2024年高考仿真模拟（一）及答案（题型同九省联考）

2024年高考仿真模拟数试题（一）试卷+（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．a=1．若一组数据a,4,5,5,6,7的75百分位数是6（）A4B．5C．6=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（D7x22y222．已知椭圆E：+）ab22233233A．B．C．D．333．设等差数列a}的前项和为，若na+a+a+a+a=S=，则（17S）nn789A150B．C．D68β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（α4．已知空间中，mn是互不相同直线，、）A//，l⊂αn⊂βαβ．若l//αl//βα//β，，则ln，，则⊥αl//βα⊥β，则Cm//βn//βm⊂αn⊂αα//βDl，，，，则，5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A672B．C．D10566．在平面直角坐标系xOy中，已知A0，B3，动点满足OP=xOA+yOB，且x()()P+y=1，则下列说法正确的是（）AP的轨迹为圆P到原点最短距离为1CP点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为4π3ππ7．已知函数f(x)3sin4x=+4sin4x+−，设6x∈R,∃x∈R,f(x)≤f(x)tan4x−，则0等于300（）43343443A．−B．−C．D．x2a2y2b28．已知双曲线C:−=a>0,b>0)的左焦点为1，离心率为e，直线y=kx(k≠0)分别与C的左､右两支交于点MN.若MF1N的面积为3，1N=°，则e2A2B．3C．6+a2的最小值为（）D7二、选择题：本题共3小题，每小题618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．2()=−，则下列结论正确的有（）9．已知函数fxsinxA．f(x)为奇函数sin2xB．f(x)是以π为周期的函数ππ2C．f(x)的图象关于直线x=对称D．x时，∈f(x)的最大值为−224210．已知复数z，z，则下列命题成立的有（）121n,n∈ZA1z2C1=0，则1=z2．已知函数f(x)满足：①对任意x,y∈R+=1z2，则−zz=0B．zn=1212+z22D．z⋅z=z⋅z1212f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)⋅f(y)+2x≠y，则，；②若()≠().fxfy则（）A．f(0)的值为2B．f(x)+f(−x)f(4)=10≥4()=Cf13，则f3)=9f(−2)=4D，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12．设集合M}，=−N=xx−a<1{}，若MN的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围∩为.()()0,11,3答案13．已知正四棱台ABCD的上、下底面边长分别为、，高为2，则正四棱台−1111−ABCD的体积为1，外接球的半径为.111α+β−sinγ=0，则α+β−γ14．若cos的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f(x)(1)讨论函数的极值；=x−2ax−a.e(2)当a>0时，求函数f(x)的零点个数.n16.（分）已知把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．(1)当n=12时，设两个人座位之间空了XX的分布列及数学期望；(2)若另有m把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅1(>>)m,nmn3子坐下，若两人选择相邻座位的概率为，求整数的所有可能取值．1417分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，EF//平面AB−CD，EAB为等边BC=CE=2AB=2EF,∠ABC=60°三角形，．(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值．18分）已知抛物线C：y(1)求抛物线C的方程；2=2px（0<p<5）上一点M的纵坐标为3，点M到焦点距离为5.(2)过点1,0)作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线l与l，l与l相交于点D，过点A作1212直线垂直于，过点B作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与轴交于点P、、Qllllllllllx3142341234R、S.