《函数基本初等函数》复习导引（一）

《函数、基本初等函数》复习导引（一）函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了整个高中数学，是高中数学的一条主线.历年高考中都对函数进行重点考查，在选择题、填空题和解答题三大题型中都有函数试题.高考重点考查的内容有：函数的概念、函数的解析式、函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等性质，函数的图象和图象变换及以基本初等函数为载体的综合题和应用题.所以在复习函数时应以复习基础知识、强化函数应用、培养能力为重点.１.函数及其表示（１）函数由定义域、值域、对应关系构成.其中对应关系是核心，定义域是根本.只有当两个函数的定义域和对应关系完全一致（即对于相同的自变量其所对应的函数值相等）时，这两个函数才是同一函数.要特别注意：研究函数时，必须遵循“定义域优先”的原则.（２）求函数定义域时，一般应遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数；②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；③为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零；且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于１；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若是有限个基本函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为［a，b］，其复合函数的定义域应由不等式a≤≤b解出；⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.（３）函数的值域取决于定义域和对应法则.求函数值域常用的方法有：配方法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式法、利用函数的有界性、数形结合法等，但不论采用什么方法求值域，均应考虑其定义域.另外，还要特别注意，在利用配方法、基本不等式、判别式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时需注明等号成立的条件.（４）函数的最值与函数的值域有着密切的联系.事实上，如果在函数值域中存在一个最大（小）数，这个数就是函数的最大（小）值.函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而有时借助函数图象的直观性可直接得出函数的最值，另外要注意函数的单调性对函数最值的影响，尤其是对于闭区间上函数的最值.比如定义在闭区间［m，n］上的函数，若单调递增，则它的最小、最大值分别为.对于单调性不确定的函数要进行分类讨论.（５）解析法、列表法和图象法是函数的三种常用表示方法.求函数的解析式一般有四种情况：①根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式；②根据题中给出函数特征，求函数的解析式，可用待定系数法.比如函数是二次函数，可设为，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可；③换元法求解析式，由求的问题，往往可设，从中解出，代入进行换元求解；④解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除了是未知量外，还出现其他未知量，如等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出.２.函数的基本性质（１）函数的单调性理解函数单调性定义，应注意下列几点：①函数的单调性只能在其定义域内讨论；②单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；③定义中的具有任意性，若要证明在区间［a，b］上是递增或者递减的，就必须证明对区间上任意的两点，当时都有不等式或.若要证明在区间［a，b］上不是单调函数，只要举出反例即可；④判断函数的单调性，首先必须明确函数的定义域.在定义域上如果有多个单调区间，区间之间用“、”分开或用“和”相连，不能用“∪”.判断函数单调性的常用方法：①定义法；②两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；③奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；④互为反函数的两个函数具有相同的单调性.（２）函数的奇偶性奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.若奇函数的定义域含有数０，则必有.若是偶函数，则.在处理有关问题时，常用到以下几个结论：①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；④两个偶函数的积是偶函数；⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.判断函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数.在解题过程中要注意挖掘函数的奇偶性特征，为解决问题提供方便.３.函数的图象与性质（１）若函数满足，则函