,C是半圆上的三等分点，

：.ZBAH=30°,

与半圆。相切于点脱

/.ZABD=90°,

.\ZH=60°,

•/ZACP=ZABP,ZACP=ZDCH,

：./PDB=/H+NDCH=ZABP+600,

ZPBD=90°-ZABP,

若/PDB=/PBD,贝!|N4BP+60°=90°-ZABP,

：.ZABP=15

：.P点为AM的中点，这与P为AJ［上的一动点不完全吻合，

ZPDB不一定等于

...P8不一定等于PD,

故①错误；

@-：M,C是半圆上的三等分点，

.•.ZBOC=—X18O0=60°,

3

:直径AB=8,

：.OB=OC=4,

...黄的长度=60'兀'4=&,

1803

故②正确；

③・.・/30。=60。，OB=OC,

：.ZABC=60°,OB=OC=BC,

9：BE±0C,

：.ZOBE=ZCBE=30°,

VZABD=90°,

：.ZDBE=60°,

故③错误；

@vAP=PM,

AZABP=15°,

VZABD=90°,ZDBE=6Q°,

：.ZPBF=15°,

9：ZBPC=30°,

AZCFE=ZFPb+ZFBP=45°,

VZFEC=90°,

：.ZEFC=ZECF=45°,

：・EC=EF,故④正确，

@ZCBF=ZCPB=30°,/DFB=/FBP+/BPF,/CBP=/FBP+/CBF,

：.ZDFB=ZCBPf故⑤正确，

故选：C.

AOB

【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定,

等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用.

4.如图，是的直径，。为O。的弦，且CDLAB于点E,点尸为圆上一点，若4£=8/,同=存,

OE=1,则8C的长为（）

A.2在

【分析】如图，连接OC交AF于J,设8C交AF于T,过点T作于H.利用全等三角形的

性质证明AE=C7=B尸=8H,CT=BH.EH=BH,再利用勾股定理求出EC,8C即可.

【解答】解：如图，连接0C交AF于J,设8C交AF于T,过点T作7WLAB于"

\'AB±CD,

AD=AC,

VAD=B,

.-.AC=B,

...OCLAF,

：.ZAJO^ZCEO^90°,

VZAOJ=ZCOE,OA=OC,

：./\AJO^/\CEO(A4S),

：.OJ=OE,

：.AE=CJ,

,：AB是直径，

：./F=/CJT=90°,

9

：AE=BFf

：.BF=CJ,

•:NCTJ=NBTF,

:•△CTKXBTF(A4S),

・•・CT=BT,

VTHLAB,CD±AB,

：.TH//CE,

；・EH=BH,

・・・CF=AC,

：.ZTBF=ZTBH,

9：ZF=ZTHB=90°,BT=BT,

:•△BTF"ABTH(AAS),

:・BF=BH,

9：AE=BF,

:・AE=BH,

•：OA=OB,

：.OE=OH=1,

:・EH=BH=2,

；.AE=BH=2,

.'.AB=6,OC=OB=3,

£C=22

VOC-OE=｛呼_]2=2加,

=22

BCVEC+BE(272)2+42=2氓'

故选：A.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCOE绕点。顺时针旋转i个45°,得到正

六边形OAiBiGDiEi,则正六边形。ABiGDE(=2020)的顶点G的坐标是()

A.(1,-Vs)B.(1,Vs)c.(1,-2)D.(2,1)

【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020+8=252…4,所以G的坐标与C4的坐标相同.

【解答】解：由题意旋转8次应该循环，

：2020+8=252…4,

，Ci的坐标与C4的坐标相同，

1/C(-1,«),点C与C4关于原点对称，

：.C4(1,-V3)>

顶点G的坐标是(1,-后),

故选：A.

【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化-性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法,

属于中考常考题型.

6.如图，四边形ABC。内接于O。，AB=CB,/BAC=30°,BD=M，贝!IAD+CD的值为()

A.3B.2A/3C.VS+ID.不能确定

【分析】如图，过点8作BELA。于E,BFLDC交。C的延长线于足利用全等三角形的性质证明

DE=DF,AE=CF,推出D4+Z)C=2DF,求出。尸即可解决问题.

【解答】解：如图，过点2作于E,BF_LDC交。C的延长线于F.

