3.1 导数的概念 课件 《高等数学》

3.1导数的概念一、引例3.1导数的概念

1(瞬时速度问题)

设物体做变速直线运动，其路程函数为，其中表示时间，表示路程，是连续函数.试求质点在时刻的瞬时速度.

当时间由改变到时，物体在这段时间内所经过的距离为

如果极限存在，就称此极限为物体在时刻时的瞬时速度，即

2(平面曲线上某点处的切线斜率)

设点M是曲线L上一点，在L上除点M外另取一点N，做割线MN．当点N沿曲线L趋近于点M时，割线MN绕点转动而无限接近于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线L在点M处的切线．

即割线MN的斜率的极限就是切线MT的斜率，即二、导数的概念3.1导数的概念

定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处有增量时，相应地函数有增量，若极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记作即

函数在点处可导有时也说成在点处有导数或导数存在.如果上述极限不存在，则称函数在点处不可导．

注：导数的实质是点变化率.例如：物体运动的平均速度是时间间隔上的平均变化率，而瞬时速度则是点变化率.

例1用导数定义求函数在点处的导数.

解：由导数定义

例2设，并判断是否存在．

解：

由此可知不存在，即不存在.三、导函数3.1导数的概念

如果函数在区间内的每一点处都可导，则称函数在区间内可导．这时对于区间内的每一个值，都有唯一确定的导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，我们称这个新函数为函数在区间内的导函数，记作或，即函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即

注：若函数在区间内有一点处不可导，则称函数在区间上不可导.

由导数的定义可知，求函数的导数可分为以下三个步骤：(1)求增量；(2)算比值；(3)取极限．

例1求函数的导数．

解：

常量函数的导数为

例6求函数的导数．解：

例7求函数的导数．解：

例8求指数函数的导数．解：特别地，当时，有．随堂练习1、利用导数定义求函数的导数及.2、求下列函数的导数.四、导数的几何意义3.1导数的概念

函数在点处的导数等于曲线在点处的切线斜率，即，其中为切线的倾角．

如果函数在点处的导数存在，则曲线在点处的切线方程为

过点且与该点切线垂直的直线叫作曲线在该点处的法线．若，则过点的法线方程为而当时，过点的法线为垂直于轴的直线

若，则曲线在点处具有垂直于轴的切线；若不存在且不为无穷大，则曲线在点处没有切线．

若函数在区间内可导，则对应于区间的函数曲线上每一点处都有不垂直于轴的切线，从而这段曲线为光滑曲线（无“尖点”）.

例1求抛物线在点处的切线方程和法线方程．

解：由导数的几何意义知，抛物线在点处的切线斜率为

所求的切线方程为，即:

法线方程为，即．随堂练习

求曲线在点处的切线方程和法线方程．(已知)四、可导与连续的关系3.1导数的概念

定义1（单侧导数）(1)若极限存在，则称其为函数在点处的左导数，记作,即：

(2)若极限存在，则称其为函数在点处的右导数，记作,即：

定理1函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等，即．

例1讨论函数在处的连续性和可导性．

解:因为又，所以函数在处的连续.由于，所以函数在处不可导．

例2讨论函数在处的连续性和可导性．

解:因为,所以函数在处的连续.

又因为，所以函数在处不可导．

从图形上看，曲线在原点O处具有垂直于轴的切线．这也说明函数在其定义域不可导，但除原点外，处处可导.因在是初等函数，所以处处连续.

上述例题表明，一个函数在一点连续，但在该点未必可导．但可以证明，可导则必然连续.

定理2如果函数在点处可导，则函数在点处一定连续．

分析:设函数在点处可导，则

故函数在点处一定连续．随堂练习

1、设，判断在点

处的连续性与可导性.

2、若函数处处可导，求的值.

解:函数在