5.3.1函数的单调性(1)课件高二下学期数学人教A版选择性

第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.2.通过初等方法与导数方法在研究函数单调性的比较，体会导数方法在研究函数单调性的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．活动方案活动一掌握导数与函数单调性的关系运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？【解析】

从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.思考2►►►观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．

(1)

(2)(3)

(4)【解析】

(1)由图可知函数y＝x单调递增，y′＝1>0.(2)y′＝(x2)′＝2x，当x<0时，y′<0；当x>0时，y′>0.由图可知，当x<0时，y＝x2单调递减；当x>0时，y＝x2单调递增．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．思考3►►►(1)试结合y＝x3进行思考：如果函数f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′(x)>0吗？【解析】

不是，因为y′＝3x2≥0恒成立，所以y＝x3在区间上单调递增，而f′(x)不一定恒大于0，也有可能等于0.(2)如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？【解析】

函数f(x)为常数．用导数求函数单调区间的一般步骤：(1)求定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)确定单调区间．活动二掌握利用导数研究函数的单调性【解析】

(1)因为f(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)>0，所以函数f(x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图1所示．图1图2图3例2已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x<1或x>4时，f′(x)<0；当x＝1或x＝4时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．【解析】

当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；当x<1或x>4时，f′(x)<0，可知f(x)在区间(－∞，1)和(4，＋∞)上都单调递减；当x＝1或x＝4时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．检测反馈13524D2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是(

)A.(－∞，2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，＋∞)12345【解析】

f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，则x>2.故函数f(x)的单调增区间为(2，＋∞)．D31245AD3124531245