衔接点04 几何图形（解析版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

衔接点04几何图形小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。题型探究题型1、割补法求面积（一）平移与对称 3题型2、割补法求面积（二）旋转 8题型3、和差法求面积 11题型4、整体代换法 16题型5、等积变换法求面积（体积） 18题型6、差不变思想（原理） 22题型7、容斥原理（韦恩图） 24题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 27题型9、立体图形的拼切重组问题 31培优精练A组（能力提升） 37B组（培优拓展） 451、基本公式正方形：；。长方形：；。平行四边形：。三角形：。梯形：。圆：；。正方体表=；长方体表；圆柱体、圆锥体（:高；：底面积；:底面半径）圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积：2、求几何图形面积常见方法及运用：1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。题型1、割补法求面积（一）平移与对称【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（23-24六年级·四川·期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图形的面积时都有用到，请用已学知识和方法来解决下面的问题吧。如图1，若AD＝8厘米，BC＝16厘米，求阴影部分的面积。先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。【答案】作图见详解；32平方厘米【分析】将上边两块阴影部分可以割补到下边，拼成2个三角形，左边三角形的底和高都等于圆的半径，右边三角形的底＝BC－圆的半径，右边三角形的高＝圆的半径，根据三角形面积＝底×高÷2，分别求出两个三角形的面积，相加即可。【详解】如图：8÷2＝4（厘米）4×4÷2＋（16－4）×4÷2＝8＋12×4÷2＝8＋24＝32（平方厘米）答：阴影部分的面积是32平方厘米。【点睛】熟练运用转化思想，通过图形割补将阴影部分的面积转化成两个三角形的面积和是解决本题关键。例2．（23-24六年级下·江苏·课后作业）求涂色部分的面积。（单位：厘米）【答案】48平方厘米【分析】据图中可得：阴影部分面积由左右两侧的阴影部分面积，我们可以将左侧阴影部分移动到右侧半圆左上方，可以拼接成一个底为8里面，高为6厘米的平行四边形。根据平行四边形面积=底×高得出答案。【详解】如图：涂色面积为：（平方厘米）例3．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是()平方厘米。【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）变式1．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）已知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我们学过的图形运动求出涂色部分的面积吗？【答案】6.28平方厘米【分析】如图所示，以点O所在的水平直线为对称轴，可将下方的两个涂色部分通过轴对称变换到上方，则涂色部分可转化为半个圆环。连接OA，OB得到三角形AOB，因为三角形AOB的面积＝大圆的半径×大圆的半径÷2＝×正方形ABCD的面积，据此求出大圆半径的平方；根据小圆的直径＝正方形的边长求出小圆的半径，利用半个圆环的面积＝（大圆的面积－小圆的面积）÷2，求出半个圆环的面积也就是涂色部分的面积，据此解答。【详解】把大圆的半径看作R在三角形AOB中，有正方形ABCD的面积为16平方厘米，则正方形ABCD边长为4厘米。4÷2＝2（厘米），因此小圆的半径为2厘米。3.14×（8－22）÷2＝3.14×（8－4）÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（平方厘米）答：涂色部分的面积是6.28平方厘米。变式2．（23-24六年级·湖南·期中）求出阴影部分的面积和周长。

【答案】面积9cm2；周长15.42cm【分析】如图，把右面阴影圆补到左边空白部分，这样阴影部分组成一个边长为3cm的正方形；根据正方形的面积＝边长×边长，即可求出阴影部分的面积。阴影部分的周长＝圆周长的一半＋2个3cm的线段，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可求解。【详解】阴影部分的面积：3×3＝9（cm2）阴影部分的周长：2×3.14×3÷2＋3×2＝9.42＋6＝15.42（cm）阴影部分的面积是9cm2，阴影部分的周长是15.42cm。变式3．（2024·浙江·小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积。

【答案】18.24平方厘米；平方厘米【分析】（1）连接CD、DB发现ABDC是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面。则阴影部分的面积＝扇形面积－正方形面积，其中扇形是一个圆心角为90°，半径为8厘米的扇形，则扇形的＝。正方形的面积＝边长×边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个直角三角形的面积和。则直角三角形ACD面积＝底×高×＝直径×半径×，则正方形的面积＝直径×半径××2＝直径×半径。（2）连接CO，则阴影部分面积平行四边形的面积－扇形面积－三角形面积。平行四边形的面积＝底×高；三角形BOC是一个等腰三角形，则两个底角都是30°，则顶角就是120°即∠BOC＝120°，∠BOC和∠AOC合在一起是平角，为180°，则∠AOC＝60°。则扇形AOC的圆心角是60°。扇形AOC面积＝＝，半径是平行四边形底的一半。三角形面积＝底×高×，底是半径，高是平行四边形的高。【详解】（1）连接CD、DB，＝＝＝＝18.24（平方厘米）则阴影部分的面积是18.24平方厘米。（2）（平方厘米）＝180°－（180°－60°）＝180°－120°＝60°＝＝（平方厘米）（平方厘米）＝＝（平方厘米）则阴影部分的面积是3.16平方厘米。题型2、割补法求面积（二）旋转【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取）【答案】平方厘米【分析】如图，通过割补可知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的。根据，代入数据计算即可。【详解】（平方厘米）即阴影部分面积是平方厘米。例2．