记方程.、DAB、ABE、△ERS的面积分别为S1、S、S、SSS=4SS.若，求直线的123423419分）已知有穷数列A:a，a，a(n中的每一项都是不大于的正整数对于满足1mn的≥n≤≤12n()={==2，n}.mAmkakm，k(m)中元素的个数为（约定空集的元素个s(m)整数，令集合记集合数为）.(1)若A:63253755，求A(5)及s；111+++=互不相同；n，求证：a,a,,a12n(2)若s(1)s(a2)s(an)(3)已知1a,a2b，若对任意的正整数jii==≠+j≤n)都有i+j∈A(a)i+j∈(a)a+a++a，求12n或ij的值.2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．a=1．若一组数据a,4,5,5,6,7的75百分位数是6（）A4答案C解析这组数据为：B．5C．6D7a,4,5,5,6,7a8×0.75=6，但大小不定，因为，所以这组数据的分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有a6符合．故选．=Cx22y222．已知椭圆E：+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（）ab22233233A．B．C．D．33答案Bb13cba221222解析由题意，2ab，所以==，则离心率e==1−=1−=.3aa3故选B.3．设等差数列a}的前项和为，若na+a+a+a+a=S=，则（17S）nn789A150答案D解析由等差数列的性质可知B．C．D68a+a+a+a+a=5a=20，78910119(+)17a17a=4S==179=68所以，1，故选D.9172αβ4．已知空间中，mn是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（l//βα//β）A//，l⊂αn⊂βαβBl//α，，，则ln，则Cm//答案Dβn//βm⊂αn⊂αα//βDl⊥αl//βα⊥β，则，，，，则，α//β⊂αn⊂βn，则l可能与平行或异面，故A错误；解析对A选项：若，l，对B选项：若l//α，l//β，则α与β可能平行或相交，故Bm//βn//βm⊂αn⊂α对C选项：若，，，，可能m//n，αβ可能平行或相交，故C错误；此时与对D选项：若l//，则必存在直线βp⊂βl//p，使，又l⊥α，则p⊥αp⊂β，又，则α⊥βD.D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A672B．C．D1056答案D4A5=480种站排5解析当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有方式；当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可4A4=576种站排方式；12C14选，剩下的人随便站，有故总共有4805761056种站排方式D．+=.()()P+y=1，则下列6．在平面直角坐标系xOy中，已知A0，B3，动点满足OP=xOA+yOB，且x说法正确的是（）AP的轨迹为圆P到原点最短距离为1CP点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为4答案Cx=a解析设P点坐标为，b，则由已知条件OP=xOA+yOB可得b=3ya=x()，整理得b．y=3x+y=1a+b=3，所以点坐标对应轨迹方程为．又因为P0，且0时，方程为a+b=3；0，且b<0时，方程为b=a−3；0，且0时，方程为b=a+3；0，且b<0时，方程为a+b=−3．P点对应的轨迹如图所示：kAB=kCD=−3误C正确；AB=BC=CD=DA=10，且，所以P点的轨迹为菱形．A错3310原点到AB：ab30的距离为+−==<1.B错误；1032+121轨迹图形是平行四边形，面积为2××2×3=6D错误．故选．2π3π6π7．已知函数f(x)3sin4x=+4sin4x+−，设x∈R,∃x∈R,f(x)≤f(x)tan4x−，则0等于300（）43343443A．−B．−C．D．答案Bπ3π6πππ解析f(x)3sin4x=+4sin4x+−=3sin(4x+)+4sin(−+4x+)，323ππ∴f(x)=3sin(4x+)+4cos(4x+)，33π4∴f(x)=5sin(4x++ϕ)(tanϕ=)∴f(x)max=5，，33∀∈R,∃x∈Rx≤()，,f(x)f00ππ∴40++ϕ=+2kπ(k∈Z)，32π3π134∴tan4x−=tan(−+2kπ−ϕ)=−=−0.故选：B.2tanϕx2a2y2b28．已知双曲线C:−=a>0,b>0)的左焦点为1，离心率为e，直线y=kx(k≠0)分别与C的左､右两支交于点MN.