2024年福建省福州市仓山区福州江南水都中学中考数学适应性试卷

2024年福建省福州市仓山区福州江南水都中学中考数学适应性试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命．在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.0000002米．将数字0.0000002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣7 B．2×10﹣8 C．2×10﹣9 D．20×10﹣83．（4分）如果a＝（﹣2024）0，b＝（﹣2022）﹣1，c＝（﹣2）2024．则a，b，c三数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（4分）下列运算正确的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x35．（4分）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（）A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，96．（4分）如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．45° B．55° C．65° D．75°7．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝（）A．31° B．56° C．28° D．52°8．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝369．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD＝AB C．DE＝BC D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：410．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A． B． C． D．m＞2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为．12．（4分）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．14．（4分）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以O为圆心的一个圆，可简化为图2．若⊙O被水面所截的弦长AB＝8米，⊙O的半径为5米，则筒车最低点距水面米．15．（4分）两个函数y＝ax+b和y＝（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集．16．（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的点且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．三、解答题：本题共9小题，共86分。17．（8分）计算：．18．（8分）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如图的统计图表（不完整）．根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有人，表中的m＝，扇形统计图中α的度数是；（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．组别身高分组人数A155≤x＜1603B160≤x＜1652C165≤x＜170mD170≤x＜1755E175≤x＜180421．（8分）在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，解决实际问题．根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠DCE＝∠DBC；（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半径．23．（10分）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中AC为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD为遮阳棚的宽度（可变动）AB＝50cm，AC＝210cm，∠CBD＝80°．小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约35°）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约80°）．请你协助该小组，完成以下任务：【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD应该不超过多少长度（结果精确到0.1cm）．【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为180cm，桌子高度MN＝80cm．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到0.1cm．参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，）．24．（12分）综合与实践问题情境：如图1，正方形纸片ABCD和EFGB有公共顶点B，其中，BE＝4，将正方形EBGF绕点B按顺时针方向旋转α．观察发现：（1）如图2，当α＜90°时，连接AE，CG，小组成员发现AE与CG存在一定的关系，其数量关系是，位置关系是．探索研究：（2）当A，E，F三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时DE的长度．拓展延伸：（3）猜想图3中CF与FG的数量关系并证明．25．（14分）抛物线y＝﹣ax2+3ax+4a（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，CD平行于x轴交抛物线于另一点D，点M是x轴上一动点，连接MD，过点M作MK⊥MD交y于点K（点K在线段OC上，不与点O重合），（1）求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）．（2）若点K的坐标为，则线段OB存在唯一一点M，①求抛物线的解析式②如图2，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接CP，是否存在点P使△PCQ中某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、C、D不是中心对称图形，不符合题意；B是中心对称图形，符合题意．故选：B．2．（4分）地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命．在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.0000002米．将数字0.0000002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣7 B．2×10﹣8 C．2×10﹣9 D．20×10﹣8【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7．故选：A．3．（4分）如果a＝（﹣2024）0，b＝（﹣2022）﹣1，c＝（﹣2）2024．则a，b，c三数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝（﹣2024）0＝1，，c＝（﹣2）2024＝22022，且，∴c＞a＞b．故选：A．4．（4分）下列运算正确的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3【解答】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意；B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意；C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意；D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意．故选：A．5．（4分）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（）A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9【解答】解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．故选：B．6．（4分）如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．45° B．55° C．65° D．75°【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，∠1＝35°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠ACB＝55°，∵a∥b，∴∠3＝∠2＝55°，故选：B．7．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝（）A．31° B．56° C．28° D．52°【解答】解：如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝62°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝28°，∴∠BCD＝∠BAD＝28°，故选：C．8．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，故选：C．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD＝AB C．DE＝BC D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，∴DA＝DC，AE＝EC，∴∠A＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AD＝DB，∴CD＝AB，故选项B正确，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，故选项C正确，据三角形中位线的性质得到DE∥BC，进而证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到面积比S△ADE：S△ABC＝1：4；故选：D．