云南省文山壮族苗族自治州数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

云南省文山壮族苗族自治州数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

姓名：班级:成绩:

亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

1.（1分）找规律，填一填.

（1）6-6=9

（2）8-8=63

（3）7一7=27

2.（5分）木材加工厂堆放原木（堆放方式如下图所示），每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根,

最下层有20根。

层

ooooooooocioooooooooo

（1）这堆原木堆放了多少层？

（2）一共有多少根原木？

3.（5分）四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场.规定如下：胜者得2分，负者不得分，平局

得1分.比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名.已知比赛中有平局，那么第一名同学得多

少分？

4.（5分）买一双高级女皮鞋要214元5角6分钱，请问买一只要多少钱？

5.（10分）四对夫妇坐在一起闲谈.四个女人中，/吃了3个梨，8吃了2个，。吃了4个，D吃

了1个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的2倍，丙吃的是妻子的3倍，丁吃的是妻子

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的4倍.四对夫妇共吃了32个梨.问：丙的妻子是谁？

6.（5分）8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友

的名字.开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一

定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字.

7.（5分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得。分.比

赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？

8.（10分）猴子每分钟能掰一个玉米，在果园里，一只猴子5分钟能掰几个玉米？

9.（5分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女

人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话.有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一

男一女.男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”.这下，那个外来的游人可发愁

了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？

10.（2分）9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2:3。证明：这9条

直线中至少有3条通过同一个点。

11.（5分）一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问.四人分别供

述如下：

甲说：”罪犯在乙、丙、丁三人之中.”

乙说：“我没有作案，是丙偷的.”

丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯.”

丁说：“乙说的是事实."

经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话.

同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？

12.（5分）三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄.刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，

比李丽大1岁.”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁.”李丽说：“我比刘强年岁小，

刘强13岁，陈红比刘强大3岁.”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的.请你帮助班主任分析

出他们三人各是多少岁？

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13.（5分）（2011•广州模拟）某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站

上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个

座位？

14.（5分）先填一填，再说说我的新发现.

观察表，我发现了：

15.（5分）一口井7米深，有只蜗牛从井底往上爬，白天爬3米，晚上往下坠2米。问蜗牛几天能从井里爬

出来？

16.（5分）1根2米长的绳子将1只小狗拴在树干上，小狗虽贪婪地看着地上离它2.1米远的1根骨头，却

够不着，请问，小狗该用什么方法来抓骨头呢？

17.（5分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突

然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把同学们写好的纸条收

走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。”这时下面有个特别聪明的同学，

立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都

很佩服这个同学。那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？

18.（5分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局则两

队各得1分.小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排

序.那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是5分，则这个队可能出线吗？

19.（5分）下面四个小朋友站的位置是这样的：乙站在甲的右边；丙站在甲的左边；丁站在丙的左边。请你

将甲、乙、丙、丁分别填写在横线上。

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彳*

20.（5分）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局.其中有两队并列第一，两队并列第三,

有两个队并列第五，以后无并列情况.请计算出各队的得分.

二、染色与赋值问题（共14题；共75分）

21.（5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛.事先规定：兄妹二

人不许搭伴.第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹.问：三个男孩的妹妹

分别是谁？

22.（5分）一个数若去掉前面的第一个数字是H,去掉最后一个数字为50,原数是多少？

23.（5分）小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。太阳帽有三种颜色：红、

黄、蓝。他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。

他们倒的分我救的不

是红曲的我敢的不是、

别是什么族红色的，也不

色的帽子？

涂一涂。

24.（5分）什么时候4-3=5?

25.（5分）4名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名.”乙说：“我不可能是第一名，

也不可能是最后一名.”丙说：“我绝对不会得最后一名.”丁说：“我肯定得第一名.”赛后，发现他们4人

的预测中只有一人是错误的.请问谁的预测是错误的？

26.（5分）甲、乙、丙三人分别是二年级一班、二班、三班的学生，在学校运动会上，他们分别获得了跳高、

百米赛跑和铅球冠军。已知：二班的是百米冠军；一班的不是铅球冠军；甲不是百米冠军；乙既不是二班的也不是

跳高冠军。他们三人分别是哪个班的?获得了哪项冠军？

27.（5分）小军有一本画册，一共5张，缺了其中的一张，如下图：

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根据剩下4张的页码，你知道缺哪一张吗？

这张的页码分别是（）和（

28.（5分）三（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢1局得3分，输1局倒扣1分，平1局各