（2024六年级下·江苏·培优）如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？【答案】33％【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组成的圆环面积的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然后在求出大圆的面积，用图中阴影部分的面积除以大圆的面积即可．【详解】S阴影=π×102+（62-22）=33πS大圆=π×102=100π33π÷100π=33％变式1．（2021·江苏扬州·小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是()平方厘米。【答案】20【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面积的，正方形面积就是重叠部分的面积×4，即可解答。【详解】5×4＝20（平方厘米）【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。变式2．（2023·山东·小升初模拟）求阴影部分面积。（单位：cm，π取3.14）（1）

（2）【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90°然后再平移，阴影部分的面积相当于底是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出阴影部分的面积。（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积恰好是上底为4，下底为7，高为4的梯形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。【详解】（1）8×4÷2＝32÷2＝16（平方厘米）阴影部分的面积是16平方厘米。（2）（4＋7）×4÷2＝44÷2＝22（平方厘米）阴影部分的面积是22平方厘米。题型3、和差法求面积【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2024六年级下·江苏·专题练习）求下面各图涂色部分的面积。【答案】44dm2；9.435dm2【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8＋6）dm，高为8dm的三角形的面积即可；（2）用上底为3dm，下底为4dm，高为（3＋4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的，再减去底和高都为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积。【详解】8×8＋6×6－（6＋8）×8÷2＝64＋36－14×8÷2＝100－112÷2＝100－56＝44（dm2）例2．（23-24六年级·浙江·期中）如下图，将直径AB为的半圆绕A逆时针旋转，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（计算结果保留）【答案】平方厘米【详解】阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积．（平方厘米）答：阴影部分的面积是平方厘米．【点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积是解题的关键．例3．（23-24六年级上·广东深圳·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，为直角，是的中点，厘米，圆弧、的圆心分别在、两点，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）【答案】【分析】由于三角形ABC是等腰直角三角形，则∠CAB＝∠CBA＝45°，圆弧GE和圆弧HF的半径相等，则这两部分能够组成一个半径是20÷2＝10厘米，圆心角是90°的扇形，根据扇形的面积公式：S＝×πr2，把数代入即可求解，圆弧ED和圆弧FB中的空白部分能够组成一个正方形，圆弧ED和圆弧FD能够组合成一个半径是10厘米，圆心角是90°的扇形，用这两个圆弧的面积减去正方形的面积即可求出三角形内阴影部分的面积，知道正方形的对角线的长度，则面积＝对角线×对角线÷2，之后两部分的阴影部分面积相加即可。【详解】3.14×（20÷2）2×＝3.14×100×＝314×＝78.5（平方厘米）78.5＋（78.5－10×10÷2）＝78.5＋28.5＝107（平方厘米）答：图中的阴影部分面积是107平方厘米。【点睛】本题主要考查扇形的面积公式以及正方形的面积公式，要注意正方形的面积可以用两条对角线相乘除以2即可。变式1．（2024六年级·广东·期中）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面积为()平方厘米。（取）【答案】32.5【分析】阴影部分的面积＝扇形的面积＋正方形的面积－空白部分的面积。扇形是一个直角扇形，则扇形的面积＝×圆的面积＝。正方形的面积＝边长×边长，直角三角形是一条直角边是正方形的边长为4厘米，另外一条直角边是正方形的边长与扇形半径长之和，则直角三角形的面积＝两条直角边的乘积÷2。【详解】××72＋4×4－（7＋4）×4÷2＝＝＝＝32.5（平方厘米）则阴影部分的面积为32.5平方厘米。变式2．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为()平方厘米。（结果保留，不取近似值）【答案】【分析】长方形的面积－扇形CBF的面积＝不规则图形ABFD，阴影部分的面积＝扇形ABE－不规则图形ABFD。长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝。注意：结果保留，不取近似值。【详解】扇形CBF的面积：＝＝4（平方厘米）不规则图形ABFD：4×6－4＝（24－4）平方厘米扇形ABE面积：＝＝9（平方厘米）阴影部分的面积：＝＝（）平方厘米则图中阴影部分的面积是为（13π－24）平方厘米。【点睛】因为长方形的四个角都是90°，扇形CBF的圆心角为90°，即它的的面积是以半径为4厘米的圆的，同理扇形ABE的面积是以半径为6厘米的圆。求扇形的面积要先求出所在圆的面积。变式3．（23-24六年级·江苏·期末）数学思考。如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）【答案】87.5平方厘米【分析】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。