高中数学：对勾函数

对勾函数

1.已知函数/(X)=X2+2X+2.

(I)求函数g(x)=|/(x)-10|的单调递增区间；

(H)若对任意的实数xw[g,2],都有/(x)-3〃a21成立，求实数机的取值范围.

2.已知a>0,函数/*)=x+2ax+a,x<0,若关于彳的方程/(回=以恰有2个

-x2+2ax-2a,x>Q

互异的实数根，则a的取值范围是()

A.(8,+oo)B.(0,4)C.(4,8)D.(4,6)

3.若对任意的XG[1,4],存在实数a,使|丁+公；+/,区2x(aeR,b>0),则实

数6的最大值为.

4.若不等式一一<;/<也之对任意的fe(0,2]上恒成立，则〃的取值范围

产+9t+C

是

1+1

5.已知函数f(x)=log2(x+2),g(x)=a-4'-2-a+\.

(I)判断函数/z(x)=/(x)+/(x-6)的单调性，并说明理由;

(H)若对任意的芭,々€[1,2]，/(xJ<g(X2)恒成立，求。的取值范围.

6.设函数f(x)=f一%x+6,其中七力为实数.

(I)当b=6时，不等式f(x)<0的解集为{x[2<x<〃?},求实数上及用的值;

(II)当人=2时，是否存在实数人,使得不等式/(sinx)N攵-1对任意的实数

xe[O,C]恒成立？若存在，求左的取值范围；若不存在，请说明理由.

2

7.关于x的不等式ax2_|x+i|+2a<o,a^R.

(I)当。=工时，求此不等式的解集；

2

(II)若此不等式的解集为空集，求a的取值范围.

1.已知函数/(x)=x2+2x+2.

(I)求函数g(©="(x)-10|的单调递增区间；

(11)若对任意的实数》€心,2],都有/(幻-3〃比之1成立，求实数加的取值范围.

22.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=x2+2x+2.

(I)求函数g(x)=|/(x)—10|的单调递增区间；

(H)若对任意的实数xe1,2,都有/(x)-3帆xNl成立，求实数机的取值范围；

(III)若"x)=/(x)+(2a-3)x-6.xe[-1,3]的最大值是0,求实数a的取值范围.

22.(本题满分15分)

解：(1)f(x)=A-2+2x+2,g(x)=,+2x-8|=k+1/一9.

令X2+2X-8=0,X=-4O£X-=2,对称轴x=-l

①当xW—4或x“时，g(x)=x2+2x-8,g(a•的单调递增区间为(2,+a))；

②当-4<x<2时，g(x)=-x2-2x+8,g(x)的单调递增区间为(一4,—1)；

综上所述，g(x)单调增区间为(一4「1)和(2,+s).....................................................5分

注：若通过作图，得到g(x)单调增区间为(-4,-1)和(2,+8),也给5分.

(II)对任意的实数xe1,2,都有了(X)-3心21成立

X24-2A*4-2-3inx>1,即3m¥4大2+2x+l,3m<x-1-----1-2.KG—,2

x|_2

1

y=x+-+2在上递减，在(1,2)上递增，当》=1时，稣皿=4,

x

4

「・"7K—.

3

4

所以,m的取值范围是(-00,—10分

3

2.己知。>0,函数/(x)=<+2办+。,“一0,若关于x的方程/(*)=or恰有2个

-x+2ax-2a,x>0

互异的实数根，则。的取值范围是()

A.(8,+oo)B.(0,4)C.(4,8)D.(4,6)

解析，原网等价于/5)-皿=-3有两个实根,由于*。不是该方程的根.故也等价于

/(V)-2ax./¥小卜:心]£.—a...一X,.­.u

一。一--------.今，丁卜:-----4---,由于S-X+—在1-6。)上的最大值为2<a・

，[若.…X

)''在曲")上的，K值为-2后，故读方程有2个实根等价于-2、£v-av-2、G.BH7<8.

X

所以选C.

4.若对任意的xe[l,4],存在实数a,使|/+公+蚱2%(aeR,人>0),则实

数6的最大值为.

