统考版2024高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领引领二信息迁移探究运用理

引领二信息迁移探究运用探究一定义新概念例1[2024·湖南长沙长郡中学高三模拟]对于函数y＝f(x)，其定义域为D，假如存在区间[m，n]⊆D，同时满意下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调函数；②当f(x)的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f(x)的“K区间”．若函数f(x)＝-x－aA．13，C．34，[听课记录]名师点题本题考查了新定义的函数，还考查了运算求解的实力，题目新奇 ，解题时应深刻理解新定义的概念，从而解答问题．对点训练1.[2024·山西运城模拟]已知a<b，函数f(x)的定义域为I，若存在[a，b]⊆I，使得f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，我们就说f(x)是“类方函数”．下列四个函数中是“类方函数”的是()①f(x)＝－2x＋1；②f(x)＝x2；③f(x)＝x-④f(x)＝12A．①②B．②④C．②③D．③④探究二设置新运算例2[2024·湖南岳阳一中一模]定义集合A，B的一种运算：A⊗B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，则A⊗B中的元素个数为()A．1B．2C．3D．4名师点题本题考查了新定义的集合的运算，解题时应深刻理解新运算的概念，从而解答问题．对点训练2.[2024·湖南雅礼中学一模]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30探究三创设新题型角度1材料型例3据《北京日报》报道，北京9月启动学生体质健康调查，全市约2.5万名学生参与“体检”．北京市一般大、中、小学校的6至22岁京籍、汉族学生均为此次调查对象．全市按城、乡、男、女分为四类，每岁一组．各高校19至22岁学生每校每类每个年龄组样本容量均为102.每所高校应上报有效卡片________张．若其中石景山区和门头沟区减半，则这两个区的每所高校应上报有效卡片________张．名师点题对于日常在网络、电视或杂志中遇到的关于数据的报道，利用所学统计学问对数据进行分析，并得出相应的结论，是数学在日常生活中的重要应用．本题以学生体质健康调查为背景，考查考生的阅读理解实力和对给出的数据进行统计分析的实力，渗透了数据分析、数学建模等核心素养．对点训练3.[2024·安徽省合肥市高三质检]扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为2πA．15B．233C．102D．12角度2开放型例4[2024·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．名师点题逐一以其中的两个论断为条件，看能否推出正确结论．对点训练4.[2024·全国乙卷]以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可)．角度3探究型例5[2024·长沙市明德中学模拟预料]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1A＝B1C，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，D为AC中点，tan∠BB1D＝512(1)求证：BC⊥B1D；(2)线段B1C1上是否存在一点E，使得AE与平面BCC1B1的夹角的正弦值为1274185？若存在，求出名师点题求解探究型问题的基本方法通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际状况相冲突的结论，则说明假设不成立，即不存在．提示对于立体几何中的探究性问题可利用空间向量的坐标运算转化为方程是否有解的问题处理．对点训练5.[2024·黑龙江哈九中二模]在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点F，且椭圆Γ过点(0，5)、2，53，过点F(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)设直线AP、BQ的斜率分別为k1、k2，是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0？若存在，恳求出λ的值；若不存在，请说明理由．角度4结构不良型例6[2024·甘肃平凉二模]在①a1＝1，nan＋1＝n+1an，②问题：在数列{an}中，已知________________．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝2an-13an，求数列{b注：假如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．名师点题对于结构不良问题，只需从给出的条件中选择一个进行求解即可，一般来说，给出的选择难度都是相同的，都包括逻辑推理与计算两个方面，所以不要过多地考虑条件之间的差异性．解题时将选出的条件融合到已知条件中，然后处理相关的问题即可．其基本步骤如下：①定条件：即从给出的条件中选取一个相对熟识的条件，如三角形中的边角关系，数列中项之间的关系，立体几何中的线面关系等．②构模型：把选取的条件融合到已知条件中，然后构建解决问题的模型．③解模型：即求解所构建的模型，如求解相关的量等．对点训练6.[2024·山东淄博一模]从①2a-3c3b＝cosCcosB，②sinA-3sinCsinB+sinC＝b记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若________，求角B的大小．