10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A． B． C． D．m＞2【解答】解：∵a＜0，∴y＝﹣3a＞0，∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，∴4am2﹣8am＞﹣3a，∴4m2﹣8m+3＜0，∴＜m＜①，∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，∴3am2＜4am，∵a＜0，m＞0，∴am＜0，∴m＞②，由①②得＜m＜．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为x≠3．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．（4分）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是．【解答】解：背面朝上混合后随机抽取一张有5种等可能结果，其中取出的卡片正面的数字是无理数的有1种结果，所以取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，故答案为：．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【解答】解：Δ＝16﹣4m＝0，∴m＝4．故答案为：4．14．（4分）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以O为圆心的一个圆，可简化为图2．若⊙O被水面所截的弦长AB＝8米，⊙O的半径为5米，则筒车最低点距水面2米．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，并延长OC与⊙O相交于点D，连接OA，∴点D为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为CD的长，∵AB＝8米，OC⊥AB，∴（米），又∵⊙O的半径为5米，即OA＝5米，∴（米），又∵OD＝5米，∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（米），∴筒车最低点距水面2米．故答案为：2．15．（4分）两个函数y＝ax+b和y＝（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集﹣3＜x＜0或x＞1．【解答】解：当﹣3＜x＜0或x＞1时，ax+b＞，所以关于x的不等式ax+b＞的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．故答案为﹣3＜x＜0或x＞1．16．（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的点且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．【解答】解：在x轴的负半轴上取点N（﹣3，0），连接NC，∵点A坐标（3，0），点N坐标（﹣3，0），∴点O为NA中点，又∵点M为AC中点，∴OM是△ANC的中位线，∴OM＝．∵BC＝2，∴点C在以点B为圆心，2为半径的圆上．当点C在NB延长线与⊙B的交点处时，NC取得最大值，在Rt△BNO中，NB＝，∴NC的最大值为，∴OM的最大值为．故答案为：．三、解答题：本题共9小题，共86分。17．（8分）计算：．【解答】解：原式＝＝﹣1+﹣1﹣1＝﹣3．18．（8分）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【解答】证明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SSS），∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠1＝∠2．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：＝＝＝，当时，原式＝．20．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如图的统计图表（不完整）．根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有20人，表中的m＝6，扇形统计图中α的度数是54°；（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．组别身高分组人数A155≤x＜1603B160≤x＜1652C165≤x＜170mD170≤x＜1755E175≤x＜1804【解答】解：（1）由题意得，×100%＝30%，解得m＝6，经检验，m＝6是原方程的解且符合题意，∴这次被调查身高的志愿者有3+2+6+5+4＝20（人）．扇形统计图中α的度数是360°×＝54°．故答案为：20；6；54°．（2）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，∴刚好抽中两名女志愿者的概率为＝．21．（8分）在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，解决实际问题．根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．【解答】解：设甲种客车每辆有x个座位，则乙种客车每辆有（x+5）个座位，可得：，解得：x＝50，经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意；∴x+5＝55，答：甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠DCE＝∠DBC；（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°．∵CE为⊙O的切线，∴CE⊥BC，∴∠BCE＝90°．∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠DBC；（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，∴AB∥CE，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABC中，tanA＝＝，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝，即＝，∴BC2＝2×3＝6，∴BC＝，∴⊙O的半径为．23．（10分）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中AC为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD为遮阳棚的宽度（可变动）AB＝50cm，AC＝210cm，∠CBD＝80°．小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约35°）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约80°）．请你协助该小组，完成以下任务：【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD应该不超过多少长度（结果精确到0.1cm）．【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为180cm，桌子高度MN＝80cm．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到0.1cm．参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，）．【解答】解：任务1：在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，α＝35°，设BD＝x，过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵∠CBD＝80°，∴∠EBD＝10°，在Rt△BED中，，，∴BE＝0.17x，DE＝0.98x，又∵α＝35°，∴∠DAE＝55°，在Rt△AED中，，∴，又∵AB＝50cm，∴，解得x≈58.5，答：BD应该不超过58.5cm；任务2：如图，作EF⊥BC于点F，连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，设BD＝acm，则EF＝180cm，FC＝MN＝80cm，BF＝210+50﹣80＝180cm＝EF，∴△BEF是等腰直角三角形，则∠FBE＝∠FEB＝45°，，∵∠FEH＝α＝80°，则∠FED＝100°，∴∠BDE＝360°﹣100°﹣90°﹣80°＝90°，∠DEG＝100°﹣45°＝55°，∠DBG＝80°﹣45°＝35°，∠BDG＝90°﹣35°＝55°，在Rt△BGD中，，，∴BG＝0.82a，DG＝0.57a，在Rt△EDG中，，∴GE＝，又∵，∴0.82a+＝180，解得a≈208，答：BD长约为208cm．24．（12分）综合与实践问题情境：如图1，正方形纸片ABCD和EFGB有公共顶点B，其中，BE＝4，将正方形EBGF绕点B按顺时针方向旋转α．观察发现：（1）如图2，当α＜90°时，连接AE，CG，小组成员发现AE与CG存在一定的关系，其数量关系是AE＝CG，位置关系是AE⊥CG．探索研究：（2）当A，E，F三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时DE的长度．拓展延伸：（3）猜想图3中CF与FG的数量关系并证明．【解答】解：（1）如图1，延长AE，交CG于点H，交BC于点O，在正方形纸片ABCD和EFGB中，∠ABC＝∠EBG＝90°，AB＝CB，BE＝BG，∴∠ABC﹣∠CBE＝∠EBG﹣∠CBE，∴∠ABE＝∠CBG，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∠BAE＝∠BCG，∴∠ABE+∠AOB＝∠BCG+∠AOB＝90°，∵∠COH＝∠AOB，∴∠BCG+∠COH＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；（2）如图2，当点E在AF上时，∵四边形EFGB是正方形，∴∠FEB＝90°，∴∠AEB＝90°，作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，∴∠AME＝∠BEM＝∠ANE＝∠AFB＝90°，∴四边形AMEN是矩形，∵cos∠ABE＝，∴，∴BM＝，∴EM＝＝，∴AM＝AB﹣BM＝4，AN＝EM＝，∴DN＝AD﹣AN＝4＝，∴DE＝＝4，如图3，当E在AF的延长线上时，由上知：EM＝，EN＝，∴DN＝AD+AN＝4+＝，∴DE＝＝4，综上所述：DE＝4或4；（3）如图2和图3中，AE＝，由（1）得CG＝AE＝8，∴图2中，CF＝FG，图3中，C