理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案2

第一章思考题解答

1.1答：平均速度是运动质点在某•时间间隔/f/+△/内位矢大小和方向改变的平均快慢

速度，其方向沿位移的方向即沿&对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或

某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在Affo

的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

1.2答：质点运动时，径向速度V，和横向速度V。的大小、方向都改变，而明中的尸只反映

了V,本身大小的改变，4中的「占+「@只是本身大小的改变。事实上，横向速度方

向的改变会引起径向速度V,.大小大改变，一厂）就是反映这种改变的加速度分量；经向速

度V,的方向改变也引起V。的大小改变，另一个即为反映这种改变的加速度分量，故

%=尸_,%=e+2r6,。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能

完整地描述质点的运动变化情况

1.3答：内禀方程中，。n是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切

面内，速度V总是沿轨迹的切线方向，而a“垂直于v指向曲线凹陷一方，故明总是沿助法

线方向。质点沿空间曲线运动时，%=0,乙wOz何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受

作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力居+此=0，

故即=0符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围

其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若

耳，与此大小不等，勺就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，

质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来/所在的方位，又有了新的副法

线，在新的副法线上仍满足耳,+凡=0即即=0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，

也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

1.4答：质点在直线运动中只有勺而无明,质点的匀速曲线运动中只有%而无％;质点作

变速运动时即有火又有凡。

1.5答：立即反应位矢।■大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，

dt

而它只表示「大小的改变。如在极坐标系中，包=卉+「@而如=户。在直线运动中，规

dtdtdt

定了直线的正方向后，—=—o且包的正负可表示如的指向，二者都可表示质点的运

dtdtdtdt

动速度；在曲线运动中立力如，且@1也表示不了包的指向，二者完全不同。

dtdtdtdt

史表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而立只是质点运动速度大小

dtdt

的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运

动中，二者不同，变.=%+。而史=（。

dtT"dt「

1.6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6

题1-6图

图所示，故人以速度v向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投

出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。

1.7答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a的匀速水平直

线运动的合成运动如题1.7图所示，

题1-7图

2

o'x'y'是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a'=-a，其相对运动方程I"=2at消

yr=vt

去/的轨迹

y，2工

a

如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线

凹向的内侧，a'垂直于V'方向的分量a；在改变着V'的方向，该轨迹上凹。

1.8答：设人发觉干落水时一，船已上行上行时船的绝对速度匕卅-V水，则

)x2

船反向追赶竿的速度V蜡+V水，设从反船到追上竿共用时间/，则

(丫船+丫水)/=600+5’

又竿与水同速，则

V水(2+f)=600

①+③=②得

L9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的

方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力

与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。

1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。

在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻

既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升

过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。

在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以

后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻

的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不

一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。

1.11答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度

差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论

假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初

末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形

状有关。

1.12答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动

方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能

定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出a„，有牛顿运动方程Fn+R„=ma„

便可求出R“，即为约束力

1.13答：动量

p=mv=1•个3。+2?+百=4（*"吆）

动能

T--mv2=—xlx^32+22V3'j=8（N-m）

1.14答：

jk

J=rxmV=123=（2V3-6）+（9-V3）j+（2-6>

326

故

Jo=7（2^3-6）2+^-A/3）2+（-4）2«8.67（口用

小一代不

1.15答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意

味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为

零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。

1.16答：若尸=尸(厂),在球坐标系中有

er，%

□匚3ddSF(r)ar(r)

▽xF=———=——e-----e=n0

dr60d(pd(pn60ia

F(r)00

由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中

仍有VxF=0的关系。在直角坐标系中

f=x\+yj+zk,F(r)=Fx(r)+Fy(z)j+Fz(r>

故

i

Ak

VF

X=—=VX.（r）"+）'j+水=VXVXF（r）-=VxFl

axdzrr

IF;(r

r

事实上据算符的性质，上述证明完全可以简写为

VxF=VxF（r）r=0

这表明有心力场是无旋场记保守立场

1.17答平方反比力场中系统的势能丫（r）=_£竺，其势能曲线如题图1.17图所示,

由T+y（r）=E知T=E-丫6）,因T>0,故有芯>V（r）。

若£<0，其势能曲线对应于近日点r.和远日点r之间的一段。近日点处

E-vG）-T即为进入轨道需要的初动能若£〉0则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的

运动；若七=（）位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有

近日点，即对大的r质点的运动是无界的，当r很大时0,还是选无限远为零势点

的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要

大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小

由

得

,k2

vJ>—j

r

k2

<一

即速度V的大小就决定了轨道的形状，图中（,乙，73对应于进入轨道时的达到第一二三宇

宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故「有一极小值此，既相互作用的二质点不可

能无限接近，对于人造卫星的发射R,其为地球半径。"=E-丫（厂）为地面上发射时所需的

初动能，图示心1,42,八3分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动

能。一q）i=1,2,3.为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。

1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于

赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的

惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越

高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。

1.19答：对库仑引力场有,机产_4=旦其中/=召若丫2）生，则，E〉0,轨道是双

2r4fr

曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷

方位内侧；若丫24竺，则EK。，轨道椭圆仿⑹或抛物线仿=0）,卢瑟福公式不适用，

r

仿照课本上的推证方法，在入射速度匕〉竺的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正,

r

负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。

第一章习题解答

1.1由题可知示意图如题1.1.1图:

