高中数学《充要条件》导学案

1.2.2充要条件

卜课前自主预习

3］基础导学

充要条件

(1)充要条件

回二般地，如果既有〃今〃，乂有就记作〃台〃.此时，我们说，P是q

的充分必要条件，简称皿充要条件.

(2)常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p,则,逆命题为“若q,则p"，那么.与q的关系

有以下四种情形：

原命题逆命题p与q的关系

〃是”的国充要条件

真真

。是〃的回一充要条件

p是q的因充分不必要条件

真假

q是p的理必要不充分条件

p是q的国必要不充分条件

假真

q是p的幽充分不必要条件

p是q的国既不充分也不必要条件

假假

q是p的叫既不充分也不必要条件

sd自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)当〃是＜7的充要条件时，也可说成4成立当且仅当P成立.()

⑵逻辑联结符号“0”具有传递性.()

(3)若p书q和q省p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.()

答案(1)7(2)7(3)7

2.做一做

(1)(教材改编P12练习Tz)设mbWR,则"a+b>2"是"”>1月*>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)“/<1，，的充要条件是.

(3)"—1=0”是“园一1=0”的条件.(从“充分不必要”“必要

不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

(4)如果不等式xWm成立的充分不必要条件是KW2,则m的最小值为

答案(1)B(2)-1<%<1(3)充要(4)2

解析(1)当。=0,。=3时，a+b>2,而a<l,故a+/?>2羊。>1且/?>1.而

a>\且匕〉100十匕〉2.故选B.

卜课堂互动探究

探究1充要条件的判断

例1下列各小题中，P是4的充要条件的是()

①p：2或m>6,q：y=f+〃犹+m+3有两个不同的零点；

②P：、,=1'q：y=/(x)为偶函数；

③p：cosa=cos夕，q：tana=tan"

④p：AAB=A>q：［uA..

A.①②B.②③C.③④D.①④

［解析］①夕：y=x2+/^+m+3有两个不同零点0』=毋一4(机+3)>0台mv

—2或777>6<=>/?.

②/(幻=0时，q与p.

兀

③若a,尸=也+］(kWZ),此时有cosa=cos£,但没有tana=tan/?.

④p：AC5=A0ACB0q：

二①④中，〃是夕的充要条件.

［答案］D

拓展提升

判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：验证由p能否推出q,由q能否推出p,对于否定性命题，注

意利用等价命题来判断.

(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断及

的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合二大集合”的关

系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.

【跟踪训练1］已知p是夕的充分条件，q是r的必要条件，也是5的充分

条件，，是s的必要条件，问：

(Dp是r的什么条件？

(2)s是q的什么条件？

(3)p,q,r,s中哪几对互为充要条件？

pq<=r

s

解作出“今”图，如右图所示，可知：

p=^q,99s—^r.

(l)p今q0s0r,且r今q,q能否推出p未知，，p是r的充分条件.

⑵q,q=^s,

''s是q的充要条件.

(3)共有三对充要条件，qQs；s妗r；—q.

探究2充要条件的证明

例2设a,b,c是△ABC的三个内角A,B,。所对的边.求证：a2=b(b

+c)的充要条件是A=2区

［证明］充分性：,：A=2B,：.A-B=B,则sin(A—B)=sinB,则sinAcosB

a2+c2-b~/+02-CT

—cosAsinB=sinB,结合正弦、余弦定理得a----赤----b----诋---=b,化简

整理得a2=Z?(i»+c)；

必要性：由余弦定理+—2Z?CCOSA,且/=/?(/?+(?),得从+/?c=/+

c2—2bccosA,

•…c-csinC

•J+2cosA=］=备/

即sinB+2sinBcosA=sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,/.sinB=

sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B),由于A,8均为三角形的内角，故必有B=A-B,

即A=2B.

综上，知的充要条件是A=28.

［结论探究］如果把例2中问题改为“求证A,8,C成等差数列的充要条件

是8=60。"，怎样解答？

证明充分性：

在△ABC中，A+3+C=180°,

又；8=60°,.\A+C=120°.

：.A+C=2B.：.A,B,C成等差数列.

必要性：

A,B,C成等差数列，：.A+C=2B.

又•.•A+B+C=180。，即38=180。，

.•.8=60°.

综上得A,B,。成等差数列的充要条件是8=60。.

拓展提升

充要条件的证明

证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，

但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件.尽管证

明充要条件问题中前者是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步

骤颠倒了.一般地，证明“p成立的充要条件为时，在证充分性时应以4为“已

知条件”，p是该步中要证明的“结论”即q=p；证明必要性时则以p为“已知

条件”，即〃今/

【跟踪训练2】求证：关于x的方程+有一正根和一

负根的充要条件是ac<0.

证明必要性：由于方程aj^+bx+c=O,有一正根和一负根，.♦./=〃一

c.

4ac>0,即式2=/<0，**-cic<0.

充分性：由ac<0可得4讹〉0及x「X2=，），

二方程加+法+c=0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程改?+笈+

c=0有一正根和一负根.

综上可知，关于x的方程ax2+^+c=o（aWO）有一正根和一负根的充要条件

是ac<0.

探究3求充要条件

例3求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.

［解］当。=0时，符合要求.

当aWO时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的

"/=4—4心0,

关系可知a<0；若方程有两个负实根，则1>05解得0<aWL

I--a<0,

综上所述，若方程以2+2x+l=0至少有一个负实根，则aWL

反之，若aWl,则方程℃2+2》+1=。至少有一个负实根.