得1分.小晴共参加了6局比赛，结果胜了3局，平了1局，那么小晴的最后得分是多少？

29.（5分）甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙

第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”丙说：“丁第2名，我第3名。”成绩揭晓后，

发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

30.（10分）小丽的手链缺4颗珠子，是哪4颗呢？

31.（5分）（2013•广州）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天

色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来

带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为:

哥哥——1分钟;

爸爸一一2分钟;

妈妈----5分钟;

爷爷——10分钟。

若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？

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请写出你设计的方案:

第一步，________与________过桥，________回来；

第二步，__与__过桥，回来：

第三步，________与________过桥，共耗时________分钟。

32.（5分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果,

如何分（不能切开苹果）

33.（5分）想一想，请你继续写!

149

2536

,观察这些数，）

L你发现了什么期

噢！我发现了：.

34.（5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、

“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝

宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常

赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？

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参考答案

、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

【笫1空】5

1-K【第2空】5

【第1空】1

1-2,【第2空】1

【第1空】4

1-3,【第2空】4

解：（20-4）+4=4（层）4+1=5（层）

2-1、答：这堆原木堆放了5层.

解：（4+20）x5+2=60（«）

2-2、答：一共有60根原木.

3-1、

阴：四个同学共赛4x3-2=6（场），总分是6x2=12（分）.每8选手的怠分一定是0~6七个数之一，因为有两名同

学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6分，而且第一名的分数要大于3分.下面进行枚举.

如果第一名的同学得5分.另作第三名的同学得（12-5x2）-2=1（分），也就是第一名胜两场,平一场,第三名平一场，

负两场，各得1分；

如果第一名的问学得4分，月眩第三名的何字得（12-4x2）-2=2（分），也就是第一名胜一场，平两场，第三名负一场,

平两场，各得2分；

所以第一名同学得分为4分或5分，

4-1,解：一只要214元5角6分钱

5-1

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好：分别设A-B>C-D的丈夫吃数的个数为3o，»，4:和d，则有：

3a+22>+4c+rf=32-（3+2+4+1）=22

由理意知,a.b-c.d分另姆于1,2.3.4四个数之一，目互不相同.所以

a+b+c+d=10，得到2o+b+3c=12♦所以b与c的奇偶性相同.

由于2xi+b=a+a+bNa+l+2N】+1+2=4>所以3c<8«c只能为1或2,

如果c=1,用因ib=3，由2o+b+女=12得到<7=3I多盾•所以c=2>b=4>a=l，d=3,因为丙吃法滕

子的3倍，而d=3.所以丙的安子是D-

6-1、

解:沿顺时针方向转动国点,每次转动一格，使每位小朋友恰好对准卤面上的字条，经过欹转动后,点面又回到原来的位置.

在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我（1卿号位小朋友与自己名字相对的情况看

作-苹果-,共有81•苹果”,另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对,所以小朋友与自已名字相对的情况只

发生在7次转动中,这样7次转动（即7个"揄屉.）将产生附小朋友对;隹目己名字的情况,由抽屉原理可知，至少在某一次转

动后,有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字•

7-1、

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癣：（法一）四人共赛6局，总分为6x2=12（分），因为没有人全胜,所以得分量鬲的选手最多是两胜一平得5分，因此

在另外的3局比赛中：

如果全部是平局，则4个人的分财能分别为513•2•2•就会出现分数相同的情况，如图1（图中脑头表示有胜负,

箭头指向输者,虚线表示平局）

如果有2局是平局，则可以出现满足条件的情况：4人分数分别为5・4，2，1，如图2

所以至少存3局是平局.

（法二）四人共赛6局，

如果6局都是平局，那么四人总分相同，不合题意.

如果有5局平局，那么除有胜负的两人外，月两人总分相同，不合篁意.

如果有4局平局，号以可分为三种情况：f人胜两局，输的两个人息分相同；f人输两局,胜的两个人忌分相同；四个人

中两人胜两人负,两个胜的人总分相同,两个负的人总分相同，都不合堡意.

