高中数学人教A版（2019）必修第二册 立体图形的直观图 同步练习（含解析）

人教A版(2019)必修第二册8.2立体图形的直观图

一、单选题

1.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某儿何体的三视图，该几何

体某条棱上的一个端点尸在正视图中对应的点为在俯视图中对应的点为N,则户

)

C.点BD.点A

2.某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是()

A.五棱锥B.三棱柱C.三棱台D.四棱台

3.如图是四边形43co的水平放置的直观图CD,则原四边形ABC。的面积是

)

A.14B.100C.28D.14M

4.上、下底面面积分别为36兀和49兀，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为

()

A.4B.3夜C.2百D.2限

5.如图所示，梯形A'B'C'D是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，

A'D'=2B'C=2,=则平面图形A8CD的面积为()

6.棱台不具备的特点是（）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等D.侧棱延长后都交于一点

7.如图所示，V4BC是水平放置的43c的直观图，轴，B'C'〃x’轴,

49=2,B'C'=3>则中，AC=（）

D.V13

8.正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图

所示，俯视图是正三角形，。是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于

()

俯视图

A.>/5B.2C.73D.&

9.如图，已知等腰三角形ABC,则在如图所示的四个图中，可能是一ABC的直观图

的是（）

10.某圆锥母线长为2,底面半径为招，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面

积的最大值为（）

A.2B.GC.夜D.1

11.球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段

劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的

球面距离.已知正343c的项点都在半径为2的球面上，球心到一43。所在平面距离为

巫,则A、B两点间的球面距离为（）

3

c冗2%一3兀

A.万B.—C.—D.—

234

12.已知三棱锥尸-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2

的正三角形，E,尸分别是以，的中点，ZC£F=90°,则球。的体积为

A.8娓兀B.4底兀C.2底兀D.娓7t

二、填空题

13.如图，若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC£>

的直观图，已知A'B'=4cm,N£>'A'B'=45。，平行四边形49。少的面积为8cnf，

则原平面图形ABC。中AO的长度为.

14.如图，△0W8'是水平放置的具必3的直观图，贝建。43的周长为

15.已知四棱锥的底面是边长为&的正方形，侧棱长均为石.若圆柱的一个底面的圆

周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的

体积为.

16.在直观图中，四边形O'A'8'C'为菱形且边长为2cm,则在坐标系xOy中，原四边

形OABC的面积为cm2.

三、解答题

17.如图所示，三棱柱ABC-A4G中，若E,F分别为AB,AC的中点，平面

E8CL将三棱柱分成体积分别为％,匕的两部分，那么乂：匕等于多少?

18.用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.

19.画底面边长为2cm,高为3cm的正四棱柱A8a的直观图.

20.画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.

21.在水平放置的平面上，画一个边长为4cm的正三角形的直观图.

参考答案:

1.c

根据三视图作出几何体的直观图，标出点尸的位置，由此可得出结论.

【详解】

根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知，P在侧视图中对应的点为点

B,

故选：C.

2.D

根据几何体的结构判断.

【详解】

四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点.

故选：D.

3.C

根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解.

【详解】

'轴，A'B'//CD',A'B'^C'D',

...原图形是一个直角梯形.

又4。=4,

原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8,

故其面积为S=gx(2+5)x8=28.

故选：C

4.D

根据圆台底面半径，母线，高之间的关系“二浜+也一^求解.

【详解】

设圆台的母线长/、高/I和上、下两底面圆的半径r,R,

因为上、下底面面积分别为36兀和49兀，

所以r=6,R=7

因为l2=h2+(R-r)2,

所以25="+i,解得刀=2",即两底面之间的距离为2#.

故选：D

5.D

根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积.

【详解】

由三视图知原几何图形是直角梯形ABC。，如图，

AB=2,AD=2,BC=1,

面积为S」x(2+l)x2=3.

2

故选：D.

6.C

根据棱台的定义结构特征求解.

【详解】

根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点,

但是侧棱长不一定相等，

故选：C

7.B

根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中A8,8C的长度，再利用勾股定理计算AC.

【详解】

在直观图VAEC中，A8=2,B'C=3,

由斜二侧画法知，在」A8C中，AB=2AB^=4,BC=B'C=3,且ABL3C；

所以=〃序+叱=J，+32=5.

故选：B.

8.B

可得原几何体如图所示正三棱锥A-38,取80中点E,连接设底面边长为

花上,OE=1CE=叵，即可求出x,进而求出腰长.

2x,表ZK出AO=OE=—产=

V2233

【详解】

根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A-88,

取80中点E,连接AE,CE,则底面中心。在CE上，连接AO,可得AO_L平面A8C,

由三视图可知AB=AC=A£)=后，ZAEC=45,

设底面边长为2x,则。E=x，则AE=F7,

AP

则在等腰直角三角形AQE中，40=。£=竿=

,O是底面中心，则0E=1cE=4^

33

则,解得x=石＞

则4。=1,底面边长为2道，

则正视图（等腰三角形）的腰长为小国2+『=2.

故选：B.

本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底

面边长.

9.D

根据直观图的定义画法即可求解.