因此，关于x的方程0?+入+1=0至少有一个负实根的充要条件是。或1.

拓展提升

探求充要条件的两种方法

(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条

件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明.

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程

同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和

必要性分开来证.

【跟踪训练3]圆?+/=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是

答案一审〈小

|2|

解析当圆W+y2=l与直线旷=匕+2有一个公共点时，有=1,解得

攵=地.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充要条件是一小＜攵＜小.

1

f----------------------------------1速黜升-----------------------

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.

2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式

的区别：

①p是q的充要条件，则由p=q证的是充分性，由40P证的是必要性；

②p的充要条件是q,则p=＞q证的是必要性，由40P证的是充分性.

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变

形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

卜随堂达标自测

1."(p=n"是"曲线y=sin(2x+g)过坐标原点”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当°=兀时，y=sin(2x+?r)=-sin2x,此时曲线过坐标原点；但曲线y

=sin(2x+9)过坐标原点时，s=E(ZWZ),:."(p=n"是"曲线y=sin(2x+s)过

坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.

2.“幺+。一2)2=0”是"x。-2)=0”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析x2+(y—2)2=0,即x=0且y=2,.,.九3—2)=0.反之，x(y—2)=0,即

x=0或y=2,2)2=()不一定成立.

3.已知集合A为数集，则“AA{0,l}={0}”是“A={0}”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析因为“An{0,l}={0}”得不出"A={0}”，而“A={0}”能得出

“An{0,l}={0}"，所以“AC{0,l}={0}”是“4={0}”的必要不充分条件.

4.“sina=cosa”是“cos2a=0”的条件.(从“充分不必要”“必

要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

答案充分不必要

解析由cos2a=cos2a—sin/知，当sina=cosa时，有cos2a=0,反之，由

cos2a=sin2a不一定有sina=cosa,从而“sina=cosa"是"cos2a=0”的充分不

必要条件.

5.已知x,y都是非零实数，且x>y,求证：的充要条件是孙>0.

xy

证明证法一：充分性：由肛>0及x>y,得奈>白，即

xyxyxy

必要性：由(寸，得:一30，即5^<°.

因为x>y,所以y—x<0,所以xy>0.

所以吴的充要条件是孙>0.

人y

证法二：

xyxy孙

V-X

由条件x>y^>y—x<0,故由一^<00xy>0.

所以《*^孙〉。，

即54的充要条件是孙>0.

人y

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,4内.则''直线a和直线人相

交”是“平面a和平面口相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若直线a,。相交，设交点为P,则Pda,PGb.又aUa,bu1所以

pea,P0,故a,4相交.反之，若a,P相交，则m人可能相交，也可能异

面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面a和平面厂相交”的充分不必要

条件.

2.给定两个命题p,q.若女弟〃是q的必要而不充分条件，则.是^[的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析,•陛弟/，是q的必要而不充分条件，㈱°,但女弟/7书4，其逆否命题

为pO^q,但㈱q苗p,因为原命题与其逆否命题是等价命题.故选A.

3.已知函数1x)=Acos(0x+s)(A>O,80,gdR),则“«x)是奇函数”是“<p

=卓的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析/(x)是奇函数时，s=1+E(ZWZ)；8=1时，/(x)=Acos[ft>x+2j=一

TT

Asincox,为奇函数.所以‘'_/□）是奇函数”是“9=*'的必要不充分条件.故选

B.

4.已知直线/i：or+（a+l）y+1=0,b：x+ay+2=0,则"a=-2"是ul\

_L/2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析直线/1_U2的充要条件是。+。（。+1）=0,解得。=0或。=-2,所以

“a=—2”是“/山2”的充分不必要条件.

5.已知不等式以一相<1成立的充分不必要条件是:则实数机的取值范

围是（）

411「14一

A「予2jB.[—》3]

C.（_8,D,[1,+8）

答案B

解析由题易知不等式|x—,川<1的解集为｛x依一l<x<〃z+l｝,从而有｛x依一

（\n

\<x<m+1｝（J,2I，

，"+1>7，

2i4

]解得一]<〃2<于

｛加―1<个

而加+1=;与加-1=3不同时成立，

14

...机=-]及机=Q亦满足题意，

14

—iWmWg.故选B.

6.设｛“”｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则/<0”是“对任意的正整数

n,。2”-1+。2"<0"的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案C

2n22n2/，2

解析由题意得，an=a\q''(ai>0),a2n-i+«2n=«i^+ai^'=«I<7(1

+q).若q<0,因为1+q的符号不确定，所以无法判断。2”-1+“2"的符号；反之,

若侬-1+如<0，即切产-2(］+q)<o,可得'一1<0故"g<o”是“对任意的正整数

n,。2,一+。2〃<0”的必要而不充分条件.故选C.

二、填空题

7.设函数式x)=ox+b(OWxWl),则a+2b>0是於)>0在［0,1］上恒成立的

条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必

要”)

答案必要不充分

次0)〉0,今b>0,

解析由‘,=»«+2/?>0.

川)〉0’a-\~b>0.

而仅有a+2b>0,无法推出40)>0和11)>0同时成立.

8.已知a,8为两个非零向量，有以下命题：

@a1=b2；@a-b=b2；③闷=|可且a〃尻其中可以作为a=b的必要不充分条

件的命