D

AB=BC,

・・・NBDE=NBDF,

VZDEB=ZDFB=90°,DB=DB,

:•△BDEQABDF(A4S),

：.BE=BF,DE=DF,

VZAEB^ZF=90°,BA=BC,BE=BF,

：.RtABEA^RtABFC(HL),

：.AE=CF,

：.AD+DC=DE+AE^DF-CF=2DF,

,：ZBDF=ZBAC=30°,BD=y/3,

22______________

•••OF=VBD2-BF2=J(«)2-(争2=_1'

：.DA+DC=3,

故选：A.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

7.如图，。。的半径是5,点A是圆周上一定点，点B在。。上运动，且/A8M=30°,AC±BM,垂

足为点C,连接0C,则0C的最小值是()

A./B.返C.返D.-^1-A

22322

【分析】如图，设交OO于T,连接OT,OA,过点。作O〃，AT于H,连接CH.解直角三角形

求出CH,OH,根据0C20H-C"求解即可.

【解答】解：如图，设8M交。0于T,连接OT,04,过点。作OHLAT于H,连接CH.

・・・/8=30°,

：.ZTOA=60°,

'：OT=OA,

AA07X是等边三角形，

・•・OT=OA=AT=5,

VOHXAT,

■-TH=AH=^,加血加=府］=年,

*：AC±BM,

・・・NACT=90°,

5

2

•：OC》OH-CH=-^^,

22

；.0C的最小值为=皂3-互.

22

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

8.如图，Rt^ACB中，ZC=90°,AC=6,BC=8,半径为1的。。与AC,BC相切，当。。沿边CB

平移至与AB相切时，则。。平移的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】设OO与AC相切于。，与8C相切于H,平移后的O。'与A8相切于凡与8c相切于E,

连接OH,O'D,则点。在。上，连接。'F,EO'并延长交A8于G,根据正方形和矩形的性

质得到OD=OH=O'E=O'F=CD=CH=1,OO'=HE,根据相似三角形的判定和性质定理即可

得到结论.

【解答】解：:Rt/XACB中，/C=90°,AC=6,BC=8,

，A2=10,

设。。与AC相切于。，与8c相切于H,平移后的OO'与相切于F,与8c相切于E,

连接。H,O'D,则点。在。上，连接。'F,EO'并延长交A8于G,

四边形CD。"是正方形，四边形OHEO'是矩形，

：.OD=OH=O'E=O'F=CD=CH=\,OO'=HE,

：.EG±BC,

VZC=90°,

J.EG//AC,

：.ZFGE=ZA,

:NGFO'=ZC=90°,

.♦.△O'FGsABCA,

.0，FOG

••=,

BCAB

.1_0yG

••,

810

：.O'G=$,

4

g

；.EG=工，

4

'：GE//AC,

:.△BGEs^BAC,

.BE=EG

"BCAC

9_

.BE

••---，

86

:.BE=3,

：.00'=HE=BC-CH-BE=8-1-3=4,

•••O。平移的距离为4,

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形

的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

9.在。。中内接四边形ABCD,其中A,C为定点，AC=8,8在。。上运动，BDLAC,过。作AO的

垂线，若O。的直径为10,则的最大值接近于（）

C.4D.5

【分析】如图，当点8与A重合时，连接CO.证明OE=LAC,此时OE的值最大.

2

【解答】解：如图，当点8与A重合时，连接CN）.

VBDXAC,

：.ZDAC=9Q°,

二•CD是直径,

OELAD,

：.AE=ED,

•・・OC=OD,

：.OE=—AC=4,

2

此时OE的值最大，最大值为4

的最大值为4,

故选：C.

【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题,

属于中考常考题型.

10.如图，已知。。的半径为10,A、8是。。上的两点，ZAOB=90°,C是射线上一个动点，连

结AC并延长交。。于点过点。作。交。8的延长线于点E.当NA从30°增大到60°时,

弦在圆内扫过的面积是（）

A-^^-2573B,停C平防D.竽一2/

Oo

【分析】过点。作A。的垂线，交A。的延长线于凡求两个弓形的面积之差即可;

【解答】解：过点。作4?的垂线，交4?的延长线于尸.

当/A=30°时，ZDOF=60°,£)F=OZ)«sin60°=10X返=5愿,

2

S弓形ABD=120匚102-工X10义5Vs-25V3，

36023

当NA=60°时，

过点O作。'ElOA于尸，连接OU,

ZD'OF=60°,。尸=5日，

S弓形ABD，=60.2；[M_]x10X5«=整__25«,

36023

.•.S=^MR-25日-（―TT-25A/3）=--rt.

333

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，弓形的面积等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

11.若四边形ABCZ）的对角线AC,BZ）相交于0,AAOB,ABOC,/XCOD,△。。4的周长相等，且4

AOB,/\BOC,△CO。的内切圆半径分别为3,4,6,则△004的内切圆半径是（）

A.—B.—

22

C.工D.以上答案均不正确

2

【分析】设△DOA的内切圆半径为广，AAOB,ABOC,ACOD,△。。4的周长为L分别表示出四

个三角形的面积，再根据四边形两对角线分割成的四个三角形中相对的两个三角形面积之积相等列出

方程，即可解出八

【解答】解：设△004的内切圆半径为r,AAOB,△BOC,ACOD,的周长为L

贝！JS/xAOB-■--£/*3——S/\BOC~~~LU4--2.LISACOD-L*6-3L,S/^DOA~~~Lr

22222

*.*S^AOB9SACOD=SACOD•SADOA，

31

：.—L^L=2L9—Ln

22

._9

••r-----.

