高中数学2轮14 作业9

专题训练•作业（九）

一、单项选择题

1.（2021・高三冲刺联考）已知公差不为零的等差数列｛斯｝的前n项和为S„,若外一的+4=0,

贝嗤=（）

9

A.—3B京

1111

C.而D.v

答案B

解析设等差数列｛斯｝的公差为d（d中0）,因为0-痣+卷=0,所以ai-ai—4d+

6X（6-1）

6"2d八_36C,,04__田s+3"__9_„

6=0,所以句=刃，所以厮=5£=5（0+2“）=夯•故选B.

2.（2021•成都市一诊）若等比数列｛如｝满足〃2+。3=2,“2—44=6,则。6=（）

A.-32B.-8

C.8D.64

答案A

[mg+〃iq~=2,\ci\—1,

解析设等比数列伍〃｝的公比为q,由题意，得3,得「所以〃6=。炉=

[a\q-a\q'=6,[q=-2,

（一2/=一32.故选A.

3.（2021.湖北十一校联考）设数列㈤的前〃项和为S”且榭是等差数列，若43=3的，则澄

=()

A?B£

A.5K«9

c.|D-y

答案c

解析方法一：数列馅是等差数列，且首项为辛=0,设其公差为“，则¥=©+(〃-1)”,

=2

Snna]+n(n—1)d=nd+(a\—rf)n,因为。3=3〃5,所以S3—52=3(Ss—S。，则9d+3(a\—d)

—[4t/+2(6Z|—t/)]=3[25d+5(ai—(I)—16d—4(。|—d)],即0=—10d,则S〃=/6/—Wdn,则£

-30d5,,、生

—18J―彳故选0

方法二：因为数歹喘）是等差数列，所以数列｛如｝是等差数列，则治=既奇义3甘.故选C.

4.（2021•合肥市一检）若数列伍“｝的前〃项和a满足3S“=2斯-1,则“5=（）

A.32B.专

C.一mD.-16

答案D

解析方法一：因为3S“=2a”一1,所以当〃22时，3sLi=2〃“一1一1,两式作差得3a“=2如

一2斯T（〃22）,即斯=一2%T（〃22）,又当”=1时，3$=2见一1,所以。尸一1,所以数列

｛&｝是以-1为首项,一2为公比的等比数列.所以为=-1X（-2）"-I,则〃5=-1义（一2打

i=-16.故选D.

方法二：因为3s〃=2小一1,所以当〃22时，3S〃=2（S〃-S—）—l,整理得S〃=—2S〃—]一

1（〃22）,即&+；=—2（S"-I+9（〃22）,又当"=1时，3s1=2”|一1,所以5|=一1,所以

数列1*+共是以一段为首项，-2为公比的等比数列.所以5“+；=一权（一2尸，S„="1x

IJJJJJJ

12

则45=8—S4=一§X[16—（一8）]=­16.故选D.

5.设｛斯｝是公差大于零的等差数歹!1,5“为数列｛如｝的前.〃项和，则“俏>0”是“&+|>3”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由｛斯｝是公差大于零的等差数列，且。2>0,可得。"+1>0,所以a“+i=S"+i—S">0,即

S„+i>S„;反之,若&+1>&,则当〃=1时，S2>S1,即S2—Si=s>o.所以“0>0”是“S"+1>S,”

的充要条件.故选c

6.（2021•湖南衡阳八中模拟）元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及：今有银一秤一斤十

两，令甲、乙、丙从上作折半差分之.其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、

丙三人，甲、乙、丙三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将

银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（规定：1秤=10斤，1斤=10两）（）

■889户

B,历两

-840kc1111g

C31两Df两

答案C

解析一秤一斤十两共120两，将这5人所得银的数量由小到大排列，记为数列｛呢｝（"=1,

2,3,4,5）,则｛斯｝是公比q=2的等比数列，于是得前5项之和S5=卬（厂>）二仁一）

=120,解得。|=肝.