解析：|/+小>+方|42*0|*+。+'|420-2-(*+')4°42-(.丫+2),

XXX

..要存在实数。满足条件，只需保证[-2-(X+2)]mu42-(K+2)]g

XX

A

右%/^24obN16：-2-4-w&2-1-bnb4舍；

f——2—2>[b4—2~4—

<4ol<Z><16：4nb49,

-2-2,y[b42-1-b

,,bm«=9.

4.若不等式穿对任意的V。⑵上恒成立'则〃的取值范围

241

是.3

5.已知函数/(x)=log2(x+2),g(x)=a-4"-2"|—a+1.

(I)判断函数〃(x)=/(x)+/(x—6)的单调性，并说明理由;

(H)若对任意的e[l,2],/(%)<g(X2)恒成立，求a的取值范围.

JAJ

21：《2019学年杭四高一上期中效学试题解析第21题)

21：已知函数/(x)=k>g式x+2).g(x)=a-4*-2,*l-o+l.

(1)刊断函数版x)=/(x)+/(x-6)的单调件,并说明理由：

(2)若对任意的邛勺<1«2]./a)<g(七)恒成立.求a的取值范围.

方法提供：(淅江杭州罗彪)

解析(1)：利用复合函数的单调性“同增异减”规律.

(1)悌：由史》)=108式'+2)+108式、-4)=10质('+2乂1-4)可制定义域为(4.+6).在此定义域内.

一次由数dx)=(x+2)(x-4)单调递增.H付数底数大JT为单调递增，故复合函数繁体单调递增.

解析(2)：利用换无法将问题转化为二次函数问题.

(2)解：对任意的玉.x2e[1.2]./(石)<8氏)恒成只需要/(内)111M〈g&Dg.其中

/(“a=/(2)=2.只需g(x,)g>2即g(x)-2=。⑷—2川一。一1>0时仃意XW[1.2]恒成工.令

r=2xe[2.4].p(t)=g(x)-2=aC-2t-a-l>Q.a(r-l)>(2/+l)>0=>a>0.

方法-：(利用分类讨论,分析.次函数的最小位)

11511

可称轴》=一.①当—附.p(r)单调通增.p=p(2)=3n-5>0.a>-；②巧一Sa<一时.

a2m342

=p(-)=---n-l>0.无胸；③与0va<2时.p(f)理减.=p(4)=l"_9>0.无解.纾：

aa4

5

上所述，a>—.

3

方法二：(利用参变分离.分析斜勾函数的最值)

o(Z：-l)>(2/+l)=>-<-^=-(r---—^=o(r)-q⑷可视为副勾函数(或观察注》•可知单调

a2/+1224/+2"，r

135””

递增.故只需一<式2)=-,可得：。>一,A

a53

方法£：(利用特殊值通过必要条件缩小参鼠河Q

5513

令r=2，p(2)=%-5>0可行°>一.同时与。>一.p")对称轴、=一<3.故p(r)单调递增.满足

3、广-37a5

p(r)Np(2)>0,故。>：满足题意.、.

6.设函数f(x)=f-履+/,其中Z力为实数.

(I)当人=6时，不等式/(x)<0的解集为{x[2<x</〃},求实数人及加的值;

(II)当人=2B寸，是否存在实数%,使得不等式/(sinx)NZ-1对任意的实数

xe[O,自恒成立？若存在，求左的取值范围；若不存在，请说明理由.

当左=5时，解不等式/(x)<0得{x|2<x<3},所以，n=3；..........4分

(口)当6=2时,存在这样的实数h

不等式/(sinx)2%-1对于任意实数xe[0,^]恒成立，等价于

,.sin2x+3.,、sin2x+3

sin2x+3>A：(sinx+l),:.k<------令g(x)==--------

sinx+1smx+1

,、(sinx+1)1-2(sinx+1)+4,4c、r

=---------------------=(sinx+1)H•-；------2>2,

sinx+1sinx+1

..•*€[0创..・.14耐”+142,当且仅当5出》=1时,g(x)取最小值2,■

.•.左的取值范围是(7,2].................................8分

7.关于x的不等式G?_|x+l|+2a<0,aeR.

(I)当时，求此不等式的解集；

2

(II)若此不等式的解