新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业32直线与直线垂直新人教A版必修第二册

课时分层作业(三十二)直线与直线垂直一、选择题1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱全部的棱中，和AC垂直且异面的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．33．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A．30° B．45°C．60° D．90°4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝2，则异面直线A．30°B．45°C．60°D．90°5．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为90°二、填空题6．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________.8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．三、解答题9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.10．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°12．(多选)一个正方体纸盒绽开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是()A．AB⊥EFB．AB与CM所成的角为60°C．EF与MN是异面直线D．MN∥CD13．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小是________．14．如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，求EG的长．15．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1．若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题．(1)求三棱锥A1-APB的体积；(2)在线段AP上是否存在一点M(M点异于A，P两点)，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25？若存在，请指出点M的位课时分层作业(三十二)直线与直线垂直1．B[和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.]2．A[①不正确，有可能平行；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交也可能异面．]3．C[连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]4．C[连接A1C1(图略)，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝A1所以∠A1AC1＝60°，故选C.]5．CD[由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选CD.]6．60°[依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.]7．5[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝48．90°[如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝9．解：(1)如图，连接AC，AB1．由几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.故A1C1与B1C所成的角为60°.(2)证明：如图，连接BD.易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.10．B[将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.]11．D[如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线冲突，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]12．AC[把正方体的平面绽开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．]13．15°或75°[取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝12AB，FG∥CD，且FG＝12CD，由AB＝CD知易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.]14．解：因为E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF＝12AC，同理GH为△ACD故GH∥AC且GH＝12AC，所以EF綉GH所以四边形EFGH是平行四边形且EF＝12AC同理FG∥BD且FG＝12BD因为AC与BD所成角为60°，所以∠EFG＝60°或120°，当∠EFG＝60°时，EG＝1．当∠EFG＝120°时，EG＝3.15．解：(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3．由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝23，∴S△PAB＝∴V三棱锥A1-APB＝13S△PAB·AA