题1.1.1图

设开始计时的时刻速度为七,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为

则有:

12

§=匕）4一]。々

2s=+?2）_]。（，1+，2）2

由以上两式得

S1

vo=1。+323

再由此式得

Q_2S(，2T])

斗2(6十，2)

证明完毕.

1.2解由题可知，以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.

-------A<>-►--0-----------------►

题1.2.1图

设A船经过"小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过(%+lg)小时经过灯塔

任意时刻4船的坐标

8船坐标XB=0，

)'B=—[15,O+1；-15/

则A8船间距离的平方

22

d=(xA-xB)+(力

即

L/、-12

22

d=(15r0-15f)+15,+1；)-15f

=450f2-(9OOro+675>+225点+225bo+11]

/对时间,求导

誓900,-（900%+675）

AB船相距最近，即鱼!）=0,所以

dt

3,

-o=7

即午后45分钟时两船相距最近最近距离

M4『+(】5x：15x|jkm

§min

1.3解⑴如题1.3.2图

由题分析可知，点c的坐标为

.¥=厂COS°+QCOS〃

y=asinI//

又由于在AAOB中，有」—=用_（正弦定理）所以

sin〃sincp

.2asin”2y

sin(p-------—=

rr

联立以上各式运用

.221

sin(p+cos(p=I

由此可得

x-acosw_xJa2—o2

rr

得

22,22c2

4Ayx+a-y—2xyja-y

--Z--1-------------------------

得

3y2+x2+a2-r2=2x-^a2-y2

化简整理可得

2222222

4x(«-/)=(x+3y+«-r)

此即为C点的轨道方程.

(2)要求c点的速度，分别求导

..ra)cos(p.

x=-rcosincp--------sin'

2cos少

._rcocos(/)

y=^~

其中

(o-<p

又因为

rsin(p=2。sin"

对两边分别求导

故有

.rcocoscp

所以

/、2

.rcoCOS69.

-rcosincp---------siny/

(2cos犷)4

-———Jcos20+4sin°cos夕sin(0+“)

2cos沙

1.4解如题1.4.1图所示,

L

AxAx_______B

o

第1.4题图

OL绕O点以匀角速度转动，c在43上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分

量

22

v±=<yxOC=84d+x

C点速度

vi,2/）d~+x~

v=—―=v.asec6,=tat/sec0=co---------

cos。d

又因为g=o所以C点加速度

a=-=ftx/-2sec•sec-tan-<9=2d①2sec2。tan6=/+，）

dtd2

1.5解由题可知，变加速度表示为

a-cI-sin——

I2T）

由加速度的微分形式我们可知

dv

a--

dt

对等式两边同时积分

可得：

V=C7+VCCOSF+D（D为常数）

代入初始条件：/=0时，丫=0，故

D=-三c

又因为

ds

v=一

dt

所以

对等式两边同时积分，可得:

1.6解由题可知质点的位矢速度

Vf/=々①

沿垂直于位矢速度

又因为=f=Ar9即

r=2r

v±=Ox-jU0即0=

r

T小，•)+*(取位矢方向八垂直位矢方向j)

所以

ddr..dz....6.

——(n)=——1+r——=ri+rd/

出、/出出

—(r=—0j+rj+rd—=r(^+r(^-r^2z

dtv7dtdtdt

故

a=（r-rO2\+（rO+2为）j

即沿位矢方向加速度

a-（r—r^2）

垂直位矢方向加速度

={rO+2r0]