故得银最少的3个人一共得银的数量为©+改+〃3=詈乂（1+2+22）=需（两）.故选C.

7.设5〃是｛斯｝的前〃项和，«i=2,且即+i=-gs〃S〃+i，则--卜肃=（）

A.28B.48

C.68D.88

答案A

解析由题知，数列｛〃〃｝中，m=2,且〃〃+i=—Js“S〃+i,可得S“+i—S〃=-JsSru,即p-

一U且1=!=，.数歹I必｝表示首项为:，公差为;的等差数列..,左+白!----H£-=

OnJ3141，233102012

12xg+12："义；=28.故选A.

8.已知g是等比数列｛a“｝的公比，且0>0,则“q>-l且q#0”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

42痂业1"S3s5业“S355«i（1一/）a\（1一k）—q—\

解析当4=1时，不言当gwi时，£一工=的2（］?）-荷（…）=—^，由

4>一1且k0,可得柒沸%初得q>—1且#0.综上可得“一1且行0”是噜*

的充要条件.故选C.

9.（2021•扬州市适应性考试）已知数列｛斯｝是各项均为正数的等比数列，若8—。2=5,则〃4

+8〃2的最小值为（）

A.40B.20

C.10D.5

答案A

解析由等比数列的性质知42・〃4=的2,所以〃4=野，所以〃4+8。2=3~+8〃2=

+8a2=9a2+^+10^2A/9^^+10=40,当且仅当9改=§,即〃2=?时等号成立，所

。2V。2a2s

以〃4+8他的最小值为40.故选A.

10.（2021,太原市模拟）意大利数学家斐波那契提出的“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144,233,…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为

数列｛如｝满足0=42=1，如+2=%+|+%（〃6叱）.若此数列各项被3除后的余数构成一个新

数列｛儿｝，则｛d｝的前2021项和为（）

A.2014B.2022

C.2265D.2274

答案D

解析数列｛斯｝的各项被3除后的余数构成的新数列｛与｝为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,

2,0,2,可得数列｛b｝是周期为8的数列，设｛仇｝的前八项和为S”，则$8=9,所以S2

021=25258+55=252X9+6=2268+6=2274.故选D.

11.（2021・华大新高考联盟高三质检）拉面是很多食客喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，

将面团先拉到一定长度，然后对折（对折后面条根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长

度.每次对折后，师傅都要去掉捏在手里的面团.如果拉面师傅将300g面团拉成细丝面条，

每次对折后去掉捏在手里的面团都是18g,第一次拉的长度是1m,共拉了7次，则最后每

根1m长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗细均匀，质量相等）是（）

gB.3g

C.1.5gD.3.5g

答案B

解析这团面共拉7次，其中对折了6次，最后所有细丝面条的总质量是300—6X18=192

g,拉了7次后，共有27一1=64根长度为1m的细丝面条，每根这样的面条质量为1贤92=3（g）.

OH-

二、多项选择题

12.已知S”为等差数列｛斯｝的前〃项和，且“2=20,57=98,则（）

A.0+。5=34

B.|闻<|。9|

C.S"WSg

D.满足S„<0的n的最小值为17

答案AD

7（1）

解析因为S7=----"5=7。4=98,所以。4=14,又。2=20,所以。|+。5=〃2+如=34,

A正确；设等差数列｛〃”｝的公差为d,由以一〃2=2d=-6,解得d=-3,所以斯=〃2+（〃

一2)义(-3)=26—3及，08=26-3X8=2,班=26—3*9=—1,所以|闻>|。9|,B错误；由d

=—3知数列｛〃〃｝为递减数列，又48=2>0,49=—1<0，所以S8为S”的最大值，C错误；因

、r16(〃]+〃16),17(41+。]7)"I、“I

为Si6=2=8(〃8+。9)=8>0,Sn=2=17X〃9=-17<0,所以满足

工<0的"的最小值为17,D正确.故选AD.

