高中数学新教材必修第一册基础知识复习

高中数学必修第一册基础知识复习

第一章集合与常用逻辑用语

1元素：研究的对象统称为元素，用表示

元素三大性质：，，.

2集合：一些元素组成的叫做集合，简称集，用表示.

3集合相等：两个集合A,B的一样，记作A=B.

4元素与集合的关系：属于:aA;不属于：aA.

5常用的数集及其记法：自然数集—；正整数集；整数集—；有理数集—；实数集—

6集合的表示方法：

①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；

②描述法:把集合中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为的方法;

③图示法(Ve即图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法.

7集合间的基本关系：

子集：______________________

真子集：_____________________________

8空集：不含任何元素的集合，用一表示:

空集的性质，空集是任何集合的，是任何的真子集.

9集合的基本运算：

并集:

交集；

补集(U为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素).

运算性质：

AUB=BQ;AAB=A=;AU0=;

An0=；Cy(CyA)=；Cy0=；CyU=；

(CuA)A(CUB)=;(QA)U(C^B)=;

10充分条件后必要条件：

一般地，“若p,则，'为真命题，p可以推出q,记作pnq,称p是q的充分条件，q是p的必要

条件；

p是q的条件的四种类型：

若则p是q的充分不必要条件；

若则p是q的必要充分不条件；

若则p是q的充要条件；

若则p是q的既不充分也不必要条件.

11全称量词及全称量词命题：短语，在逻辑中叫做全称量词，并用符号表

示，含有全称量词的命题成为全称量词命题.

12存在量词及存在量词命题：短语,在逻辑中叫做存在量词，并用符号表

示，含有存在量词的命题成为存在量词命题.

13全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是；存在量词命题

的否定是.

第二章一元二次函数、方程不等式

1不等式的性质不等式的性质：

①对称性;②传递性;③可加性;④可

乘性;⑤同向可加性;

⑥同向可乘性;⑦可乘方性;

⑧可开方性；.⑨可倒数性；

2重要不等式：

若则，当且仅当______________时等号成立.

3基本不等式：

若则当且仅当时等号成立.

4一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

5一元二次不等式的解法：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

判别式△=〃—4acA>()A=0A<0

二次函数y-ax2++c

(Q〉0)的图象

一元二次方程ax2+hx

+c=()(〃>0)

的根

ax2+for+c>C

一元二次不(a>0)

等式的解集ax1+bx+c<0

(a>0)

第三章函数的概念与性质

1函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合A中的x,按照某种

f,在集合8中都有y与它对应，那么就称8为从集合A到集合B的一个函

数，记作y=f(x),xeA,其中，x叫做,x的取值范围A叫做函数的,

与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合"(x)\x&A｝叫做函数的,

值域是集合8的子集.

2函数的三要素：、、.

求函数定义域的原则：

⑴若/(x)为整式，则其定义域是；

⑵若“X)为分式，则其定义域是;

⑶若是二次根式(偶次根式)，则其定义域是；

(4)若〃x)=d，则其定义域是;

(5)若/(x)=优(a>Q,a丰1),则其定义域是；

(6)若f(%)=log”x(a>0,a01)，则其定义域是；

(7)若f(x)=sinx,g(x)=cosx,则其定义域是；

⑻若f(x)=tanx,则其定义域是；

求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；

求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；

3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个

变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系).

4分段函数：在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同对应关系的函数.

6函数的单调性：

(1)单调递增：设任意,当时，有.特别的，当函数在它

的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；

(2)单调递减：设任意，当时，有特别的，当函数在它

的定义域上单调递增时，该函数称为减函数.

7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，

区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间.

8复合函数的单调性：同增异减.

9函数的最大值、最小值：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满

足:，都有:使得，那么称M是函数的最

大(小)值.

10函数的奇偶性：

偶函数：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果，都有，

且,那么函数叫做；偶函数的图象关于对称；

奇函数：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果，都有，

且____________，那么函数叫做；奇函数的图象关于对称；

若奇函数y=/(x)的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即/(0)=0.

11幕函数：一般地，函数叫做基函数，其中—是自变量，—是常数.

12第函数/(6=产的性质：

①所有的基函数在都有定义，并且图象都通过点；

②如果a>0,则基函数的图象过原点，并且在区间［0,内)上是；

③如果a<0,则愚函数的图象在区间(0,yo)上是,

⑤基函数图象不出现于第四象限.

第四章指数函数与对数函数

1.〃次方根与分数指数幕、指数塞运算性质

((n为奇数)((n为奇数)

(1)若x"=a,则x={(2)Vo"=j

I(n为偶数)((n为偶数)

m

(3)an=(a>0,m,n6N*且n>1)

m

(4)a~n=(a>0,m,n6N*且n>1)

(5)0的正分数指数幕为,0的负分数指数幕.