对③求导

r=Ar=A2r

对④求导

d=一45+幺8=〃6（幺+/11

rryr）

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

1.7解由题可知

,x=rcos。①一②

y=rsin6

对①求导

x=rcos-rsin00③

对③求导

x=rcos0-2r0s\nO-rOsinO-rO2cos。④

对②求导

y=户sin。+r6cos。⑤

对⑤求导

y=rsin0+2r0cos0-\-r6cos0-r02sind®

对于加速度〃，我们有如下关系见题L7.1图

题1.7.1图

即

x=arcos0+aosin^⑦—⑧

y=arsin0+aocos。

对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦XCOS。，⑧xsin。

即得

Heos。=arcos0-aosincos⑨—⑩

ysin^=arsin8+%sincos

⑨+⑩得

ar=xcos^+ysin^（”）

把④⑥代入（ID得

2

ar-r-rd

同理可得

a0=r。+2亍。

1.8解以焦点歹为坐标原点，运动如题L8.1图所示］

则〃点坐标

x=rcosO

V

y=rsin0

对羽y两式分别求导

x=rcosO-rOsind

y=rsin+rOcosO

故

v2=x2+y2=(rcos^-r^sin^)"+(户sin。+rJcos'}=r2+r2a>2

如图所示的椭圆的极坐标表示法为

1+ecos。

对r求导可得（利用又因为

11ecos®

所以

故有

222

,'vsin^+r6;

a2(l-e2)2

/(』2)2[1_/(l—e2)2+：22〃(le2)+广。

V=£Jr（2a一厂）

（其中/=（1一为椭圆的半短轴）

1.9证质点作平面运动，设速度表达式为

V=Vxi+VyJ

令为位矢与轴正向的夹角，所以

dvdv.didvdj

=——=-r-i+V——+--J+V—=

dtdtdrtdtvdt

所以

dv-dvdvdv、

=v^-vv8+v^v+vv6=v"+v-

*dtxyydtxyxdtydt

又因为速率保持为常数，即

丫21+铲＞=。,0为常数

对等式两边求导

dvdv

2v,--+2v----v-=0

*dtyvdt

所以

a-v=0

即速度矢量与加速度矢量正交.

1.10解由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示,

题1.10』图

则质点切向加速度

dv

a.=—

1dt

2

法向加速度a=上，而且有关系式

"P

虫=-2k《①

dtp

又因为

②

P(i+y咋

y2=2px

所以

③

y

-2

y“=_4④

y

联立①②③④

p-

—=-2kv2—tL⑤

dtz

(周

又

dvdvdy.dv

--=---.--=y---

dtdydtdy

把y2=2pX两边对时间求导得

P

又因为

v2=x2+y2

所以

,2_V2

一科⑥

1+4

P-

把⑥代入⑤

2

(2dy(2

1+411+勺

IpJIy)

既可化为

dvdy

=2kp

vy-+p-

对等式两边积分

所以

v=ue-u

1.11解由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示

v

题I」1.1图

a=——=asina

nr

.dv

a,=——=acosa

Idt

两式相比得

2

v--1------d-v-----------

rsincrcosadt

即

1.dv

-cotcult=—

rv

对等式两边分别积分

f1.rdv

—coladt--

rI,,v2

即

11t

—=-------cota

u%「

此即质点的速度随时间而变化的规律.

1.12证由题L11可知质点运动有关系式

v

—=Sin6Z

r①②

dv

—=acosa

[dt

所以处=也.".=如①,联立①②，有

dtdedtde

dvv2

——CD=---------coscr

dOrsina

又因为

v=cor

所以女…瓯对等式两边分别积分，利用初始条件r=o时，0=0.

V

V=%e®F）8ta

1.13证（。）当吗=0,即空气相对地面上静止的，有v绝=v#j+v布•式中-绝

U>LJTil£巳

质点相对静止参考系的绝对速度，叫指向点运动参考系的速度，V牵指运动参

考系相对静止参考系的速度.

可知飞机相对地面参考系速度：/=v，，即飞机在舰作匀速直线运动.所以

飞机来回飞行的总时间

（匕）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度

匕=—+.

飞行时间

I

’1二丁二一

V+v0

当飞机向西飞行时速度

V=V相+丫牵=/-%

飞行时间

故来回飞行时间

IIIv'l

f=々+t,=-------+--------=―:------7

v+v0v-v0v-v0

即

2/

t=---F=-"

1-'

VV

同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间

（C）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图

题1.13.1图

v绝=%+"

所以来回飞行的总时间

21

21：

t-

同理可证空气速度向南时,来回飞行总时间仍为

t=1%

1.14解正方形如题1.14.i图。

口

由题可知“=丫风=28km/h设风速4一§,y相100km/h，当飞机

A—>8，匕=(100+2S)km/h=128km/h

22

B-^D,V2=7100-28hn/h=96km/h

CD,v3=(\0Q-28)km/h=72km/h

O-A,匕=71002-2S2km/h=96km/h

故飞机沿此边长6女加/人正方形飞行一周所需总时间

题IJ42图二题1.14.3图

1.15解船停止时，干湿分界线在蓬前3,由题画出速度示意图如题.15.1图

题1.15.1图

丫雨绝=u雨相+丫船

故

vat______________

sin(«+/?)sin(乃_2_£_y)