【详解】10×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米）5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米）75＋12.5＝87.5（平方厘米）答：空白部分的面积是87.5平方厘米。【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键。题型4、整体代换法【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。例1．（23-24六年级·四川成都·期末）如图所示，O为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米，圆环的面积是平方厘米。【答案】25.12【分析】假设小圆的半径为r，大圆的半径为R，则小正方形的边长为r，大正方形边长为R，阴影部分面积＝R2－r2＝8（平方厘米），根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2）整体代入求解即可。【详解】解：设小圆的半径为r厘米，大圆的半径为R厘米，则小正方形的边长为r厘米，大正方形边长为R厘米，阴影部分面积＝R2－r2＝8（平方厘米），圆环的面积：3.14×（R2－r2）＝3.14×8＝25.12（平方厘米）【点睛】本题主要考查了圆与组合图形，假设未知数然后进行整体代换是本题解题的关键。例2．（2034·浙江·小升初模拟）在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。【答案】400平方厘米【分析】根据题意，三角形ABC为等腰直角三角形，所以∠A＝∠B＝45°，因为阴影部分①与②面积相等，所以扇形AEF的面积就等于三角形ABC的面积，整个圆面积的圆心角为360°，可用扇形AEF的面积除以∠A占整个圆心角的几分之几即可得到答案。【详解】10×10÷2÷＝100÷2÷＝50÷＝400（平方厘米）答：扇形所在的圆的面积为400平方厘米。【点睛】解答此题的关键是利用等量代换计算扇形的面积，然后再用扇形的面积除以扇形的圆心角占整个圆心角的分率即是扇形所在圆的面积。例3．（23-24六年级上·河南周口·期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多平方厘米，求阴影部分的面积。【答案】5.7平方厘米【分析】设大正方形的边长是a，利用大正方形与小正方形面积的关系求a2的值，然后利用圆的面积减去小正方形的面积，求阴影部分的面积。【详解】设大方形的边长是aa2－a2＝10；a2＝10；a2÷＝10÷；a2÷＝10÷；a2＝10×2；a2＝20阴影部分的面积：3.14×20×－×20＝62.8×－10＝15.7－10＝5.7（平方厘米）答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键把组合图形转化成规则图形，利用规则图形面积公式计算。变式1.（2024六年级上·江苏·专题练习）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积。【答案】157平方米【分析】要计算圆环的面积，就要已知圆环内、外半径的具体数值，因为题中未给出，只是提供了阴影部分面积是25平方米，这就要首先思考阴影部分面积与圆环面积具有哪些联系；S阴影＝S大直角三角形－S小直角三角形＝R2－r2＝25，要计算圆环面积可将外半径的平方与内半径的平方之差推导出即可，R2－r2＝50，那么圆环的面积就是π（R2－r2）＝157（平方米）。【详解】如图：S阴影＝S大直角三角形－S小直角三角形＝R2－r2＝（R2－r2）＝25即R2－r2＝50所以π（R2－r2）＝3.14×50＝157（平方米）变式2．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积是()平方厘米。【答案】132【分析】直角三角形的面积＝底×高÷2，刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面积可以表示为r×r÷2＝25，圆的面积＝πr2，求出圆的面积减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积。【详解】解：设圆的半径是r。r×r÷2＝25；r2＝25×2；r2＝50圆的面积：＝πr2＝3.14×50＝157（平方厘米）空白部分的面积：157－25＝132（平方厘米）空白部分的面积是132平方厘米。【点睛】此题考查不规则图形面积的计算方法，利用圆的面积公式求出圆的面积是解题的关键。题型5、等积变换法求面积（体积）【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。例1．（2022·安徽黄山·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是()cm2。【答案】12【分析】由图可知，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，由此求出三角形的面积占三角形面积的分率，最后用乘法求出三角形的面积。【详解】因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×27＝18（cm2）；因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×18＝12（cm2）；由上可知，三角形的面积是12cm2。【点睛】根据三角形底边的关系找出三角形的面积关系是解答题目的关键。例2．（2024六年级·山东·培优）如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，，M是CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少？【答案】2平方厘米【分析】如下图所示，连接OC、OD、OH，则扇形AOC、COD、DOB的面积相等，都等于半圆面积的，又因为三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形COD面积的一半，从而可以求出阴影部分的面积。【详解】12××＝4×＝2（平方厘米）答：图中阴影部分的面积是2平方厘米。【点睛】解答本题的关键是作出合适的辅助线，得到阴影部分与半圆的面积的关系。例3．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？【答案】396毫升【分析】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。【详解】462毫升＝462立方厘米圆柱的底面积：462÷（12＋2）＝462÷14＝33（平方厘米）瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米）396立方厘米＝396毫升答：瓶内装有果汁396毫升。