专题2.10直角三角形全等的判定-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.10直角三角形全等的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2018秋•黔南州期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=CDBE=CF∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：D．2．（2020春•竞秀区期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确【分析】图形中已有条件AB＝AB，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．【解析】若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD，故选：B．3．（2020秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD或AC＝AD．【解析】需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为：若添加的条件为BC＝BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵BC=BDAB=AB∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC＝AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵AC=ADAB=AB∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选：A．4．（2020秋•无锡期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条边分别相等 B．有一个锐角和一条边相等 C．有一条斜边相等 D．有一直角边和斜边上的高分别相等【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解析】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．5．（2019秋•沭阳县期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可．【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，∠ADC=∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，∠B=∴△BOD≌△COE（AAS）；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，OA=OAOD=OE∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；∴共有3对全等直角三角形，故选：C．6．（2019春•来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC＝AD或BC＝BD，故选：B．7．（2017春•来宾期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．AAS【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB．题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，DB＝DB，∴△BAD≌△BCD（HL）．故选：A．8．（2018秋•和平区期末）如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，再添两个条件不能够全等的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AC＝AC′，BC＝BC′ C．∠A＝∠A′，BC＝B′C′ D．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′【分析】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A选项，AB＝A′B′，BC＝B′C′，可利用HL判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，同理B选项，可利用SAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，C选项∠A＝∠A′，BC＝B′C′，可利用AAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，D选项，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，只能证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，不能证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故选：D．9．（2017秋•玉田县期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝DF．求证：Rt△DEB≌Rt△DFC．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED＝∠CFD＝90°②∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）③∵DE⊥AB，DF⊥AC，④∵在Rt△DEB和Rt△DFC中DB=DCDE=DF证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④ B．③→①→④→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②【分析】根据垂直定义得出∠BED＝∠CFD＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CDDE=DF∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；故选：B．10．（2019秋•沛县期中）下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（）A．一条直角边和它的对角分别相等 B．斜边和一条直角边分别相等 C．斜边和一锐角分别相等 D．两个锐角分别相等【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解析】A、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；B、根据HL可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•临沭县期中）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝DF（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可证得结论．【解析】添加的条件是：AB＝DF，证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，∴∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AB∥DF，∴∠ABC＝∠DFE，∴添加AB＝DF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，∠ACB=∴Rt△ABC≌Rt△DFE（AAS），故答案为：AB＝DF（答案不唯一）．12．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解析】∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中∠DFE=∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．13．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理HL．【分析】根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．【解答】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，AC=BFCD=DF∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．故答案为：HL．14．（2020秋•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DFAB＝DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．【解析】∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DFAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案为：AB＝DE．15．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝2时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【分析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中AB=PC=6∠B=∠C=90°∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．16．（2021春•新邵县期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是：AC＝AD（答案不唯一）．（写一个即可）【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理HL即可，条件可以是AC＝AD或BC＝BD．【解析】添加的条件是AC＝AD，理由是：∵∠C＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABD中AB=ABAC=AD∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．17．（2021春•揭阳期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后，△CAP与△PQB全等．【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．18．（2020春•涟源市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD或AC＝AD．【解析】条件是AC＝AD（答案不唯一），∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中AB=ABAC=AD∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•合浦县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB＝CB，AE＝CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．【解答】证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CFAB=CB∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．20．（2020秋•集贤县期中）如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE．【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．21．（2019秋•扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．综上所述，当点P运动到线段AC中点时，△ABC与△QPA全等．22．（2019春•莲花县期中）如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，E为BC上一点，BE＝FC，请探求AE与BF的关系，并说明理由．【分析】AE⊥BF且AE＝BF，根据已知可以利用SAS判定△ABE≌△BCF，从而得到AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F，再根据角之间的关系可推出AE⊥BF．【解析】AE⊥BF且AE＝BF．理由：∵AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，∴∠ABE＝∠BCF＝90°．∵AB＝BC，BE＝FC，∴△ABE≌△BCF．∴AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F．∵∠A+∠AEB＝90°，∴∠FBC+∠AEB＝90°．∴AE⊥BF．∴AE⊥BF且AE＝BF．23．（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．【分析】（1）根据SAS可得△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．（2）根据SAS可得△ABD≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．【解析】（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°．在△ABC和△DCE中，AB=CD∠