若MF1N的面积为3，1N=°，则e2+a2的最小值为（）A2B．3C．6D7答案D解析连接NF,，有对称性可知：四边形NF为平行四边形，故NF=MF,NF=MF，22212211∠FNF=°S=SMF1N=312，，121由面积公式得：NF2sin120⋅°=3，解得：⋅=4，1122FN−FN=a由双曲线定义可知：，12(−)2+2FN⋅FN−4c2121N2+2N2−4c21N2NF中，由余弦定理得：cos120°==在三角形122FN⋅FN2FN⋅FN12122FN⋅FN−b212b2=12=−⋅=，解得：FNFN，2FN⋅FN12123b2所以=4，解得：b2=3，故333e2+a2=1++a2≥1+2⋅a2=7，a2a23=a22，即a=1时，等号成立.当且仅当2a故选D二、选择题：本题共3小题，每小题618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．2()=−，则下列结论正确的有（）9．已知函数fxsinxA．f(x)为奇函数sin2xB．f(x)是以π为周期的函数π4π2C．f(x)的图象关于直线x=对称D．x时，∈f(x)的最大值为−222答案AD2π解析对于A，f(x)=sinx−的定义域为x≠,(k∈Z)sin2x222f(−x)=sin(−x)−=−sinx−fx=()，(−)sin2xsin2x22(+)=(+)−=−−fx≠()，故B错误；fxπsinxπsinx对于B，对于C，(+sin2xπsin2xππ22f+x=sin+x−=cosx+22πsin2x，sin2+x2π2π222f−x=sin−x−=cosx−πsin2x，sin2−x2ππ2π但f2+xf≠−x，即f(x)的图象不关于直线x=对称，故C错误；2π42对于D，x时，∈y=sinx,y=sin2x均单调递增，所以此时y=−也单调递增，sin2xπ4π42所以x时，∈f(x)单调递增，其最大值为f=−2.AD.210．已知复数z，z，则下列命题成立的有（）12A1z2C1=0，则1=z2答案BCD解析对于A，当+=1z2，则−zz=0B．zn=1n,nD．z⋅z=z⋅z2∈Z1212+z22121z=1+i,z=1−iz+z=2=z−zzz=2≠0时，，而12，A错误；121212z=r(cosθ+isinθ),r≥0,θ∈R1n1=r(cosθ+isinθ)，n对于B，则z=n=n=于是|zn1=rn|cosθ+isinθ=r|n，而|z|r，即有|z|rn，因此11n成立，B正确；11z=a+bi(a,b∈R)z=c+di(c,d∈R)设复数，，12对于C12+z22=0，得(a2−b2+c2−2d)+(2ab+2cd=0，2−2+2−d=02abc则，12−z22=(a2+b2)2−(c2+d2)2=0，因此z=zC正确；12ab+2=02对于D，zz(abi)(cdi)(acbd)(adbc，则zz(acbd)(adbc)i，⋅=++=−++⋅=2−−+121z⋅z=(a−bi)(c−di)=(ac−bd)−(ad+bc，因此z⋅z=z⋅zD正确故选BCD121212．已知函数f(x)满足：①对任意x,y∈Rf(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)⋅f(y)+2x≠y，则，；②若()≠().fxfy则（）A．f(0)的值为2B．f(x)+f(−x)f(4)=10≥4()=Cf13，则f3)=9f(−2)=4D，则答案x=y=03f(0)=f(0+22()=f01()=f02或，解析对于A，令，得，解得()=f0()+=()+()≡，即，fx11y=02fxfx12若，令，得x≠yfx()≠()fy矛盾，但这与②若，则()=f0A2所以只能，故正确；()+(−)2fxfxy=−x()=f0对于B，结合2得，fx+f−x=fx⋅f−x≤()()()()，2()+(−)≥解得fx()+(−)≤fx4或fxfx0，()=f0()=4>02f0，2又，所以()+(−)≥所以只能fxBfx4，故正确；y=1f(x+)+f(x)+3=3f(x)+2，对于Cf)=3，令得，(+)=()−()=()−=−=所以fx12fx1，所以f22f11615，()=()−=−=C所以f32f211019，故正确；()=()+1，x对于Dfx3xyx+yxy()⋅()+=()+()++=()+()+()+则fxfy2313123333()=()+x=(+)+()+()fxyfxfy且fx31单调递增，4()=(−2)=满足f410，但f，故D错误ABC.3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12．设集合M}，=−N=xx−a<1{}，若MN的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围∩为.