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．探究四题设新情境角度1与社会热点的结合例72024年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划状况，每个村至少去1人，则不同的选派方法有()A．25种B．60种C．90种D．150种名师点题本题以2024年脱贫攻坚收官为背景，考查了计数原理与古典概型的概率，体现了统计原理、统计方法在数学教学中的重要地位，突出了对数学基础学问、基本技能、基本思想、基本活动阅历的考查．对点训练7.[2024·石家庄10月质检]北京冬奥会于2024年2月4日到2024年2月20日在北京和张家口实行．申奥胜利后，中国邮政接连发行多款邮票，图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会祥瑞物“冰墩墩”、冬残奥会祥瑞物“雪容融”、多种冰雪运动等．现从2枚会徽邮票、2枚祥瑞物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚祥瑞物邮票的概率为()A．310B．C．35D．角度2与科技前沿的结合例8[2024·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，接着进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为探讨嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1＝1＋1α1，b2＝1＋1α1+1α2，b3＝1＋1A．b1<b5B．b3<b8C．b6<b2D．b4<b7[听课记录]名师点题本题以嫦娥二号卫星在完成探月任务后接着进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为背景，考查学生综合应用数列、函数、不等式等基础学问视察问题、分析问题和解决问题的实力．对点训练8.5G时代已经到来，5G的发展将干脆带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生干脆贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创建出更多的经济价值．如图所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G干脆经济产出做出的预料．由上图供应的信息可知下列说法不正确的是()A．运营商的5G干脆经济产出逐年增加B．设备制造商的5G干脆经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的5G干脆经济产出中始终处于领先地位D．信息服务商与运营商的5G干脆经济产出的差距有逐步拉大的趋势角度3与生产生活的结合例9[2024·全国甲卷]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类学问．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类学问问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差名师点题本题以垃圾分类为背景，考查了统计图表的应用，考查了数据分析的核心素养．对点训练9.[2024·长沙长郡中学模拟]习近平总书记深刻指出，提倡环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化．为使排放的废气中含有的污染物量削减，某化工企业探究改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为2mg/cm3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为1.94mg/cm3.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为r0(单位：mg/cm3)，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为r1(单位：mg/cm3)，则第n次改良后所排放的废气中的污染物量rn(单位：mg/cm3)满意函数模型rn＝r0－(r0－r1)×50.5n＋p(p∈R，n∈N*)．(1)试求rn的函数模型；(2)依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过0.08mg/cm3.试问：至少进行多少次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标？(参考数据：lg2≈0.3)角度4与其他学科的融合例10[2024·全国甲卷]甲、乙两个学校进行体育竞赛，竞赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目竞赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的竞赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．名师点题本题以学校体育竞赛为背景，考查了概率的基础学问和求离散型随机变量的分布列与期望的方法，体现了对高考数学的应用性、创新性的考查要求．对点训练10.(与物理学科的融合)汽车智能帮助驾驶自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就起先报警提示，等于紧急距离时就自动刹车，某种算法(如图所示)将报警时间(单位：秒)划分为4段，分别为打算时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离(单位：米)分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到表中所给的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面状况而变更，k∈[0.5，0.9])．