(6)ar-as=(a>0,r,sE/?);

(7)(ar)s=(a>0,r,s6/?);

(8)(aby=(a>Qfb>0,rGR);

2,对数、对数运算性质

(1)a"=N"(a>0,aW1);

(2)loga1=(a>0,aW1);

(3)logaa=(Q>0,aH1);

(4)a】ogaN=(a>0,aW1);

(5)logaam=(a>0,aW1);

(6)loga(MN)=(Q>0,aW1);

1M

(7)10ga『(a>0,aW1,M>0,N>0);

(8)1*=(a>0,QH1,M>0,N>0);

n

(9)10gaM=(a>0,aW1,M>0);

n

(10)\ogabM=(a>0,aWLM>0);

(11)换底公式

10gab=-----(以c为底)=------(以10为底)=------(以e为底)

(a>0,Q。Lb>0,c>0)

(12)logab•log。c-log,a=(a>0,aW1,b>0,bW1,c>0,cW1);

(13)Iogab■\ogba=Qlogab=二一(a>°,"l,b>°,bKl)；

(14)lg2+IgS=;

3指数函数与对数函数及其性质:

名称指数函数对数函数

定义形如_____________________形如_____________________

（______________）的函数叫（______________）的函数叫

做指数函数，其中X是自变做对数函数，其中X是自变

量。量。

a的范围0<a<la>l0<a<la>l

图像

定义域

值域

单调性

奇偶性

恒过定点

4.指数函数y=优与对数函数y=1。84（。〉0,且4/1）互为,它们的图象

关于对称.

5.不同函数增长的差异：

线性函数模型y=^+伙4>0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变；

指数函数模型y=a'（a〉l）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数

爆炸”状态；

对数函数模型y=log“x（a>l）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长

速度平缓；

基函数模型y=/'（〃>0）的增长速度介于指数函数和对数函数之间.

6.函数的零点：在函数y=/（x）的定义域内，使得/（x）=0的叫做函数的零点.

7.零点存在性定理：如果函数/（x）在区间,例上的图象是的一条曲线，且

有，那么函数y=/（x）在区间（a⑼内,即存在使

得，这个c也就是方程/（X）=0的根.

8.二分法：对于区间［a,切上图象连续不断且_____________的函数y=/（x）,通过不断把它的零

点所在区间，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.

10给定精确度£，用二分法求函数y=/（%）零点X。近似值的步骤：

⑴确定零点%的初始区间［a,目,验证<0;

⑵求区间,力］的中点c；

⑶计算/（c）,并进一步确定零点所在的区间；

①若/（c）=0,则c就是函数的零点；

②若f（a）/（c）<0（此时>G（a,c））,则令。=c；

③若/9）/（。）<0（此时“0€（<?,5））,则令a=c；

⑷判断是否达到精确度£：若|。-耳<£,则得到零点的近似值。（或人）；否则重复上面的⑵至⑷.

第五章三角函数

（（按逆时针方向旋转形成的角）

1.任意角，（不作任何旋转形成的角）

（（按顺时针方向旋转形成的角）

2象限角：角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a

为第几象限角.

第一象限角的集合为；（用弧度制表示）

第二象限角的集合为;（用弧度制表示）

第三象限角的集合为;（用弧度制表示）

第四象限角的集合为；（用弧度制表示）

3.使角a的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边落在第几象限，则称角a为第几象限

角，终边落在坐标轴上的角a被称为轴线角。

终边在%轴非负半轴的角的集合；（用弧度制表示）

终边在x轴非正半轴的角的集合;（用弧度制表示）

终边在y轴非负半轴的角的集合;（用弧度制表示）

终边在y轴非正半轴的角的集合;（用弧度制表示）

终边在x轴的角的集合；（用弧度制表示）

终边在y轴的角的集合;（用弧度制表示）

终边在坐标轴的角的集合;（用弧度制表示）

4.终边相同的角：与角a终边相同的角的集合为；（用弧度制表示）.

5.弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6.角度与弧度互化公式：

2n=（）°TI=（）°1=（）°1°=（）

7.扇形公式

半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角a的弧度数的绝对值是

角度制弧度制

条圆心角度数为n,半径为r,弧长为/,周圆心角为。（a为弧度制），半径为r,弧长为/,

件长为C，面积为S周长为C,面积为S

弧

长

面

积

周

长

8三角函数的概念

设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标是（x,y）,它与原点的距离是r

r=（r、x、y之间的关系）

则sina=；cosa=;tana=

9.三角函数在各象限的符号;

10.计算特殊角的三角函数值:

角度0°15°30°45°60°75°90。105°120°135°150°165°180°

弧度

sina

cosa

tan。

角度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度

sina

COSOf

tana

11同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：：

（2）商数关系：:

12诱导公式

口诀：；

(1)sin(2kTi+a)=______;cos(2kir+a)—______;tan(2kn+a)=______:

(2)sin(Tt+a)=_____;cos(n+a)=____;tan(n+a)=______;

(3)sin(—a)=______;cos(—a)=______;tan(—a)=______;

(4)sin(it-a)=____;cos(IT—a)=___—;tan(Tr—a)=____,

(5)sin-a)=一___;cosQ—a)=_一;tang-a)=___,

(6)sin]+a)=—

一；COS管+a)=—一;tan6+a)=___,

13三角函数的图象与性质:

名

称

图

像

定

义

域

值

域

奇

偶

性

周周期

期

性最小正

周期

单单调递

调

增区间

性

单调递

减区间

最最大值

值

及取最

性

大值时X

的集合

最小值

及取最

小值时X

的集合

对对称轴

称

方程

性

对称中

心

14两角和差的正弦、余弦、正切公式：

(1)sin(a+p)=；

(2)sin(a-p)=;

(3)cos(a+P)=:

(4)cos(a—P)=:

(5)tan(a+0)=;

(6)tan(a—0)=;

15二倍角公式：

(1)sin2a=；

⑵cos2a===;

(3)tan2a=__________________________________；

16半角公式］

⑴sin2a=；sin2;

(2)cos2a=;cos21=;

⑶tan2a=;tan2-=;

17辅