13.(2021•雅礼中学模拟)已知等比数列｛斯｝的首项4>1,公比为生前〃项和为S〃，前〃项

积为4,函数0)=x(x+m)(x+〃2)…(x+s),若，(0)=1,则()

A.｛1g斯｝为单调递增的等差数列

B.Q<q<\

cjs,一告|为单调递增的等比数列

D.使得7>1成立的n的最大值为6

答案BCD

解析令g(x)=(x+ai)(x+a2)…(x+s),则式x)=xg(x),(x)=g(x)+xg'(x),二/(0)

=g(O)=0a2…a7=1,因为｛“"｝是等比数列，所以…。7=加7=1,即。4=1=41由，,；的>1,

/.0<«7<1,B正确；•.'Iga”=lg(ai/「5=lgai+(〃-l)lgq,二｛1g斯｝是公差为lgq的递减等

差数列，人错误；：5"一告=告(1一/-1)=徵.4"7,二卜，，一尚是首项为念<0,

公比为q的递增等比数列，C正确；V«1>1,0<q<l,44=1,・・・〃<3时，小>1,时，

0<afl<\,.•."W4时，Tn>\,丁仆=。1。2…47=〃/=1,时，。尸乃恁出…=1,又

Ts=痣>1,76=7>1,所以使得7>1成立的"的最大值为6,D正确.故选BCD.

14.(2021•河北衡水中学二调)提丢斯・波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何

学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维・提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台

长波得归纳成一个经验公式，即数列｛斯｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6.......表示

的是太阳系第〃颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列｛如｝的各项乘

以10后再减4,得到数列｛勾｝,可以发现数列｛儿｝从第3项起，每项是前一项的2倍，则下

列说法正确的是()

A.数列｛为｝的通项公式为与=3X2"-2

B.数列｛斯｝的第2021项为0.3X22020+0.4

C.数列｛斯｝的前〃项和S„=0.4ra+0.3X2n-1-0.3

D.数列｛血｝的前n项和D=(3"T>2"-i

答案CD

解析数列｛斯｝各项乘以10再减4得到数列｛为)为0,3,6,12,24,48,96,192,

0,n=\,

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以为=°亡，厂2故A错误；从而

3X2,〃=2,

儿+4[04,n=l,

10所以。2021=0.3X2239+0.4,故B错误；当〃=1时,

一1O.3X2'L2+0.4,〃22,

ol,-2

Si=0=O.4；当〃》2时，5„=ai+fi2+-+an=O.4+O.3(2+2+-+2')+O.4(n-l)=O.4n

1—2〃1

+0.3X-]:=0.4〃+0.3X2〃-i-0.3.当〃=1时，Si=0.4也符合上式，所以S“=0.4〃+

1—2

[0,〃=1,

0.3X2"-i-0.3,故C正确；因为油“=、所以当〃=1时，刀=加=0,当

【3”X2"2,心2,

12n2

时，Tn=bi+2bi+3b3-\------Fn^,=0+3(2X20+3X2+4X2H------\-nX2~),则2T„=0+

3(2X2l+3X22+4X23+-+nX2,1~l),所以一口=0+3(2+21+22+“・+2”-2一〃义2厂|)=

(2—2"-|_\

3(2+-p三--"X2LiJ=3(l—〃)X2"一]，所以7；=3(〃-l)X2"r.又当〃=1时，心也满足上

式，所以£=3("—l)X2”r,故D正确.

三、填空题

15.(2021.雅礼中学一模)设正项等比数列｛斯｝的前〃项和为S”，若$2=3,54=15,则公比q

等于.

答案2

解析因为$2=3,54=15,54—52=12,

[ai+a—3,\a\(l+q)=3,

所以｛2即｛

[的+a4=12,[aiq2(1+q)=12,

两个方程左右两边分别相除，得d=4,因为数列｛斯｝是正项等比数列，所以g=2.

16.(2021・四省八校联考)已知等比数列｛”“｝的公比为q,前〃项和为S,=m一若〃5=一

8a2，则Ss=.