()()0,11,3答案{}，则N=xx−a<11<x−a<1−1+a<x<1+a，解得，解析若MN的真子集的个数是11+a>1−1+a>−1，∩M∩N中只含有一个元素，a因为为正实数，则，−1+a<0若MN0={}，则1+a≤2，解得0<a<1，a>00≤−1+a<2若MN={}，则1+a>22，解得1<a<3，a>01,3()().1,3()().a综上所述，的取值范围为故答案为13．已知正四棱台ABCD的上、下底面边长分别为、，高为2，则正四棱台−1111−ABCD的体积为1，外接球的半径为.1117623答案S=412=S2=6=36，2解析根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：17623−ABCD的体积为V1(×2所以正四棱台=1+1S2S2+=；1113连接，交于点O，连接ACBD交于点O，，如图所示：111211当外接球的球心O在线段OO延长线上，12h2=(−)2设h，外接球半径为R2O=2，1OO=2，上、下底面边长分别为、，因为1211DO=BD=22，2=BD=32，则111122()2所以R2=O21+h2=22+h−2⇒h=32,R=26当外接球的球心O在线段2O延长线上，显然不合题意；1(−h)，同上可得，h=32，不符舍去．2当球心O在线段OO之间时，则22O2=21762故答案为；.3α+β−sinγ=0，则α+β−γ14．若cos的最大值为．答案20≤α+β=sinγ≤1α≥0β≥0，解析由题意得：，，则()2()α+β=α+β+2αβ≤α+β+α+β=2α+β，α=β当且仅当时等号成立，α+β≤2(α+β=)2sinγ，即即α+β−cosγ≤2sinγ−cosγ，0≤sinγ≤1π则有0≤cosγ≤1，则2π≤γ≤+2π，kZ,∈2ππ单调递增，γ在上单调递减，sinγ2π，+2π2π，2π+有在22π故2sinγ−cos在γ2π，+2π上单调递增，2πγ=+sinγ=1cosγ=02π时，即、时，则当22sinγ−cosγ有最大值2，α+β−γcos的最大值为2.故答案为：2.即四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f(x)(1)讨论函数的极值；=x−2ax−a.e(2)当a>0时，求函数f(x)的零点个数.′(x)=ex2a；−解析（1）由题意得：f………………1分当2a0，即≤a≤0a>0时，恒成立，在上单调递增，无极值；………………分fx0fxR2f′(x)=0，解得：x=2a，………………分3当2a0，即>时，令∴x∈(−∞,ln2a)f′(x)<0；当x∈(2a,+∞)fx0时，当时，；(−∞)(+∞)上单调递增，………………5分fx在,2a上单调递减，在2a,()=−6fx的极小值为f2aa2a2a，无极大值；………………分()fx()fx极小值为综上所述：当a0时，≤无极值；当a>0时，a−2a2a，无极大值.………………7分()(−∞,ln2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增；fx（2）由（）知：当a0时，>在e()=−>∴()>()9当0<a<时，f2aa2a2a0，fx0恒成立，fx无零点；……………分2e()=−=()当a=时，f2aa2a2a0，fx有唯一零点x=2a；………………10分2e()=−<()x()0，当趋近于正无穷大时，fx也趋近于正无穷当a>时，f2aa2a2a0，又f0=1−a>2大，()(+∞)()fx在2a和2a,上各存在一个零点，即fx有两个零点；………………分e()时，fx无零点；综上所述：当0<a<2e()时，fx有且仅有一个零点；当a=当a>2e().时，fx有两个不同的零点………………分2n16.（分）已知把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．(1)当n=12时，设两个人座位之间空了XX的分布列及数学期望；(2)若另有m把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅1(>>)m,nmn3子坐下，若两人选择相邻座位的概率为，求整数的所有可能取值．14解析（1）由题意，得随机变量X可以取2,3,4,5，……………分(i=2,3,4)，……………3分112×22(=i)==PX其中A2111212×11(=5)==PX，……………4分A21112所以随机变量X的分布列为：X012345122222P111111111122222125故E(X)=×+×+×+×+×+×=．……………6分01234511111111111111n（2）记“两人选择把相同的椅子围成的圆环为事件A，“两人选择m把相同的椅子围成的圆环为事件B，“两人选择相邻座位为事件C．