丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)

丰城九中初二年级数学期中考试A卷考试时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．2.已知函数，下列结论正确的是（）A.函数图象过点 B.函数图象与轴无交点C.当时，随的增大而减小 D.当时，随的增大而减小答案：D解析：解：A、当x=-1时，=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误；B、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故此选项错误；C、∵=（x﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；D、当x≤1,时，y随x的增大而减小，此选项正确，故选：D．3.若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B.且 C. D.且答案：A解析：解：由题意得，，解得：，故选：A．4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A.π B.π C.π D.π答案：B解析：解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的长为：π．故选：B．5.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（）A. B. C. D.答案：D解析：解：设有个队参赛，则．故选：D．6.如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.都不对答案：B解析：（1）∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF=90゜∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90゜∴AB=AC∴∠BAD+DAC=90゜∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中∴△BAD≌△CAF(SAS)∴BD=CF，∠DBA=∠FCA设BG与AC交于点M，则∠BMA=∠CMG∴∠FCA+∠CMG=∠DBA+∠BMA=90゜∴∠CGM=90゜∴BD⊥CF故①②均正确；如图，取BC的中点O，连接OG、OA∵BG⊥CF，AB⊥AC∴OG、OA分别是Rt△GBC、Rt△ABC斜边上的中线∴在Rt△ABC中，由勾股定理得∴则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点所以BG的长变化的，不可能是定值故③不正确故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.用因式分解法解关于的方程，将左边分解因式后有一个因式为，则的值为_______答案：1解析：方法一：由题意得，，，，解得，则；方法二：由题意得，是关于x的方程的一个解，则将代入得：，解得，故答案为：1．8.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是____________．答案：解析：解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，所以，解得．故答案为：．9.已知是关于的二次函数，那么的值为______．答案：解析分析本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案．解析：解：∵是关于的二次函数，∴且，解得．故答案为：．10.如图所示，P是正方形内一点，将绕点B按顺时针方向旋转能与重合，若，则__________答案：解析：解：∵四边形是正方形，∴．∵绕点B顺时针方向旋转能与重合，∴，∴，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，所以等于．故答案为：．11.如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．答案：解析：解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：．故答案为：12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____．答案：4≤t≤6解析：连接AP，由题意得，t要最大，就是点A到上的一点的距离最大在AD延长线上，的最大值是APAD+PD=5+1=6的最小值是APAD-PD=5-1=4

故t的取值范围为：4≤t≤6故答案为：4≤t≤6．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13.解方程．（1）（2）答案：（1），（2），小问1解析：解：，∴，∴或，∴，；小问2解析：解：，，，∴，∴，∴，14.当时，求二次函数的最大值．答案：2解析：解：∵对称轴为直线：x=-1，且开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵，∴当x=1时，二次函数的最大值为2．15.抛物线与轴交点为，与y轴交点为，求两点坐标及的面积．答案：A（3，0），B（0，27），40.5解析：解：令y=0，则解得：x=3，∴点A的坐标为（3，0），令x=0，则∴点B的坐标为（0，27），∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，27），∴OA=3，OB=27．∴=40.5．16.如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接，和．（1）求证：是半圆O的切线；（2）请直接写出图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）．答案：（1）证明见解析（2）小问1解析：解：过点O作OF⊥DE于F，如图所示：在中，，，CE=BC-BE=4-1=3，，在中，，，，中，，，，，三角形是直角三角形，且，，，，是圆的半径，且，是半圆O的切线．小问2解析：．17.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．答案：（1）见解析（2）；小问1解析：解：∵方程∴，∴方程有两个不相等的实数根；小问2解析：解：由两根关系得，∵，∴，即即解得：；四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中，若，作一个的角；（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．答案：（1）见解析（2）见解析小问1解析：解：在上找一点D，连接，如图，则是直径，∴，∵，∴，∴即为所求；小问2解析：解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点,根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；19.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长．答案：(1)见解析；（2）解析：（1）如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，

∵旋转

∴AC=BC，∠DBC=∠CAE

又∵∠ABC=45°，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

∴∠ACB=90°，

∵∠DBC+∠BMC=90°

∴∠AMN+∠CAE=90°

∴∠AND=90°

∴AE⊥BD，

（2）如图，连接DE，

∵旋转

∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°

∴DE==3，∠CDE=45°

∵∠ADC=45°

∴∠ADE=90°

∴EA==

∴BD=.20.李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？答案：（1）且x为整数．（2）李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．小问1解析：解：由题意得∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．小问2解析：解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则∵∴抛物线开口向下∵对称轴是直线∴当时，w的值随x值的增大而增大∵x为正整数，∴此时，当时，当时，w的值随x值的增大而减小∵x为正整数，∴此时，当时，∵∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；（2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长．答案：（1）见解析；（2）解析：解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=22.小明探究函数的图象和性质的过程如下，请按要求回答问题：（1）列表：01234003003表格中，，．（2）在如图所示的坐标系中进行描点，并画出函数M的图象．（3）观察图象并解答：①当时，y有最小值；②求函数与直线的交点坐标．答案：（1）3；（2）见解析（3）①；②交点坐标为，，．小问1解析：解：当时，，当时，，故答案：3；；小问2解析：解：如图所示：；小问3解析：解：①由图象可知，当时，函数有最小值为；故答案为：；②，当时，联立方程组解得或，此时与的交点坐标为和；当时，，解得或（舍去），综上，与直线的交点坐标为，，．六、（本题12分）23.如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标