2

故选：A.

【点评】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、四边形面积蝴蝶定理的应用.知道三角形的面积

等于周长与内切圆半径乘积的一半、熟悉四边形蝴蝶定理是解答本题的关键.

12.如图，已知AB是圆。的直径，弦与AB垂直，垂足为M,E是CD延长线上一点，且AB=10,

CD=8,3DE=4OM,过尸做作圆。的切线ERBF交CD于G.则以下说法其中正确的是（）

A.MB=3B.EF=4近C.FD//ABD.EF=EG

【分析】连接OC,根据圆周角定理和垂径定理得到NOMC=90°,CM=DM,求得OM=3,得到

BM=2,故A选项错误；连接AROF,求得NA尸5=90°,根据切线的性质得到NOFE=90°,求

得NAR9=NE尸G,推出NEFG=ZEGF,得到EF=EG,故D选项正确;根据射影定理得到EF=4如,

故5选项错误；连接A。，则N840=NB/Z),根据三角函数值推出N84OWNM8G,/MBFW/BFD,

于是得到FD与AB不平行，故C选项错误.

【解答】解：连接OC,

TAB是圆。的直径，弦CD与A5垂直，

：.ZOMC=90°,CM=DM,

9：AB=1Q,C£>=8,

OC=5,CM=4,

：.OM=3,

：.BM=2,故A选项错误；

连接AROF,

：.ZAFB=90°,

•・,过尸作圆O的切线ER

：.ZOFE=90°,

・•・ZAFO=/EFG,

VZA+ZB=ZB^ZBGM=90°,

ZBGM=ZA,

VZA=ZAFO,ZBGM=ZDGF,

：.ZEFG=NEGF,

：.EF=EG,故。选项正确；

V3Z)E=4(9M,

・・・。£=4,CE=12,

；.EF2=DE，CE=48,

：.EF=443＞故8选项错误；

连接A£),则/A4£)=/BFD

GM=EM-EG=8-4a,

：.tanZMBG=—=4-2、瓜tanZBAD=—=—=—^tanZMBG,

BMMA82

:./BAD于NMBG,ZMBF^ZBFD,

与48不平行，故C选项错误，

【点评】本题考查了切线的性质，射影定理，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线构造直角三

角形是解题的关键.

13.如图，AABC,AC=3,BC=4«,ZACB=60°,过点A作8C的平行线/,尸为直线/上一动点，

OO为的外接圆，直线交。。于E点，则AE的最小值为（）

A.遮-1B.7-4A/3C.V3D.1

【分析】如图，连接CE.首先证明N8EC=120°,由此推出点E在以O为圆心，。\8为半径的所上

运动，连接。'A交前于E',此时AE'的值最小.

【解答】解：如图，连接CE.

\'AP//BC,

：.ZPAC=ZACB=60°,

：.ZCEP^ZCAP^60°,

AZBEC=120°,

...点E在以。,为圆心，为半径的BC上运动，

连接O'A交前于E',此时AE'的值最小.此时。。与交点为E.

VZBFC=120°

...前所对圆周角为60°,

：.ZBOC=2X6Q°=120°,

C是等腰三角形，BC=4M，

：.O'B=O'C=4,

VZACB=60°,ZBCO'=30°,

：.NACO'=90°

°'A=Vo/C2+AC2=742+32=5'

：.AE'=O'A-O'E'=5-4=1.

故选：D.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关

系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题.

14.如图，在。€。中，AB=AC,BC=6.AC=3j15，/是△ABC的内心，则线段。/的值为（）

A.1B.710-3C.5-^./1Q

【分析】如图，连接A0,延长AO交8C于”，连接08.想办法求出/H即可解决问题.

【解答】解：如图，连接A。，延长A。交8C于H,连接08.

•；AB=AC,

：.AB=AC,AH±BC,

:.BH=CH=3,

A//=VAC2-CH2=V（3VW）2-32=9，

设OA=OB=x,

911

在RtABO”中，：OB=Olfi+BHf

.*.x2=（9-x）2+32,

・・x=5,

AOH^AH-AO=9-5=4,

•；SAABC=—•BOAH=—•（AB+AC+BCblH,

22

，WH=

6^IO=VIO-i,

：.OI=OH-IH=4-（V10-1）=5-710,

故选：C.

【点评】本题主要考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题

的关键.

