2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 第四节 解直角三角形的实际应用 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练基础题1.(2023天津)sin45°＋eq\f(\r(2),2)的值等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第2题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向3.(2023南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两点相距()A.eq\f(x,sinα)米B.eq\f(x,cosα)米C.x·sinα米D.x·cosα米第3题图4.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos∠CAB的值为()第4题图A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),5)5.(2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第5题图6.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)()第6题图A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为()第7题图A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8题图9.[新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为________．第9题图10.[新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)第10题图11.成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A处放置高为1米的测角仪AB，在B处测得塔顶F的仰角为30°，沿AC方向继续向前行38米至点C，在CD处测得塔顶F的仰角为65°(点A，C，E在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF的高度．(结果保留整数，参考数据：eq\r(3)≈1.73，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)第11题图拔高题12.[新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第12题图①第12题图②说明如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.测量数据∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)13.雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，eq\r(3)≈1.73)图①图②第13题图参考答案与解析1.B【解析】原式＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．3.B【解析】∵在Rt△ABC中，cosα＝eq\f(AB,AC)，∴AC＝eq\f(AB,cosα).∵AB＝x，∴AC＝eq\f(x,cosα).4.B【解析】如解图，连接BD，在△ABD中，AB＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，AD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，BD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴cos∠CAB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2\r(5),5).第4题解图5.D【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD＝1，AB＝5，设Rt△ABC的AC边为x，则x2＋(x＋1)2＝52，解得x1＝3，x2＝－4(舍去)，∴BC＝4，∴cosα＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).第5题解图6.D【解析】根据题意可知，∠BAD＝90°，∠BCA＝45°，AB＝5，∴AC＝AB＝5，在Rt△ABD中，∠D＝30°，∴tan30°＝eq\f(AB,AD)，∴AD＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\f(5,tan30°)＝5eq\r(3)，∴CD＝AD－AC＝5eq\r(3)－5≈3.66(米).7.C【解析】如解图，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N.由题意可知DM＝EN＝15，∵背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，∴eq\f(DM,CM)＝eq\f(5,3)，∴CM＝9.∵DE＝MN＝2，∴CN＝7.∵背水坡EF的坡度i＝3∶4，∴eq\f(EN,NF)＝eq\f(15,7＋CF)＝eq\f(3,4)，解得CF＝13.第7题解图8.2.7【解析】如解图，过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝eq\f(CE,OE)≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.第8题解图9.eq\f(4,3)【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A＝β＝∠B，∴tanα＝tanB＝eq\f(OD,BD).易知△ACO∽△BDO，∴eq\f(AC,BD)＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).∵CD＝12，∴OD＝8，∴tanα＝tanB＝eq\f(4,3).10.(3＋eq\r(2))【解析】如解图，过点O作OC⊥BT，垂足为C，由题意得BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°，∵AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB·cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)(米).∵OM＝3米，∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC＋OM＝(3＋eq\r(2))米．第10题解图11.解：如解图，设BD的延长线与EF交于点G，由题意可得∠FDG＝65°，∠FGD＝90°，∴∠DFG＝25°.AB＝CD＝EG＝1米，AC＝BD＝38米，设FG＝x米，在Rt△BFG中，∠FBG＝30°，tan30°＝eq\f(FG,BG)＝eq\f(x,BG)＝eq\f(\r(3),3)，解得BG＝eq\r(3)x，在Rt△DFG中，∠DFG＝25°，tan25°＝eq\f(DG,FG)＝eq\f(DG,x)≈0.47，解得DG＝0.47x，∴BD＝BG－DG＝eq\r(3)x－0.47x＝38，解得x≈30，∴EF＝FG＋EG＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF的高度约为31米．第11题解图12.解：如解图，过点A作AF⊥MN，垂足为点F，设BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm.在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF·tan35°≈0.7xcm.在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF·tan22°≈0.4(x＋9)cm，∴0.7x＝0.4(x＋9)，解得x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4cm，∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm.第12题解图13.解：如解图，过点B作BE⊥MN于点E，过点D分别作DF⊥MN于点F，作DG⊥BE于点G，则易得四边形DGEF是矩形，DF＝16cm，∴EF＝DG，DF＝GE.在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，tan∠DCF＝eq\f(DF,CF)，∴CF＝eq\f(DF,tan∠DCF)＝eq\f(16,tan30°)＝eq\f(16,\f(\r(3),3))＝16eq\r(3)cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°