新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题三数列第二讲数列的通项与求和-大题备考微专题4数列重组问题

微专题4数列重组问题1.已知公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，a4是a2和a8的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)保持数列{an}中各项先后依次不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T20的值．2．[2024·安徽芜湖模拟]已知等差数列{an}，等比数列{bn}，且a1＝＝2n＋1－1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)将数列{an}和{bn}中的项合并，按从小到大的依次重新排列构成新数列{cn}，求{cn}的前100项和．4.[2024·河北石家庄一模]已知等差数列{an}的前n项和记为Sn(n∈N*)，满意3a2＋2a3＝S5＋6.(1)若数列{Sn}为单调递减数列，求a1的取值范围；(2)若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95.技法领悟通过题目表达确立关键信息或关系，找准新数列与原数列的关系，是解题的关键．[巩固训练4][2024·广东汕头三模]等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满意：a1＝b1＝2，a3＝b3＝8.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)数列{cn}是由数列{an}和{bn}中不同的项依据从小到大的依次排列得到的新数列，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.微专题4数列重组问题保分题1．(1)解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a4是a2和a8的等比中项，所以＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，因为a1＝1，所以d＝1或d＝0(舍)，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，所以通项公式an＝n.(2)解析：由(1)得an＝n，因为ak与ak＋1(k＝1，2，3…)之间插入2k，所以在数列{bn}前20项中有10项来自{an}，10项来自{2n}，所以T20＝1＋21＋2＋22＋…＋10＋210＝×10＋＝2101.2．(1)解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，＝a1＋(bn－1)d＝2n＋1－1，∴bnd＋1－d＝2n＋1－1，bn＝b1qn－1，∴1－d＝－1，bnd＝2n＋1，∴d＝2，bn＝2n，又a1＝1，∴an＝2n－1.(2)解析：因为a100＝199，b7＝128，b8＝256，所以{cn}的前100项中，有数列{an}的前93项，数列{bn}的前7项，记{an}，{bn}，{cn}的前n项和分别为An，Bn，Cn.∴C100＝A93＋B7＝93＋×2＋＝8649＋254＝8903.提分题[例4](1)解析：设等差数列{an}的公差为d，由于3a2＋2a3＝S5＋6，所以3(a1＋d)＋2(a1＋2d)＝5a1＋10d＋6，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋(a1＋1)n，若数列{Sn}为单调递减数列，则Sn＋1－Sn<0对于n∈N*恒成立，所以Sn＋1－Sn＝[－(n＋1)2＋(a1＋1)(n＋1)]－[－n2＋(a1＋1)n]＝a1－2n<0在n∈N*上恒成立，则a1<2n，所以a1<(2n)min，又数列{2n}为递增数列，所以(2n)min＝2×1＝2，即a1<2，故a1的取值范围为(－∞，2)．(2)解析：若a1＝1，则an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，依据题意可将数列{bn}分组为第一组为：1，20；其次组为：－1，20，21；第三组为：－3，20，21，22；……第k组为：－2k＋3，20，21，22，…，2k－1；则前k组一共有2＋3＋4＋…＋(k＋1)＝项，当k＝12时，项数为90.故T95相当于是前12组的和再加上－23，20，21，22，23这五项，即：T95＝[1＋(－1)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋20＋21＋22＋23)，设cn＝2n－1，则20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是数列{cn}的前12项和，所以T95＝－12－23＋1＋2＋4＋8＝213－142＝8050.[巩固训练4](1)解析：依据条件，设an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d，bn＝b1qn－1＝2qn－1，又2＋2d＝2q2＝8(q>0)，解得d＝3，q＝2，故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*)．(2)解析：当n＝100时，a100＝299，由2n<299，得n≤8，n∈N*，又b1＝a1，b3＝a3，b5＝a11，b7＝a43，故在数列{an}的前100项