【点睛】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。变式1．（22-23六年级上·浙江温州·期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？【答案】440平方米【分析】连接BD，如图所示：三角形面积＝底×高÷2，三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE＝2AE，那么三角形BEF的面积是三角形AEF面积的2倍；FG＝GD，那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么这两个三角形的面积相等；同理，BH＝HC，那么三角形BHD和三角形HCD等底等高，面积相等。将空白部分的面积相加，求出种植郁金香的面积即可。【详解】25×2＝50（平方米）50＋150＋150＋90＝440（平方米）答：郁金香的面积是440平方米。【点睛】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法求组合图形的面积是解题的关键。变式2．（23-24六年级上·湖南怀化·期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。【答案】平方厘米【分析】如图，连接OC、OD、CD，三角形ACD和三角形OCD等底等高，则三角形ACD的面积等于三角形OCD的面积，求阴影部分的面积即求扇形OCD的面积，据此解答。【详解】因为C、D是半圆弧上的三等分点，所以圆心角∠COD＝60°分析可知，阴影部分的面积＝扇形OCD的面积（平方厘米）答：阴影部分的面积是平方厘米。【点睛】把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积是解答题目的关键。变式2．（2024六年级上·湖北·培优）一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是cm3。【答案】400【分析】容器的容积是1000立方厘米，水的体积是700立方厘米，铁块被淹没的体积是300立方厘米，被淹没的高度是6厘米，求出铁块的底面积，再计算其体积。【详解】（cm3）（cm3）（cm3）（cm2）（cm3）【点睛】本题考查的是立体几何中的浸水问题，注意区分完全淹没与不完全淹没的区别。题型6、差不变思想（原理）【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。例1．（23-24六年级·湖北黄冈·期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。【答案】8.1厘米【分析】根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，然后除以2，即是半圆的面积，再加上1.25，求出直角三角形ABO的面积；已知直角三角形ABO的面积和高，根据三角形的底＝面积×2÷高，即可求出直角三角形ABO的边OA的长。【详解】半圆的面积：3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方厘米）直角三角形的面积：39.25＋1.25＝40.5（平方厘米）OA的长：40.5×2÷10＝81÷10＝8.1（厘米）答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。【点睛】关键是利用空白部分，把不规则图形甲、乙的面积差，转化成规则图形半圆和直角三角形的面积差，然后灵活运用圆的面积、三角形的面积公式求解。例2．（2024六年级·广东·培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积．【答案】50平方厘米．【分析】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米．【详解】解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）．平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）．答：平行四边形的面积为50平方厘米．变式1.（2024.成都市六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析】因为三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，都加上梯形ADCF后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即正方形ABCD比直角三角形ADE的面积大20平方厘米，从而求得直角三角形ADE的面积，再减去直角三角形ADC的面积，即得出阴影部分的面积．解析：10×10－20－10×10÷2=100-20-50＝30（平方厘米）答：阴影部分的面积是30平方厘米。变式2．（2023·辽宁沈阳·六年级校考期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？【答案】32.8厘米【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。【详解】3.14×（）2＝1256（平方厘米）1256÷2＝628（平方厘米）628＋28＝656（平方厘米）656×2＝1312（平方厘米）1312÷40＝32.8（厘米）答：AB有32.8厘米长。【点睛】本题的关键是结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成规则。题型7、容斥原理（韦恩图）【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。例1．（23-24六年级·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。【答案】4厘米【分析】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；说明上面阴影部分面积比下面阴影部分面积多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加S1是长方形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出长是3厘米，宽是5厘米的长方形的面积；再用长方形的面积减去2.44平方厘米，求出扇形的面积，再乘4，就是这个扇形所在圆的面积，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，即可求半径。