【详解】

根据坐标轴夹角为45。或135。,等腰三角形A8C的直观图如图所示:

y

X

只有③④符合

故选：D

10.A

如图截面为二SAW,P为MN的中点，设OP=X(0<X4G),SvsMN=J—（%?—I）?+4，进而

可得面积最大值.

【详解】

N

如图所示，截面为,.SMN,尸为MN的中点，设OP=x(0<x<73）

SB=2,OB=瓜:.SO=T,SP7£+1,MN=243-£

SySMN=g酗N^P=ggVTTTgZ出丁=7-（X2-D2+4

当x=l时，SYSMN=2，此时截面面积最大.

故选：A

易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面

面积最大.

11.C

设球心为点。，计算出ZAO8,利用扇形弧长公式可求得结果.

【详解】

2百

设球心为点。，平面ABC截球。所得截面圆的半径为r=~T

由正弦定理可得券=£3万,.•.A8=¥sin?=2,

7F

又1。4=。3=2,所以，一AOB为等边三角形，则NAOB=§

7T27r

因此，A、B两点间的球面距离为2x：=W.

故选：C.

思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长

公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式厂=斤彳（其中，为截面圆的半

径，R为球的半径，d为球心到截面的距离）来计算.

12.D

先证得尸8_L平面PAC,再求得PA=PB=PC=&,从而得P-zlfiC为正方体一部分，进

而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

【详解】

解法一：PA=PB=PC,AA3C为边长为2的等边三角形，.'P-ABC为正三棱锥，

.-.PB1AC,又E,尸分别为84、AB中点，

：.EF//PB,：.EFLAC,又EFLCE,CEAC=C,..M_L平面PAC,P8J_平面

PAC,ZAPB=90°,:.PA=PB=PC=42,.1P-ABC为正方体一部分，

2R=-72+2+2=y/b>即R=,r.K=3TCR，=*冗x。底=娓n,故选D.

2338

设PA=PB=PC=2x,E,尸分别为PAA8中点，

：.EF//PB,且EF=gpB=x,AABC为边长为2的等边三角形，

CF=拒又Z.CEF=90°CE=,3-x?,AE=PA=x

AAEC中余弦定理COS/E4C=X+4-（3-X-）,作P£），AC于。，PA=PC，

2x2xx

上/寸%「A。1f+4-3+f1

QO为AC中点，cosZEAC=——=一,/.-----------=一,

PA2x4x2x

2X2+1=2Z.x2=-x=—,：.PA=PB=PC=®，又AB=BC=AC=2,

22

.•.PA,PB,PC两两垂直，.-.27?=72+2+2=76,;.R=逅，

2

V=—n/?5=—nx=>/6n.故选D.

338

本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理，得到三棱两

两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决.

13.40cm

由题设可求ATX,结合斜二测画法横等纵半，即可知原平面图形A8CD中A/）的长度.

【详解】

由题设知：A'D'=2x/2cm.

由斜二测画法：A'B\C'£>'长度不变，而AO为AD的2倍，

•*-AD=40cm

故答案为：4J5cm.

14.10+2加

根据斜二测画法的规则得到直角三角形.048的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结

果.

【详解】

TT

根据斜二测画法的规则可知，|OA|=6,\OB\=4,ZAOB=《,

2

所以I451=+|<W=V36+16=2后，

所以6MB的周长为|OA|+|OB|+|4B|=6+4+2M=10+2VI5.

故答案为：10+2小.

关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.

根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.

【详解】

由题意四棱锥的底面是边长为友的正方形，侧棱长均为石，借助勾股定理，可知四棱锥

的高为g=2,•若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径

为g，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1,故圆柱的体积为

⑵4

本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.

16.8

由直观图判断出原四边形为矩形，再由菱形边长求得矩形的长和宽，求面积即可.

【详解】

由直观图可知，原四边形为矩形，作出其图形如图所示，易知

OA=O'A=2,OC=20'C=4,

故矩形面积S=O4OC=8.

故答案为：8.

17.7:5

如图，分别延长AA到A”8乃到生，CC到C?,且AA=44,B,B=BB°,C,C=CC2,

根据体积的大小关系得到答案.

【详解】

A44,8CCCz，AA=A4,

如图，分别延长到田到层，到且BtB=BB2,C,C=CC2,

AC,ABC-A/^G，8C-.G3C-A282c2•

连接B2C2,2则得到三棱柱且匕=匕

延长用£,C.F,则用£与弓尸相交于点

因为4A:4A=1:2,所以匕m=",*中

O

=X=8(?G,

连接,A.C,则VA2_AEF=—~^^ABC-A2B2C2~^^ABC-A2B2C2=五匕一%凡所以

7

K=7%皿=五%c市G，故乂：匕=7:(12-7)=7:5

本题考查了组合体的体积比，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

18.画法见解析.

直接用斜二测画法画出正三角形的直观图.

【详解】

(1)如图，设。为BC的中点，以0C所在直线为X轴，所在直线为y轴，建设如图,

画相应的x'，y'轴，两轴交于点0',使Nx'O'y'=45。.

(2)O'C'=OC=2cm,O'B'=OB=2cm,在y'轴上取A',使==0.

(3)连接去除辅助线，得到正三角形的直观图三角形A'8'C'.

本题考查了斜二测画法画平面图形