3局平局是可能的,如下图所示,踏漾示平局，筋头指向的一方为负方,图中数字为各人总分.

8-1、没有掰到.

9-1、

解：假设男人今天说的是更话，那么今天是星期四、五六、日其中的一天,而且今天的前一^男人说的是假话，所以，根据

另人的话,确定今天是星期四，所以女人说的话是假话,昨天也就是星期三女人说的是真话,符合翅息,所以，今天是星期四.

10-1、

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解：设正方形为.{BCD，E、F分别是.18>CD的中点•设直线MN把正方形.15。分成两个长方形一切3/》和

CDNM，并且与EF相交于P（如困），

长方形.1BMN的面积长方形CDNM的面积=2:3,如果把直线AfN绕P点旋转一定角度后，原来的两个长方形就变

成两个梯形，根据割补法两个梯形的面积比也为2:3,所以只要直线MN绕P点旋转，得到的两个梯形的面积比为2:3，

所以将长方形分成2:3的两个梯形必定经过P点，同样根据对称经过Q点的直线也是篇足条件的直线,同理我们还可以找到

阳长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有好固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2:3的梯形的直

线，一定通过这4,点中的某一个.我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由他扈原理可知，9=4x2+1，所

以，必有fWS内至少放有3个青果,也就是,必有三条直线要通过一个点.

11-1、

解：如果甲说的是假话，那么耐下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话.可是乙和丁两人的观点一致,所以在剩

下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是其话.圆.丙是盗窃犯".这样一来，甲说的也是对的,不是俸话.这样，前

后就产生了矛盾.所以甲说的不可能是假话,只能是真话.同理,耐下的三人中只靛是丙说真话.乙和丁说的是假话,即丙不

是靠犯，乙是菲犯.又由甲所述为真话，即甲不是靠犯.再由丙所述为直话，即丁是靠犯.所以乙和丁是盗窃犯.

12-1、

解：先假设刘强说的第一句话.我12岁"为真，那么李丽说的第二句话■1刘强13岁”就为假，因此李丽的月外两句话就应该是

真话，从"陈红比刘强大3岁”就卷出陈红是15岁；又从.我比刘强年岁小“胜出李丽小于12岁.可是这样一来，陈红说的三

句话中，"李丽和我差3算和”李丽15岁-这两句话都不能成立，这与本题中的要求（-每人说的三句话中,都有F是错

的”,即三句话中有两句话是真的）相矛盾.因此,刘强说的~我12岁.这句话是假的.由于刘强说的第一句话是假的，所以

后两句话就是其的.因此，李丽说的第三句话•1除红比刘强大3岁”就是假的，所以，李0S说的第二句话•1刘强13岁”就是E

的.于是就可以推出：李丽12岁,陈红15岁，刘强13岁.

答：李丽12岁,陈红15岁,刘强1理.

13-1、

解：起点站后有14站，可知起点站有14人上车，0人下车.以下情况:起点站上14人，下0人;第2站上13人,下1人；第3站

上12人，下2人;第4站上11，下3人；第5站±10，下4人；第6站上9人r下5人；第7站上8人，下6人；第8站上7人.下

7人；第班上6人，下8人；从第9站时开始上的人比下车的少，可知在第8站后车上人数为最多，应该准备的座位是:

14+13*12+11+10*9*8+7-0-1-2-3-4-5-6-7=84-28=56（个）.

答：这辆公共汽车最少要有5部座位.

14-1、

第10页共14页

【第1空】事:

X123456789

1123456769

224681012141618

3369121518212427

44812162024283236

551015202530354045

661218243038424854

771421283542495663

881624324048566472

991827364554637281

观察表，我发现了:

(1)1,4,9,16,25,36,49,64,81S一串数字，就是这张图的对称轴,两边对应方格里的数是相等的，也就是F口诀表

示的两个尊式的积是相等的.

(2)1,4,9,16,25这一串数字,从1起每相邻的两个数字依次相差3、5,7、9.

9,16,2L24,25这一串数字,从迄每相邻的两个数字依次相差7.5,3、1.

解：第一:3-2=1(米)

以后4天共1超4米，第五天白天再爬3米就是7米

15-1、答：5天能从井里爬出来.