15.模型结论：如图①，正△ABC内接于O。，点P是劣弧4B上一点，可推出结论B4+PB=PC.

应用迁移：如图②，在RtZYEOG中，NEDG=90°,DE=3,OG=2«,尸是ADEG内一点,则点

B到△OEG三个顶点的距离和的最小值为（）

A

D

【分析】模型结论：根据旋转的性质得到/PCZ)=60°,PC=CD,AD=PB,/CAQ=NCBP,推出

P,A,。在一条直线上，得到!是等边三角形，于是得到结论；

应用迁移：如图2：以。G为边作等边三角形△MGD,以。歹为边作等边△。尸尸.连接EM,作MN_L

ED,交即的延长线于N.根据全等三角形的性质得到BG=PM,推出当E、F、P、M四点共线时,

EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM=EM,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：模型结论：•••将△PBC绕C点顺时针旋转60。，

AZPCD=60°,PC=CD,AD=PB,ZCAD=ZCBP,

VZPBC+ZE4C=180°,ZZ)AC+ZB4C=180°,

：.P,A,。在一条直线上，

；.△「(?£)是等边三角形，

：.PC=PD=DC,

：.PB+PA=PA+AD=PD=PC；

应用迁移：如图2：以。G为边作等边三角形△MG。，以。E为边作等边△。尸P.连接作MN_L

ED,交的延长线于N.

•；AMGD和△QFP是等边三角形

：.PF=DF=PD,ZFDP=ZGDM=60a,DG=MD,

：.ZFDG=ZMDP,

:.ADFG2ADPM(SAS),

:.FG=PM,

：.EF+DF+FG=EF+PF+PM,

，当E、F、P、M四点共线时，EF+PP+PM值最小，＞EF+PF+PM^EM,

:NEDG=90°,DE=3,QG=2«,

：.ZEDM^150°,

ZNDM=30°，

'：MD=DG=2-fj.

：.NE=DE+DN=3+3=6,

•••£M=7EN2+MN2=dQ+（糜）2=V39-

...点F至【「△OEG三个顶点的距离和的最小值为每,

图2

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是

解答本题的关键.

16.如图，在△ABC中，ZABC=90°,A2=8,点尸是AB边上的一个动点，以8P为直径的圆交CP

于点。，若线段A。长度的最小值是4,则△ABC的面积为（）

A.32B.36C.40D.48

【分析】如图，取8c的中点T,连接AT,QT.首先证明A,Q,T共线时，△ABC的面积最大，设

QT=TB=x,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，取8C的中点7,连接AT,QT.

是。。的直径，

：.ZPQB^ZCQB^9Q°,

•••QT=£BC=定值，AT是定值，

,：AQ^AT-TQ,

...当A,Q,T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x,

在Rt/XABT中,则有（4+尤）2=在+82,

解得x=6,

：.BC=2x=n,

.，.SAABC=—,AB.BC=—X8X12=48,

22

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，则有中考选择题中的压轴题.

17.如图，在。。中，直径CD垂直弦A3于点E,>OE^DE.点尸为前上一点（点P不与点2,C重

合），连结AP,BP,CP,AC,BC.过点C作CTLBP于点八给出下列结论：①△ABC是等边三角

形；②在点尸从B-C的运动过程中，的值始终等于返.则下列说法正确的是（）

AP-BP2

A.①，②都对B.①对，②错C.①错，②对D.①，②都错

【分析】如图，作尸于“，连接AD首先证明△A。。是等边三角形，推出NZ)=60°,即可

证明①正确.利用全等三角形的性质证明PM=PF,。尸=«尸尸即可判断②正确.

【解答】解：如图，作CML4P于连接AD

9：AE±OD,OE=DE,

：.AO=AD,

9：OA=OD,

：.AO=AD=OD,

・•・△AOO是等边三角形，

：.ZD=ZABC=60°,

CDLAB,

：.AE=EB,

：.CA=CB,

・・・△ABC是等边三角形，故①正确，

VZCB4=ZABC=60°,ZAPB=ZACB=60°,

：.ZCPF=1SO°-60°-60°=60°,

ZCPM=ZCPF=60°,CF±PF,CMLPA,

：.CF=CM,

,:PC=PC,ZCFP=ZCMP,

ARtACPF^RtACPM(HL),

:.PF=PM,

'：AC=BC,CM=CF,ZAMC=ZCFB=90°,

/.RtAAMC^RtABFC(HL),

：.AM=BF,

：.AP-PB^PM+AM-(BF-PF)=2PM=2PF,

.PF_1

"PA-PBT

在Rt/XCPF中，VZCPF=60°,ZCFP=90a,

：.CF^PF'tan60°=MPF,

.-.PF=—CF,

故选：A.

【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等