又因为,+7=5，所以

_丫雨绝sin(a+夕)

v®

cosa

由图可知

42

cosa=’>,一=—；=,cosa

“2+22V5

34

sinp=-,cos/?=—

丫雨绝=8〃z/s

所以

u雨绝(sinacos夕+sin/cosa)=8/

cosa

1.16解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴.建立如题1.16.1图所示坐标系

d-丫水

0x

题1.16.1图

所以水流速度

外［o<y<|

V=<

-wy〈d

又因为河流中心处水流速度为c

d_

c=kx-=kx\d

2I

所以人生。当03/时，酿=^y即

d)2水d)

dx_2c

IT7y①--②

7=id

得小与团，两边积分

［dx=］苧dt

联立②③，得

x=—y2fo<y<—④

udL2)

同理，当dZyzl时，Vk咛(d-y)即

-2

JJr=J§("i力)J.

二空y_£Zi+0(O为一常数)⑤

X

uud

由④知，当y=4时，理代入⑤得

24u

_cd

D-----

2u

有

2ccy2cd(d

X=—->不""

uud2〃12)

所以船的轨迹

=-y2fo<y<—>|

Xud[2)

V

2cc2cd(d

XRRy

船在对岸的了；靠拢地点即/时有x=里.

2u

1.17解以A为极点,岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.

/〃//////////////////

，―A4一二:,....一

/////0//////////////X

题1.17.1图

船沿垂直于r的方向的速度为一C.sin^，船沿径向r方向的速度为C?和Q沿径向

的分量的合成，即

r--Cjsin(p

出①一②

—=C,cos-C

d2

②/①得—=--J---cot。d(p»对两积分:

r(Gsin°

Inr=-Intan--Insin°+C

C,2

设£1=&,乡=见。为常数，即

C12

lnr=ln+C

2cost+1a

代入初始条件r=r。时，.设”=4,有C=lnr。—In里鲁，得

22cosa。

k+\

sin1aCOS%

r=ro一.t-l

cos;*+lasm%

1.18解如题1.18.1图

题1.1&I图

质点沿下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为。=geos。.设竖直线

°B=h，斜槽。A='易知的皿吟—，由正弦定理

即

八cosa①

cos®-a)

又因为质点沿光滑面CU下滑，即质点做匀速直线运动.

所以

s=—at2=—gcos0t~②

22

有①②

；geosBcos（，-2-hcosa=0

欲使质点到达A点时间最短，由产=一也当一可知，只需求出

gC0S^C0S（^-6Z）

cos0cos（。-a）的极大值即可,令

y=cos^cos^-6z=cos^（cos0cos6^+sinsina）

y=cosacos26+—1sin26sina

2

把y对e求导

dv\1

—=2cos^（-sin9）・cosa+—cos20・2・sina

dO''2

极大值时空=0,故有

de

tan。=sin2。

由于是斜面的夹角，即ONaN5,。/%'

所以

1.19解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意

图如题1.19.1图,

.V

▼

扁mg

上升时下降时

题1.19.1图

则两个过程的运动方程为:

上升

my=-mg-mk2gy2①

下降：

-my=-mg+mk2gy2②

对上升阶段：

%—gQ+k2V2)

dvdyvdv(.,\

------=——=-e\l+k2v2

dydtdy'7

即

vdv,

i+T2Tdy

对两边积分

pvdv*i

11,22=1gd)'

J，01+^V

所以

h=ln(l+k%)③

2A2g\07

即质点到达的高度.

对下降阶段：

dvdyvdv,2

dyd「dy=i"2-

即

112,J,g，

h-----ln（l-Tv；）④

2k2g17

由③=④可得

Jl+zy

1.20解作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.

题1.20.1图

水平方向不受外力，作匀速直线运动有

Jcos/?=v0cosat①

竖直方向作上抛运动，有

2

ds\n/3-v0sinat-^gt②

由①得

t=d"③

v0cosa

代入化简可得

_2u：cosasin(a-⑶

cl=------------；------

gCOSp

因为子弹的运动轨迹与发射时仰角a有关，即d是a的函数，所以要求d的最大

值.把d对a求导，求出极值点.

»102

一-=--工一［-sinasin(a-⑶+cosacos(a-=0

dagcos^(3

即

sin2sin（a一4）=cosacos（a一夕）

cos（2a-/?）=0

所以a=^+2,代入4的表达式中可得：

42

2说

maxgCOS2P

至W生

S4

此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离d的最大值

1.21解阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道

上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.

题1.21.1图

轨道的切线方向上有:

，=-mkv-mgsin0①

m

轨道的法线方向上有:

2

m—=mgcos0②

r

由于角是在减小的，故

一”③