16-1、解：小狗可以转过身用后腿来抓骨头•

17-1、

就：假设一共来了n名同学，贝触们认识的人数应诙不超过〃-1.又因为崔老师说所有同学认识的人数都不一样，那么这n

名同学就应该分别认识0,1,2•…-n-2-〃一1名同学.

但是,月皓认识1名同学的学生应该认识来参加领奖的所有同学,也就是说，不可能有人认识o名同学.因为这N名同学

不可能分别认识0,1,2……n-2，”一1名同学，所以也航不可能所有人认识的人数刚好不同.

18-1、

解：4个队单单循环赛要赛6场，每场比赛最多产生3分，则6场比赛最多产生18分.如果某队积6分，则剩下12分，可

能另两个队也各得6分，这样就要按进rm则排序，因此该队有可能不出线.如果英队积7分，则剩下11分，这样另外三

个队中不可能再有两个队积分等于或超过7分，这样该队必然出线,因此一个队为了晋级下一轮,至少要积7分才能保证必然

出线.苫有f队息积分是5分，则箕它三个队共积18-5=13(分)，这个队可能发咯削两名，所以有可能出线•

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丁丙甲乙

19-1、

20-1、

解：为简单起见,假定胜队得1分，负队不得分，其它条件不变,此种情况得到的答冠,各队都力吐粉就是原题答盍.

因为共春45场,每队赛9场,所以共产生45分.由两队并列第一,底知并列第T9队至少各输一场.

(I渥设并列第一的队各输1场,各得8分.如果并列第三的两个队各输两场，各得7分，月及前四名的队共帏6场，而它们之间怡

好赛了限,所以前四名的队胜了后面的所有队.由此痛®,并列第五的队至少各输5场，最多各得4分，那么后四名的队共得

45-(8+7+4)>2=7分，而后四名的得分只能是3、2,1、0,其和不等于7.所以并列第三的两个队不能各输两场.而是各输

三场，各谆6分.此时,后6名的得分只能是5、5、4.2.1.0,

1孙队的得分依次为：8.8.6.6,5.5、4.2.1,0.

(2潭设并列第一的队各输2场，各得7分，那么并列第三的队只能各输3场，各得6分(如果各输4场，后八名的队的得分只能是

5.5,4.4.3、2、1、0,危分不到45分)，后六名的得分只能是5、5、4、3.2.。此时队的得分依次为：7、7,6、

6、5.5,4.3、2、0.

(3谭设旃第一的场,则总分之多为6+6+5+5+4+4+3+2+1+0=36分，不合—•

绛,各队得州:17.17.15.15.14.14.13.H.10.9;

或:16.16.15、15.14.14.13.12.11.9.

二、染色与赋值问题(共14题；共75分)

21-1、

»?:因为兄妹二人不许搭件,所以！题目条件表明：刘丽与小瓯李强与，J演、李强与小红都不是兄妹.由第二盘看出，小红不

是马龌的妹妹.将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表.

小丽小英馍小丽小英慎

刘刚X刘刚XXJ

马库X马辉XJX

李强XX轨JXX

刘刚与，JWL马辉与，J或.李暂与〃顿分别是兄妹.

22T、讲:腆故是.五i一

第12页共14页

根据分析可得:小明藏的是黄色的，小华戴的是红色的，小强藏的是蓝色的，涂色如下：

我豉的不

他们薮的分我敢的不是

别是什么颜是红色的

WT；?|红色的,也不

嘲色的帽子？是货色的_）

涂一涂C

小强

23-1、小明

24-1、解:苴错时.

25-1

解:假设甲的预测是错的,那么其他三人的预测脚是对的,那么甲不是最后一名,乙和丙也不是最后一名,丁是第一£,这样

的话没有人是最后一名，矛盾.所以甲的预测是对的，甲是最后一名,那么丙的预测也是对的.如果乙的预测是错的，那么乙

是第一名，而丁的预测是的，丁也是第一名，矛盾.所以乙的预测是对的，丁的预测是错的.

26T、解：氏是一班的旗商冠至；乙是三班的铅球冠至；丙是二班的百米赛跑冠军.

根据分析可知,缺第4张，这张的页码分别是7和8.

27-1、答：缺第4张，这张的页码是7和8.

28-1

阴：胜3局得到：3乂