答案33

解析由的=-8。2得aq4=-8aq(aiW0),解得q=-2,则)=胃-黄=

m-q",则胃=加=1,从而S5=1一(—2》=33.

42020

17.(2021•漳州市第三次质检)已知数列｛斯｝满足斯+尸斯+%+2，“GN*,属0=5,则gs

分析根据知+1=%+如+2,可推出%+6=%，即数列｛“"｝的周期为7=6,再结合〃1+42

.4

+“3+04+45+46=0和,？产尸5求解.

答案5

解析因为%+1=即+期+2,

所以。"+2—4"+1

所以m+3=4"+2—=—期，

所以%+6=斯，

所以周期7=6,

而0+〃2+〃3+〃4+。5+。6=°，

又因为/Z=〃1i=5,

所以高0=336X0+,?产，=5.

评说求和问题从通项公式入手，具体数列具体分析，掌握常见的数列求和方法：①公式

法.②分组求和.③裂项相消.④错位相减.⑤倒序相加.⑥并项法.

18.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，

长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3

尺，莞草第1天长高1尺.以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2

倍，问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第天时，蒲

草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：1g3七0.4771,1g2

~0.3010).

答案3

解析由题意得，蒲草每天长高的长度组成首项为0=3,公比为3的等比数列｛斯｝,设其前

”项和为A“；莞草每天长高的长度组成首项为"=1,公比为2的等比数列｛儿｝,设其前〃

项和为B”.则A,,=----j—,令------「=『"，化简得2"+犷=7(〃6N*),解

112~1112—12

1-21-2

得2"=6,所以〃=翳=1+昌七3,即第3天时蒲草和莞草高度相同.

培优练：重点班选做

19.(2021.山东滨州二模)在公差为1的等差数列｛为｝中，己知b„=—±r,若对任意

斯十1

的正整数〃，儿W仇恒成立，则实数，的取值范围是()

A.f-y,-9)B.(-9,-8)

C.(-10,—y)D.(-10,-9)

答案D

n+1-1iI

解析由题意知斯=〃+1—1,所以b,尸―一~7~—=1——1,所以点(〃,力〃)在函数兀¥)=1-1

fiIiriii人Ii

的图象上，由儿W")知，加为数列｛/%｝的最大项，所以9＜一♦由,所以一9.故选D.

20.【多选题】数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋

线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,

连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为

1的正方形ABC。中，作它的内接正方形EFG”，且使得NB£F=15°；再作正方形EFG4

的内接正方形MNPQ,且使得NFMN=15°,类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分

的图案，如图所示.设第〃个正方形的边长为斜（其中第1个正方形ABC。的边长为

第2个正方形EFGH的边长为他=£凡…），第〃个直角三角形（阴影部分）的面积为S,（其中

第1个直角三角形4E”的面积为$,第2个直角三角形EQM的面积为S2,…），则（）

2

A.数列｛知｝是公比为前勺等比数列

B.5T

C.数列｛a｝是公比为3的等比数列

D.数列｛S,｝的前“项和刀,<1

答案BD

解析由图可知an=an+।cos15°+a„+isin150,解得多」=［一］.-=

ancos15十sin15

八.4。、=哗,则数列｛斯｝是首项为1,公比为半的等比数列，A错误；42=坐,

\2sin（45十15）JJJ

Sl="（©2—苏尸|一|）=*，B正确；5"=（（4"2一期+|2）=（斯2一（当/卜占“2,则

，，，-41-f-Yl

3三~=0低。=（牛）岩，所以数列｛SJ是公比为］的等比数列，C错误；Tn=----y—

1-3

12X11

<-----7=4.或由图可知，△AEH,ABFE,ACGF,△OHG的面积相等，△EMQ,丛FNM,

1-3

△GPN,△HQP的面积相等...所以〃=Si+S2+…+S”<^S正方彩ABCD=",D正确.故选

BD.

