专题01 整式的乘除（考题猜想易错必刷34题10种题型专项训练）（解析版）-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（北师大版）

专题01整式的乘除（易错必刷34题10种题型专项训练）幂的乘方与积的乘方多项式乘多项式完全平方公式的几何背景平方差公式整式的混合运算—化简求值同底数幂的除法完全平方公式完全平方式平方差公式的几何背景负整数指数幂

一．幂的乘方与积的乘方（共3小题）1．（﹣0.125）2018×82019等于（）A．﹣8 B．8 C．0.125 D．﹣0.125【答案】B【解答】解：（﹣0.125）2018×82019＝（﹣0.125）2018×82018×8＝（﹣0.125×8）2018×8＝1×8＝8，故选：B．2．若am＝2，an＝3，则a2m+n＝12．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12．故答案为：12．3．若2x+3y+2＝0，则9x•27y的值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：由2x+3y+2＝0可得2x+3y＝﹣2，∴9x•27y＝32x•33y＝32x+3y＝3﹣2＝．故答案为：二．同底数幂的除法（共1小题）4．若10y＝5，则102﹣2y等于（）A．75 B．4 C．﹣5或5 D．【答案】B【解答】解：102﹣2y＝102÷102y＝102÷（10y）2＝100÷52＝4，故选：B．三．多项式乘多项式（共2小题）5．已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（）A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9【答案】A【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x﹣3n，又∵乘积项中不含x2和x项，∴（m﹣3）＝0，（n﹣3m）＝0，解得，m＝3，n＝9．故选：A．6．小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张 B．4张 C．5张 D．6张【答案】A【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片张数为3张，故选：A．四．完全平方公式（共8小题）7．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0 B．1 C．5 D．12【答案】C【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．8．已知x+＝5，那么x2+＝（）A．10 B．23 C．25 D．27【答案】B【解答】解：x+＝5，，，．故选：B．9．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，•••当n＝9时，展开式的项系数和为＝29＝512，故选：C．10．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24 B．48 C．12 D．2【答案】C【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．11．已知：（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，则（2021﹣a）2+（2020﹣a）2的值为（）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】A【解答】解：设x＝2021﹣a，y＝2020﹣a，∴x﹣y＝2021﹣a﹣2020+a＝1，∵（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，∴xy＝3，∴原式＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×3＝7，故选：A．12．观察下列各式及其展开式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，…根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是35【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……依据规律可得到：（a+b）5的系数为1，5，10，10，5，1，（a+b）6的系数为1，6，15，20，15，6，1，（a+b）7的系数为1，7，21，35，35，21，7，1．所以（a+b）7的展开式中第四项的系数是35，故答案为：35．13．已知a+b＝5，ab＝﹣14，求：（1）a2+b2；（2）a4﹣b4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25+2×14＝53．（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25+56＝81，∴a﹣b＝±9，∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），∴当a﹣b＝9时，a4﹣b4＝53×5×9＝2385，当a﹣b＝﹣9时，a4﹣b4＝53×5×（﹣9）＝﹣2385．14．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．【答案】（1）（x﹣2004）（x﹣2007）＝11；（2）阴影部分的面积是28．【解答】解：（1）设x﹣2004＝a，x﹣2007＝b，∴a2+b2＝31，a﹣b＝3，∴﹣2（x﹣2004）（x﹣2007）＝﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝9﹣31＝﹣22，∴（x﹣2004）（x﹣2007）＝11；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．五．完全平方公式的几何背景（共7小题）15．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c【答案】B【解答】解：∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故选：B．16．如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由题意得：剩下的卡纸的面积为：（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝（a2+2ab+b2﹣a2﹣b2）＝，故选：C．17．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为20．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．18．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：（a+b）2；方法2：a2+b2+2ab（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（a+b）2＝a2+2ab+b2（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）如图所示，（4）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝11，∴ab＝7；②设2018﹣a＝x，a﹣2017＝y，则x+y＝1，∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，∴x2+y2＝5，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy＝＝﹣2，即（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2．19．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．（2）若m+2n＝7，mn＝3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（2）（m﹣2n）2＝（m+2n）2﹣8mn＝25，则m﹣2n＝±5．∵m﹣2n＝﹣5时，m＝1，n＝3，2m＜2n不符合题意舍弃，∴m﹣2n＝5．故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．20．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）观察如图2，写出所表示的等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图形可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，∴2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2﹣37＝12﹣37＝1﹣37＝﹣36．∴ab+bc+ac＝﹣18．21．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为6．（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为6；（ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值．【答案】（1）6；（2）（i）6；（ii）5．【解答】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2＝a2+（m﹣6）ab+b2，∵不含有ab项，∴m﹣6＝0，∴m＝6，故答案为：6．（2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为ab．根据题意，得a+b＝8，a2+b2＝40，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64，∴ab＝12，∴S△AFC＝×12＝6，故答案为：6．（ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，则（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2，∴m+n＝3，mn＝2，∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9，∴m2+n2＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5．六．完全平方式（共1小题）22．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【答案】B【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，∴2m＝±6，∴m＝±3，故选：B．七．平方差公式（共7小题）23．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y） C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）【答案】A【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，故选：A．24．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2【答案】D【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．25．若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（）A．0 B．1 C． D．【答案】D【解答】解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故选：D．26．若M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2，那么代数式M应为（）A．﹣5x﹣y2 B．﹣y2+5x C．5x+y2 D．5x2﹣y2【答案】A【解答】解：∵M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2＝（y2+5x）（y2﹣5x）＝（5x﹣y2）（﹣5x﹣y2），∴M＝﹣5x﹣y2．故选：A．27．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知+4x+m，则m的值是（）A．40 B．﹣70 C．﹣40 D．﹣20【答案】C【解答】解：∵x2项的系数是4，∴n＝5，∴（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+（x+4）（x﹣3）+（x+5）（x﹣4）＝（x2+x﹣2）+（x2+x﹣6）+（x2+x﹣12）+（x2+x﹣20）＝4x2+4x﹣40，∵[（x+k）（x﹣k+1）]＝4x2+4x+m，∴m＝﹣40．故选：C．28．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）＝（5﹣1）×（5+1）×（52+1）＝（52﹣1）×（52+1）＝252﹣1＝624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是2﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2×（1﹣）×（1+）××××××＝2×（1﹣）××××××＝2×（1﹣）×××××…＝2×（1﹣）×（1+）＝2×（1﹣）＝2﹣故答案为：2﹣．29．计算：20222﹣2024×2020＝4．【答案】4．【解答】解：原式＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+4＝4．故答案为：4．八．平方差公式的几何背景（共2小题）30．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【答案】B【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．31．（1）如图1，阴影部分的面积是a2﹣b2．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是（a﹣