【详解】（3×5－2.44）×4÷3.14＝（15－2.44）×4÷3.14＝12.56×4÷3.14＝50.24÷3.14＝16（平方厘米）4×4＝16，扇形所在圆的半径是4厘米。答：图中扇形所在圆的半径是4厘米。【点睛】解答本题的关键明确长方形面积减去两个阴影部分的面积的差就是扇形的面积，再根据长方形面积公式和圆的面积公式进行解答。例2．（2024六年级下·江苏·培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？【答案】8平方厘米【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2），由此即可求出答案．【详解】解：20×3-36-8×2=60-36-16=8（平方厘米）答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米．变式1．（23-24六年级·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）

【答案】6平方米【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2＝3.5325＋6.28＋6－9.8125＝6（平方米）阴影部分的面积是6平方米。变式2．（2024六年级下·广东·培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积．【答案】28.5平方厘米【详解】如图：阴影部分面积是扇形DBC与扇形EAC的重叠部分，所以阴影部分面积等于扇形DBC，扇形EAC面积之和减去三角形ABC的面积3.14×102××2-×10×10=28.5（平方厘米）变式3.（2024.广东六年级期中）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？【解析】根据容斥原理得，所以（平方厘米）题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。例1.（2024六年级·广东·月考）在一张边长是10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。小明想到了三种剪的方法（如下图）。剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米）【答案】76平方厘米；40厘米、48厘米、52厘米【分析】根据对图中信息的了解，这三个长方形都是减去了一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形，计算面积的时候，用原来的面积减去长为6厘米，宽为4厘米的长方形的面积，得到的就是它们的面积；计算它们的周长时，利用平移法，将图中的长和宽平移，不难发现，第一个图形的周长不变，第二个图形的周长多了两条宽，第三个图形多了两条长，据此计算。【详解】剩余部分的面积：10×10－6×4＝100－24＝76（平方厘米）剩余部分的周长：10×4＝40（厘米）10×4＋4×2＝40＋8＝48（厘米）10×4＋6×2＝40＋12＝52（厘米）答：剩余部分的面积都是76平方厘米，剩余部分的周长分别是40厘米、48厘米、52厘米。例2.（2024六年级下·浙江·期中）一个等腰三角形其中两条边分别是和，这个三角形周长是()；用两个这样的三角形拼成一个平行四边形，周长最短是()。【答案】2226【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，来确定这个三角形的腰是多少厘米，再进行解答；（2）拼成的平行四边形只有以这两个三角形的最长的两条边重合，这个平行四边形的周长就最短。如下图所示：【详解】（1）因4＋4＝8（厘米），8＜9，不符合题意。9＋9＝18（厘米），18＞4，符合题意，所以这个等腰三角形的腰是9厘米。9＋9＋4＝22（厘米）。答：这个三角形的周长是22厘米。（2）（4＋9）×2＝13×2＝26（厘米）故答案为：22厘米、26厘米。【点睛】灵活运用三角形的任意两边之和大于第三边；最长的两条边重合，拼成的图形周长最短。例3.（2024六年级·绵阳市·期中）把一个半径为10厘米的圆平均分成若干份，剪开后可拼成一个近似的长方形，那么这个长方形的周长是()厘米。（取3.14）【答案】82.8【分析】把圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的宽＝圆的半径，长方形的周长比圆的周长多了2条半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出圆的周长，再加半径×2即可。【详解】2×3.14×10＋10×2＝62.8＋20＝82.8（厘米）这个长方形的周长是82.8厘米。例4.（2024六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了()平方厘米。【答案】220【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。【详解】20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米）【点睛】本题考查了图形的折叠问题，动手折一折能更直观的看出减少部分面积就是三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽。变式1.（23-24五年级下·江苏·期中）如下图所示，把平行四边形从左边沿高剪下一个三角形平移到右边，就成了一个长8厘米，宽6厘米的长方形，原来平行四边形的底是()厘米，高是()厘米，面积是()平方厘米。【答案】648【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，长方形是特殊的平行四边形。平移前后，平行四边形与长方形的面积相等。【详解】长方形的长为8厘米，它的对边也是8厘米，与原来平行四边形的底相等；长方形的宽为6厘米相当于平行四边形的高；平行四边形的面积等于长方形的面积。8×6＝48（平方厘米）【点睛】本题考查平行四边形和长方形的特征，平行四边形的面积＝底×高。变式2.（23-24六年级·湖北·期末）青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是，高是8cm，平行四边形EBHG中BH的长是()cm。【答案】10【分析】可以判断，平行四边形的面积与梯形面积相等。只要知道平行四边形的高，就能结合面积公式求出底。根据条件可以判断，平行四边形的高是梯形高的一半，也就是4厘米。【详解】8÷2＝4（厘米）40÷4＝10（厘米）【点睛】本题考查梯形和平行四边形的面积。变式3．（23-24六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是()cm。【答案】29.6【分析】如下图，由题意可知：△ABD折叠后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，阴影部分的周长＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即阴影部分的周长＝（长＋宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可。