I备选题

I.（2021•洛阳第三次文科考试）已知S“是等差数列｛〃“｝的前”项和，59=126,。4+00=40,

则空答的最小值为（）

A.1275+1B.4小+1

C.19D.28

答案D

解析设等差数列｛飙｝的公差为d,♦.•59=126=9怒=。5=14,又•.,ot+aio=40,/.

a]+4d=14,f6ii=2,2&+603〃2+〃+60（,20A-

解得.・'S“=%2+%—n—=3（〃+刃+1.令危）

2〃i+12d=40,[d=3,n

=x+Y（x>0）,则大x）在（0,2小）上单调递减，在（2小，+8）上单调递增.•.•〃GN+,丸4）

=犬5）=9,当〃=4或n=5时，---有最小值28.故选D.

2.（2021•重庆南开中学模拟）已知数列｛为｝,｛6｝，｛或｝均为等差数列，若m+加+门=0,z

+岳+。2=1，则。〃+6〃+金=（）

A.n—1B."一2

C.n+1D.n

答案A

解析由题有数列｛斯+。”+。〃｝是以0为首项、1为公差的等差数列，故〃〃+b〃+c〃=0+（〃

-1）X1=〃-1.故选A.

3.（2021•益阳模拟考试）已知数列｛斯｝的前〃项和为孔,且斯+1=m+2〃一|,0=2,若S会

128,则〃的最小值为（）

A.5B.6

C.7D.8

答案C

解析方法一：由0=2及即+]=m+2〃-1可知42=3,。3=5,…，47=65,又57=41+。2

+…+s=134,S6=69,・・・S〃2128的〃的最小值为7.故选C.

方法二：由港=2及4+1=跖+2〃-1,通过累加法得诙=2〃r+l,・,.S〃=2〃+”一l,验证可

知〃=7符合要求.故选C.

4.【多选题】（2021•湖南省六校联考）已知数列｛斯｝满足见=1,02=3,3+2—斯=2,〃£N*,

则（）

A.（〃1+〃2）,（。3+〃4），（的+〃6），…为等差数列

B.（改一。1），（。4一。3），（〃6一〃5），…为常数列

C.。2〃-1=4〃-3

D.若数列｛儿｝满足儿=(T)"•为，贝!)数列｛儿｝的前100项和为100

答案ABD

解析方法一：采用不完全归纳可得，数列｛斯｝：1,3,3,5,5,7,7,9,9,•••,不难

求出A、B正确，而。2"-1=2〃-1,故C错误，对于D,数列｛儿｝的前100项和为-1+3—

3+5-5+7-7+9=2X50=100.故选ABD.

方法二：令"=2k—1,ZGN",有。2*-1=2,令n=2k,k6N,有。2«+2—。2£=2,故

｛比,一｝为以1为首项，2为公差的等差数列，｛42〃｝为以3为首项，2为公差的等差数列，则

。2"-1=2〃-1,“2"=2”+1,易得A、B、D正确.

5.(2021•西安五校联考)已知等比数列｛斯｝满足斯>0,n=\,2,…，且的•S,L5=22"(心3),

则当”24时，log2ai+log2a3T---blog2a2.-1=()

A.«(2n-l)B.(〃+l)2

C.n2D.(〃-1)2

答案C

解析因为数列｛斯｝是等比数列，且的Z2"-5=2叫〃23),所以根据等比数列的性质知，log20

n

+log2a3H---Hlog2a2"-1=Iog21(ai侬-|)(。3侬-3)…]=log2(22")2=层.故选C.

6.已知等差数列｛%｝的通项公式为a“=31一仇(tGZ),当且仅当〃=10时，数列｛小｝的前〃

项和S”最大，则当&=-10时，k=()

A.20B.21

C.22D.23

答案A

Qio>O,(410=31—10f>0,3

解析由题意知，、即-八解得鼎，因为rez,所以，=3,所以如

laji<0,^n=31-lh<0,1110

n(28+31-3/i)k(28+31-3攵)10,解得/舍去)

=31—3〃.易知Sn—»所以Sk—

22

或4=20.故选A.

7.