执信中学等六校高三数学上学期第一次联考试卷 文（含解析）-人教版高三数学试题

-学年广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设等比数列{an}的公比q=，前n项和为Sn，则=（）A．5 B．7 C．8 D．155．下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3 C．y=ln D．y=|x|+16．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（﹣，0），（，0），则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，]8．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A． B． C．1 D．29．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A． B． C． D．1﹣10．一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+611．执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．30612．已知抛物线y2=x上一定点B（1，1）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的纵坐标的取值范围是．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，则3+2=．14．已知等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6﹣a7）=．15．设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．16．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．已知△ABC的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．18．年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．19．如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．20．已知函数f（x）=经过点（0，3），且在该点处的切线与x轴平行（1）求a，b的值；（2）若x∈（t，t+2），其中t＞﹣2，讨论函数y=f（x）的单调区间．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为1+，求△ABC外接圆的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．（秋•广州校级月考）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（1）求点P轨迹的直角坐标方程；（2）求点P到直线l距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（秋•临川区校级期中）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．

-学年广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CUA={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴CUA={1，5}，∵B={1，4}，∴（CUA）∪B={1，4，5}．故选：D．【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：•（1﹣i）2=4+2i，可得•（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解答】解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．4．设等比数列{an}的公比q=，前n项和为Sn，则=（）A．5 B．7 C．8 D．15【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3 C．y=ln D．y=|x|+1【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】逐一分析四个函数的奇偶性，单调性，判断是否满足既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，可得答案．【解答】解：函数y=x2﹣2x为非奇非偶函数；函数y=x3为奇函数；函数y=ln的定义域为（﹣1，1），函数y=|x|+1既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键．6．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（﹣，0），（，0），则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线的方程是，即．又焦点坐标为（﹣，0），（，0），故λ+2λ=6，由此可知λ=2，代入可得答案．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线的方程是，即．又焦点坐标为（﹣，0），（，0），故λ+2λ=6，∴λ=2，∴双曲线方程为﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，正确设出方程是关键．7．函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，]【考点】正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求得ω，再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间．【解答】解：根据f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，可得==，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的减区间，属于基础题．8．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A． B． C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1，故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，故选A．【点评】试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．9．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A． B． C． D．1﹣【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．【点评】本题考查了几何概型中的体积类型的应用问题，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即得概率．10．一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图所示：则△SAD是边长为2的正三角形，其面积为：，∵AB⊥平面SAD，可得：△SAB是两直角边长为1和2的直角三角形，故△SAB的面积为1，同理，△SCD的面积也为1，又由△SAD的高SO=，OE=AB=1，可得SE=2，故△SBC是底边长2，高为2的等腰三角形，故△SBC的面积为2，综上所述，几何体的侧面积为+4，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．306【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的P的最小值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，输入P，S=0+2=2，n=2，S≤P，S=2+22=6，n=3，S≤P，S=﹣6+23=2，n=4，S≤P，S=2+24=18，n=5，S≤P，S=﹣18+25=14，n=6，S≤P，S=14+26=78，n=7，S≤P，S=﹣78+27=50，n=8，S≤P，S=50+28=306，n=9，S＞P，终止循环，输出n=9；所以P的最小值为78．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目．12．已知抛物线y2=x上一定点B（1，1）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先假设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得=0，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得Q点的纵坐标的取值范围．【解答】解：设P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）•（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点∴必须有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q点的纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用=0构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，则3+2=（14，7）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据平面向量平行的坐标表示，求出m的值，再计算3+2即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（m，2），且∥，∴1•m﹣2×2=0，解得m=4，∴=（4，2）；∴3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）．故答案为：（14，7）．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与向量平行和线性运算问题，是基础题目．14．已知等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6﹣a7）=3．【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质结合已知条件求得2a6﹣a7=a5=8，由此利用对数性质能求出log2（2a6﹣a7）的值．【解答】解：∵等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，∴a5=8，∴2a6﹣a7=2（a1+5d）﹣（a1+6d）=a1+4d=a5=8，∴log2（2a6﹣a7）=log28=3．故答案为：3．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为4．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．已知△ABC的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．【考点】解三角形．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tanA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，可求c，利用余弦定理求a的值．【解答】解：（1）∵sin（A﹣）=，∴（sinA﹣cosA）=，∴sinA﹣cosA=，∴sinAcosA=，∴sinA=，cosA=，∴tanA=；（2）∵△ABC的面积S=24，b=10，∴24=，∴c=6，∴a==8．【点评】本题考查差角的正弦公式、三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，计算出对应的频率，补充完整频率分布直方图，再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可；（2）求出年龄在[25，30）和[40，45）内的频率与频数，用列举法求出对应的基本事件数，计算概率即可．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）由四边形D1OBM是平行四边形得D1O∥BM，由线面平行的判定得到BM∥平面D1AC（Ⅱ）由OB1⊥D1O，AC⊥D1O，得到D1O⊥平面AB1C，确定D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高，同时确定△AB1C为底．【解答】解：（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（2分）∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．（4分）（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，∴，OB1=2，D1O=2，则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（6分）又∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，且BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，（10分）∴D1O⊥平面AB1C，即D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高．（12分）∵，D1O=2∴．14（5分）【点评】本题主要考查平面图形中的线线关系，培养学生平面与空间的转化能力，熟练应用线面平行和线面垂直的判定定理．20．已知函数f（x）=经过点（0，3），且在该点处的切线与x轴平行（1）求a，b的值；（2）若x∈（t，t+2），其中t＞﹣2，讨论函数y=f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由f（0）=3，可得b=3，求出导数，求得切线的斜率，可得a=﹣3；（2）求出导数，对t讨论，①当﹣2＜t＜﹣1时，②当﹣1≤t＜0时，③当t≥0时，令导数大于0，得增区间；由导数小于0，可得减区间．【解答】解：（1）∵经过点（0，3），∴b=3，∴，，由条件，∴a=﹣3；（2）由（1），导函数，①当﹣2＜t＜﹣1时，x∈（t，﹣1），f′（x）＜0，f（x）递减；x∈（﹣1，0），f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，t+2），f′（x）＜0，f（x）递减，②当﹣1≤t＜0时，x∈（t，0），f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，t+2），f′（x）＜0，f（x）递减；③当t≥0时，x∈（t，t+2），f′（x）＜0，f（x）递减．综上：①当﹣2＜t＜﹣1时，f（x）递减区间为（t，﹣1）和（0，t+2），递增区间为（﹣1，0）；②当﹣1≤t＜0时，f（x）递减区间为（0，t+2），f（x）递增区间为（t，0）；③当t≥0时，f（x）递减区间为（t，t+2）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率e，以及圆心（0，0）到直线x﹣y+的距离求出a，b，即可求解椭圆的方程．（2）设直线PB的方程为y=k（x﹣4）联立，设点B（x1，y1），E（x2，y2），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．【解答】解：（1）由题意知e==，∴=，即a2=…（2分）又∵圆心（0，0）到直线x﹣y+的距离为，∴b=．∴a=2，故椭圆的方程为：…（4分）（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）联立，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0①…（6分）设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），直线AE的方程为令y=0，得x=，…（8分）再将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理得x=②…（10分）由①得x1+x2=，x1x2=，代入②整理得x=1，所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）…（12分）．【点评】本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为1+，求△ABC外接圆的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，A､B､C､D四点共圆．∴∠CDF=∠ABC，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的