因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，12121414所以P(A)=×=,P(B)=，……………8分()=()+()=()(PCPACPBCPAPCA)+P(B)PCB)14n×2(−)nn114m×2111−=×+×=+．……………分(−)−mm12n1m111117因为P(C)化简，得n=，所以+=．14n−1m−149=8+．m−849m−849m−8因为mnn>>∈N*，所以∈Z，且>−5．所以m−8=7,49，即m=9,15,57，……………分m=m=m=57,此时或或n=15n=57n9.=m=m=m=57,的所有可能取值为或或n=15m,n所以……………分n=57n9.=17分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，EF//平面AB−CD，EAB为等边BC=CE=2AB=2EF,∠ABC=60°三角形，．(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值．解析（1）不妨设AB=1，则BCCE2，==在平行四边形ABCD中，BC=2，AB=1，ABC60，连接，∠=°由余弦定理得AC2=12+2−2×1×1×cos60°=3，即AC=3，……………2分2∴AC⊥AB.，∴4ACAC2+AB2=BC2，……………分ABAE=A，2+AE2=CE2，⊥⊥平面⊂平面ABCD.∴⊥平面平面ABCD.……………6分（2）取中点G，连接EGEA=EB，EGAB，∴⊥3由（）易知平面⊥ABCD，且=.2如图，以A为原点，分别以射线AB,AC所在直线为A−xyz，……………8分x,y轴，竖直向上为z轴，建立空间直角坐标系31233D−3,0)，()()C−23,3，则E,0,，F,，C3,0)，B−2,23,0，11222CD1333=(−1,0,0，)FC=,−EC=−,3,−，，……………分2222⋅=0nCD=(x,y,z)，则设平面FCD的法向量为n，n⋅FC=0−x=0=()，令y1，得=，……………12分得33y−z=022⋅=0mCD=(x,y,z)m设平面ECD的法向量为，则，111m⋅EC=0−x=0112=(2)，令11，得=，……………分得3−x+3y−1=0112m⋅ncosm,n=3310==，m⋅n2×51031010所以平面ECD与平面FCD夹角的余弦值.……………17分18分）已知抛物线C：y(1)求抛物线C的方程；2=2px（0<p<5）上一点M的纵坐标为3，点M到焦点距离为5.(2)过点1,0)作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线l与l，l与l相交于点D，过点A作1212直线垂直于，过点B作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与轴交于点P、、Qllllllllllx3142341234R、S.记方程.、DAB、ABE、△ERS的面积分别为S1、S、S、SSS=4SS.若，求直线的12342349=2pt9p()+=5解析（1Mt,3，由题意可得，即，pt+=52p22p=1p=9……………分y2=2x.4解得或C的方程为（2）如图，()()=my+1（m∈R5……………分设经过Ax,y，Bx,y两点的直线方程为l：x1122AB与抛物线方程y2=2x联立可得y2=2my+2，即y2−2my−2=0，∆=+>4m280，∴y+y=2myy=2.，……………分6121211∵y2=2x，则y=±2x，∴y'=±=，2xy11y12=(xx)1−+=x+∴过点A作C的切线方程为ly，1111212y212y令y=0，得x=−，即P−,0.……………7分12同理，过点B作C的切线方程为ly=x+，2222y222y22令y=0，得x=−，即Q−,0.……………分8y222y212PQ=−∴.1121y21+yy=x+x=y=2=−11D(m)，……………9分联立两直线方程，解得，即1y22y=x+2=my22−1−m⋅m−1m+22则D到直线的距离ld=D−AB=.……………10分ABm2+1m2+1ll1又∵过点A作直线垂直于，3y3l=−++=−++直线的方程为y1x1111x11，32212122y令y=0，得x=+1R+1,0.，即y3l=−++y2，同理，直线的方程为yy2x242222y222y2y2212令y=0，得x=+1S+1,0.RS=−.，即∴23y2+y22+1y12y=−1x+y=−y2x++1+y2x=12+12联立两直线方程，解得，(2+)y231y1y2y=−22=2+2x2m整理后可得，即(2+2m)，……………12E2m分y=2m2m2+2−m⋅2m−11则E到直线的距离ld=E−AB=.……………14分ABm2+12m+111y22122S=PQ⋅yD=−m，由上可得12221m+22S2=AB⋅dd−AB==ABAB，22