高中数学-正弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思

教学目标

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算

有关的实际问题

2.过程与方法：

通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；

通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类

讨论和数形结合的思想方法.

3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程,

体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和

创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，

学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价

值、美学价值，不断提高自身的文化修养.

教学重点、难点

教学重点：1.正弦定理的推导.2.正弦定理的运用

教学难点：1.正弦定理的推导.2.正弦定理的运用.

学情分析

本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修④基本初等函数

n和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关

系，得出正弦定理。高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问

题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

1.在aABC中，A=60。，a=43,b=42,则（）

A.B=45。或135。B.B=135°

C.B=45°D.以上答案都不对

2.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120。，贝i]a等于（）

A.6B.2

C.3D.2

3.在AABC中，a=5,b=3,C=120°.则sinA：sinB的值是（）

A.5：3B.3：5

C.3：7D.5：7

4.在aABC中，若sinAa=cosCc,则C的值为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在aABC中，a=bsinA,则AABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

6.（2011年天津质检）在AABC中，如果A=60。，C=4,a=4,则此三角形有（）

A.两解B.一解

C.无解D.无穷多解

二、填空题

7.在aABC中，已知BC=5,sinC=2sinA,则AB=.

8.在AABC中，B=30°,C=120°,则a：b：c=.

三、解答题

9.在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=4：5：6,且a+b+c=30,求a.

10.在AABC中，角A,B,C所对的三边分别为a,b,c.已知a=5,b=2,B=120°,

解此三角形.

1o这是一节师生互动好、教师有激情的课。教师讲解清楚，透彻，由于教师的亲和力

大，学生积极性调动得较充分，感觉到课堂的一种和谐的氛围。

2。教师有钻研，课堂条理清晰，但重点处理有偏颇。本节课教学重点是正弦定理的证

明与定理的简单应用。

3。正弦定理的证明方法讲哪种更好呢？有老师认为，用三角形面积法证明更易于学生

理解和接受，能够更好地进行定理应用的例题讲解；有老师认为，定理证明的几种应该都介

绍给学生，让学生更好掌握定理的形成过程，这更符合新课标的要求；有老师认为，定理讲

解就针对不同层次学生，对于基础较好班级可以更深入去挖掘一下，拓展学生思维，反之，

不提倡讲得太多；有老师认为，定理推导要创设情境，引导学生去发现、类比等。

教材分析

正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容。在

初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系；同时在必修4,

学生也学习了三角函数、平面向量等内容。这些为学生学习正弦定理

提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三

角形边、角之间数量关系的重要公式，本节内容同时又是学生学习解

三角形，几何计算等后续知识的基础，而且在物理学等其它学科、工

业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。

正弦定理

1.问题的引入：

(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,

会有无限遐想,不禁会问，

月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？

(2)设A,B两点在河的两岸，只给你米尺和量角设备,不过河你可

以测出它们之间的距离吗？

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.

这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦

定理。

【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样

表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA=—,sinB=—,sinC=1

【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来?

【生】：边C可以把他们联系起来，即c=q,c=上,c=，，也

sinAsinBsinC

就是说在RtAABC中，-=―丝=—J

sinAsinBsinC

【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个

直角三角形中，各边与

它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立

呢？

通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的

角的正弦值相等。在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三

个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。

【师】：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的

验证是不够的，那能不能对这个定理给出一个证明呢？

2.定理的推导

回忆一下直角三角形的边角关系？

a=csinAZ>=csin区两等式间有联系吗？

B

b

sinAsin

sjnc=1」sinAsin8sinC

思考:

对一般的三角形，这个结论还能成立吗?

⑴当AABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?

如图:作A3上的高是C仅根据

三角形的定义，得到

CD=asinB,CD=bsinA

所以asinB=bsmAB

a_b

得到

sinAsin8

同理，作A£1BC.有——=——

sinBsinC

a•____b—____c—____

sinAsinBsinC

3.正弦定理

⑵当AABC是钝角三角形时，以上等式是否仍然成立?

正弦定理:

a_b_c

sinAsinBsinC

(1)文字叙述

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角

的正弦的比相等,

(2)结枸特点和谐美、对称美.

(3)方程的观点

正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.

能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?

在锐看角形中两边同取写的数量积得

J(AC+CB)=JAB

(根据向量的数量积的定义)

|)|-|AC|•cos90+p|.|CB|-COS(900-C)

=|)|-Afi|-cos(90'-A)

］与前的夹角为—",即。・sinC=c・siiiA

］与曰的夹角为9(r-c,sinAsinC

］与标的夹角为型二.同理过C点作，・垂直于国可得

由向量加法的三角形法则•.在锐角三角形目

sinCSinn

b_c

AC+CB=AJB也有

sinAsinBsinC

在钝角三角形中

设NA>90"

过点4作与菽垂直的里位向量］,

则］与蒜的夹角为

］与赤的夹角为""C

具体证明过程

课下完成！

【师】：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，

并且得到了正弦定理对于直角、锐角、钝角三角形都是成立

的。

【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于

一个比例式来说，如果我们知道其中的三项，那么就可以根

据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有

哪些呢？

【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或

者两角一边求出另外一边。

【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上

面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边

和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。

回扣引入

4.例题讲解

例1.在AA5C中，已知c=10,A=45。,C=30°.

求角5和瓦

例2.在aABC中，已知a=2,b=2M,A=45°,

求B和c。

变式1：在AABC中，已知a=4,b=2G,A=45°,

一

变式2：在AABC中，已知a=-V3,b=272，

5.课堂练习3

1.在AA5C中

(1)已知)=12,4=30°,5=120°,求〃；

(2)已知义二退,。=1,5=60°,求。,和不C;

6.课堂小结

知识：1.正弦定理的内容

2.正弦定理的应