正弦定理试题及答案(必修5)

课堂稳固训练一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，那么30°角所对的边长为〔〕A.2B.3C.2D.3［答案］C［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，=,∴x=2,应选C.2.△ABC中，a=1,b=,∠A=30°,那么∠B=〔〕A.B.C.或πD.π或［答案］C［解析］由＝,得sinB=,∴sinB==,∴B=或π.3.△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于〔〕A.3：2：1B.：2：1C.：：1D.2：：1［答案］D∴A=90°,B=60°,C=30°∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：=2：：1.二、填空题4.在△ABC中，假设b=1,c=,∠C=,那么a=.［答案］1由正弦定理，得=,∴sinB=.∵∠C为钝角∴∠B必为锐角，∴∠B=,∴∠A=,∴a=b=1.5.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，假设∠A=105°，∠B=45°，b=2，那么c=.［答案］2［解析］由，得∠C=180°-105°-45°=30°，∵=∴c====2.三、解答题6.在△ABC中，A=45°，B=30°，c=10，求b.［解析］∵A+B+C=180°,∴C=105°.∵=,∴b==,又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝×+×=,∴b=5().课后强化作业一、选择题1.在△ABC中，以下关系中一定成立的是〔〕A.a>bsinAB.a=bsinAC.a<bsinAD.a≥bsinA［答案］D［解析］由正弦定理，得＝,∴a=,在△ABC中，0<sinB≤1,故≥1,∴a≥bsinA.2.在△ABC中，〔b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,那么sinA；sinB；sinC等于〔〕A.6：5：4B.7：5：3C.3：5：7D.4：5：6［答案］B［解析］设b+c=4x,c+a=5x,a+b=6x(x>0),从而解出a=x,b=x,c=x.∴a：b：c=7：5：3.∴sinA：sinB：sinC=7：5：3.3.锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，那么角C的大小为〔〕A.75°B.60°C.45°D.30°［答案］B［解析］由题意，得×4×3sinC＝3,∴sinC=,又0°<C<90°，∴C=60°.4.不解三角形，以下判断中不正确的选项是()A.a=7,b=14,A=30°,有两解B.a=30,b=25,A=150°,有一解C.a=6,b=9,A=45°,无解D.b=9,c=10,B=60°,有两解［答案］A［解析］对于A，由于a=bsinA,故应有一解；对于B，a>b,A=150°,故应有一解；对于C,a<bsinA,故无解；对于D，csinB<b<c,故有两解.5.△ABC中，a=2,b=，B=，那么A等于〔〕A.B.C.或D.或［答案］C［解析］∵=,∴sinA=,∴A=或A=,又∵a＞b,∴A＞B,∴A=或,∴选C.6.(2012·潍坊高二期末)在ΔABC中，a=15，b=10，A=60°，那么cosB=〔〕A.-B.C.-D.［答案］D［解析］由正弦定理，得=∴sinB===.∵a>b,A=60°,∴B为锐角.∴cosB===.7.在△ABC中，a=10,B=60°,C=45°,那么c等于()A.10+B.10〔-1〕C.10〔+1〕D.10［答案］B［解析］由得A=75°,sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,c===10(-1).8.△ABC中，a=x，b=2，∠B=45°，假设三角形有两解，那么x的取值范围是〔〕A.x>2B.x<2C.2<x<2D.2<x<2［答案］C二、填空题9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝,a=,b=1,那么c=.［答案］2［解析由正弦定理得sinB=·sinA=×=,又∵b=1<a=,∴B<A=,而0<B<π,∴B=,C=,由勾股定理得c===2.10.在△ABC中，A=60°,C=45°,b=2.那么此三角形的最小边长为.［答案］2-2［解析］∵A=60°，C=45°，∴B=75°,∴最小边为c,由正弦定理，得＝,∴=],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=×+×＝,∴c=＝＝2-2.11.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.假设a=b,A=2B,那么cosB=.［答案］［解析］由正弦定理，得=,∴a=b可转化为=.又∵A=2B，∴=,∴cosB=.12.在△ABC中，tanB=,cosC=,AC=3,求△ABC的面积.［答案］6+8［解析］设在△ABC中AB、BC、CA的边长分别为c、a、b.由tanB=,得B＝60°，∴sinB=，cosB=.又cosC=,∴sinC=＝.由正弦定理，得c===8.又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+,∴S△ABC=bcsinA=×3×8×(+)=6+8.三、解答题13.在△ABC中，a=,b=,B=45°，求A、C及边c.［解析］由正弦定理得，sinA==＝=，∵a＞b,∴A＞B=45∴A为锐角或钝角〔或asinB＜b＜a〕，∴A=60°或A=120°当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°，sin75°=sin(45°+30°)=×+×=,c====，当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°，sin15°=sin(45°-30°)=,c=＝==∴A=60°,C=75°,c＝，或A=120°，C=15°，c=.14.在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，假设a=2,C=,cos=，求△ABC的面积.［解析］由题意知cos=,那么cosB=2cos2-1=，∴B为锐角,∴sinB=,sinA=sin(π-B-C)=sin(π-B)=由正弦定理，得c＝==.∴S△ABC=acsinB=×2××=.15.方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为a、b的对角，试判断△ABC的形状.［解析］设方程的两根为x1、x2,由韦达定理得x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,由题意得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0.即sin〔A-B〕=0.在△ABC中，∵A、B为其内角，∴0＜A＜π,0＜B＜π,-π＜A-B＜π.∴A-B=0，即A=B.∴△ABC为等腰三角形.16.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边为a、b、c.且b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为.〔1〕判断三角形的形状；〔2〕求△ABC的面积.［解析］〔1〕因为b=acosC,所以由正弦定理得：sinB=sin