阶段打算人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8t2＝0.2t3距离d0＝20d1d2d3＝v若要求汽车不论在何种路面状况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度不应超过()A．65千米/时B．72千米/时C．81千米/时D．90千米/时引领二信息迁移探究运用探究一[例1]解析：f(x)为减函数，所以-m两式相减化简得-m+-n＝1.代入问题转化为函数y＝a与函数y＝x2－x＋1(x≥0)有两个交点，结合图象可知a∈34答案：C对点训练1．解析：①中，假设f(x)＝－2x＋1是“类方函数”，因为f(x)＝－2x＋1单调递减，所以fa=bfb=a，即-②中，假设f(x)＝x2是“类方函数”，因为f(x)≥0，所以[a，b]⊆[0，＋∞)，所以a≥0，所以f(x)＝x2在[a，b]上单调递增，所以fa=afb=b，即a2=ab2③中，假设f(x)＝x-2＋2是“类方函数”，易知f(x)＝x-2＋2在[2，＋∞)上单调递增，且f(x)≥2，所以a≥2，且fa=a，fb=b，④中，假设f(x)＝12x是“类方函数”，易知f(x)＝12x在R上单调递减，且f(x)>0，所以a>0，且f(a)=b，f(b)=a，所以12a=b12b=a答案：C探究二[例2]解析：因为A⊗B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，A＝{－1，0}，B＝{1，2}，所以A⊗B＝{0，－1，－2}，故集合A⊗B中的元素个数为3，故选C.答案：C对点训练2．解析：因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆中的整点，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)：即图中正方形ABCD中的整点，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45个．答案：C探究三角度1[例3]解析：依据题意，各高校19至22岁学生需分成4个年龄组，每个年龄组需分城、乡、男、女四类，每校每类每个年龄组样本容量均为102.所以每所高校应上报有效卡片102×4×4＝1632(张)，石景山区与门头沟区的每所高校应上报有效卡片16322答案：1632816对点训练3．解析：设一个圆锥的侧面绽开图是半径为27，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r，所以，2πr＝2π3×27，可得r＝9，因此，该圆锥的高为h＝故侧面绽开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形的圆锥的高为1227h＝49×18因此，若某几何体的侧面绽开图恰好与图中扇面形态、大小一样，则该几何体的高为182－82＝102.故选C.答案：C角度2[例4]解析：(1)由题意可得ba=所以C的方程为x2－y2(2)当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得方程组y=kx+b消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.则x1＋x2＝2kb3-k2，x1x2＝b2+3k2-3，因为x1>x2>0，所以x1x2＝b2+3k2所以x1－x2＝23设点M的坐标为(xM，yM)，则yM－y2＝3(xM－x2)，yM－y1＝－3(xM－x1)，两式相减，得y1－y2＝23xM－3(x1＋x2)．因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，所以23xM＝k(x1－x2)＋3(x1＋x2)，解得xM＝kb两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝3(x1－x2)．因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，所以2yM＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2b，解得yM＝3b2+3-k所以点M的轨迹为直线y＝3kx，其中k为直线PQ选择①②.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则yA=kxA-2，yA=3同理可得xB＝2kk+3，yB＝－此时xA＋xB＝4k2k2-3，yA因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝3kx所以y解得xM＝2k2k2-3＝xA+所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝3kx上，与题设冲突，故直线AB当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则y解得xA＝2mm-3，yA同理可得xB＝2mm+3，yB＝－此时xM＝xA+xB2＝2m2m2-3，yM＝yA+yB2＝6mm2-3.由于点M同时在直线选择②③.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则yA=kxA-2，yA=3同理可得xB＝2kk+3，yB＝－设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝xA+xB2＝2k2k因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－1k(x－xC将该直线方程与y＝3kx联立，解得xM＝2k2k2-3＝xC，yM＝6kk2-3＝对点训练4．解析：依据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．答案：③④(答案不唯一，②⑤也可)角度3[例5]解析：(1)证明：因为B1A＝B1C，且D为AC中点，所以B1D⊥AC.又因为tan∠BB1D＝512，所以cos∠BB1D＝12由余弦定理，cos∠BB1D＝132+B1D2-因为BD2＋B1D2＝BB12，由勾股定理知，BD⊥B1又因为BD∩AC＝D，所以B1D⊥平面ABC因为BC⊂平面ABC，所以BC⊥B1D.(2)过点D作Dx⊥AC，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A(0，－5，0)，B245，75，0BC＝B1C1＝-245，185，0⇒C1-245，18解得AE＝-24设平面BCC1B1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·BC=0令y＝1，解得平面BCC1B1的一个法向量为m＝34设AE与平面BCC1B1的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈AE，m〉|＝1274解得λ＝13或λ＝－4综上，E为线段B1C1上靠近B1的三等分点．对点训练5．解析：(1)因为椭圆Γ过点(0，5)、2，53，则有b=54(2)设存在常数λ，使得k1＋λk2＝0.由题意可设直线l的方程为x＝my＋2，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x=my+2，x29+y25=1，得(5m2＋9)y2＋20my－25＝0，Δ＝900(m2＋1)>0，且y1＋y2＝－20m5m2+9，y1y即y22x22-9所以－λ＝-9y1即－λ＝-－λ＝-＝-9-255m2+95×2255m2角度4[例6]解析：(1)选择①.因为nan＋1＝(n＋1)an，所以an+1n+1＝an又a11＝1，所以ann＝1，故a选择②.因为2a1+2所以当n＝1时，2a1＝22－2＝2，解得a1＝1，当n≥2时，故n≥2时，由(ⅰ)－(ⅱ)可得，2an＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.又a1＝1，所以an(2)由(1)可知，bn＝2n-13n，则Sn＝13两式相减得23Sn＝13+232+233＋…＋2对点训练6．解析：若选①：2a-3c3b＝cosCcosB，2sinA-3sinC3sinB＝cosCcoscosB＝32，B＝π若选②：sinA-3sinCsinB+sinC＝b-ca，a-3ccosB＝32，B＝π若选③：asinBsinC－bcosAcosC＝32b，sinAsinBsinC－sinBcosAcosC＝32sin－cos(A＋C)＝cosB＝32，B＝π探究四角度1[例7]解析：方法一(分组支配)把5名工作人员分成3组，有两类分法：①分成2个1人组，1个3人组，则不同的分法有C51C所以共有10＋15＝25(种)分组方法，故不同的选派方法有25A3方法二(解除法)因为5个工作人员仅去一个村的选派方法有C35个工作人员仅去两个村的选派方法有25所以5个工作人员去三个村的选派方法有35－90－3＝150(种).故选D.答案：D对点训练7．解析：方法一(组合数法)从5枚邮票中任取3枚的基本领件总数为C53枚中恰有1枚祥瑞物邮票的基本领件数为C2所以恰有1枚祥瑞物邮票的概率为P＝610＝3方法二(枚举法)记5枚邮票中祥瑞物邮票为x，y，其余三枚为a，b，c，则从5枚邮票中任取3枚的基本领件为abc，abx，aby，bcx，bcy，acx，acy，axy，bxy，cxy，共10个．3枚中恰有1枚祥瑞物邮票的基本领件为abx，aby，bcx，bcy，acx，acy，共6个．所以恰有1枚祥瑞物邮票的概率为P＝610＝3答案：C角度2[例8]解析：方法一因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk≤1，所以α1<α1＋1α2+1α3+1α4+1α5，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋1α4+1α5+1α6+1α7+1α8.设1α4+1α5+1α6+1α7+1α8＝t1，所以α2＋1α3>α2＋1α3+t1，则α1＋1α2+1α3<α1＋1α2+1α3+t1，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α方法二此题可赋特别值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节约时间．由αk∈N*，可令αk＝1，则b1＝2，b2＝32，b3＝53，b4＝85.分子、分母分别构成斐波那契数列，可得b5＝138，b6＝2113，b7＝3421答案：D对点训练8．解析：依据已知统计图，视察白色矩形，可得运营商的5G干脆经济产出逐年增加，A正确．视察黑色矩形和灰色矩形，可得设备制造商的5G干脆经济产出前期增长较快，后期放缓，到2029年被信息服务商超过，B正确，C错误．视察灰色矩形和白色矩形，可得信息服务商与运营商的5G干脆经济产出的差距有逐步拉大的趋势，D正确．答案：C角度3[例9]解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%+75%2＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s后2＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510000，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为