【详解】（10＋4.8）×2＝14.8×2＝29.6（cm）所以阴影部分的周长是29.6cm。【点睛】解决此题关键是明确折叠前后对应边相等。变式4．（23-24六年级下·辽宁·月考）做一做，剪一剪。（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？（2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？【答案】（1）纸带会变成一个更大的细纸环。（2）一个小环套着一个大环。【分析】通过动手进行实际操作，发现：（1）如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环；（2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，就会出现一个小环套着一个大环。【详解】（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，发现：纸带会变成一个更大的细纸环。（2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，发现：一个小环套着一个大环。【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。题型9、立体图形的拼切重组问题【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。例1．（2022·浙江宁波·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。（1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开过论。请据他们的思考过程解决问题。①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（

）立方米和（

）立方米之间。”②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”请根据小锋的方法计算该泳池的容积。（2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（

）（3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（

）小时。【答案】（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5【分析】（1）①割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米）补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米）泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），可求出泳池体积为3500÷2＝1750（立方米）。（2）在空的泳池内以均匀的注水速度往池内注水，则首先填满⑴①中割去部分，则填满该部分时恰好达到1.6－1.2＝0.4米水深，填满该部分前，随着水位上升，其水所占体积的高度和底面积随着时间增长都增大，该部分水的体积变化呈逐渐增大的趋势，又因为选项C填满该部分的过程即高度达到0.4米前呈逐渐增大的趋势，且深度变化不断放缓，所以答案应该是选项C。（3）由⑴②得泳池体积为1750立方米，填满冰池需要1750÷140＝12.5（小时），所以a表示的数是12.5小时。【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米）50×25×1.6＝2000（立方米）所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。②50×25×（1.6＋1.2）÷2＝1250×2.8÷2＝3500÷2＝1750（立方米）答：泳池的容积是1750立方米。（2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。（3）1750÷140＝12.5（小时）所以图中的a表示的数是12.5小时。【点睛】本题考查长方体的体积（容积）公式实际运用，学会通过统计图获取并分析数据，解决实际问题。例2．（2020·江苏无锡·小升初真题）如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是()∶()；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是()∶()。【答案】1417【分析】（3）根据题意可知，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，说明小三角形的高：大三角形的高＝1∶2，小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2，又因为三角形的面积＝底×高÷2，所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4（2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2，则小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2，即小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝1∶4，又因为圆锥的体积＝底面积×高×，所以小圆锥体积∶大圆锥的体积＝1∶（2×4）＝1∶8，据此可以求出小圆锥与剩余部分的体积比。【详解】（1）小三角形的高：大三角形的高＝1∶2小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2因为三角形的面积＝底×高÷2所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4（2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2则小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝（π×）∶（π×）＝1∶4因为圆锥的体积＝底面积×高×所以小圆锥体积∶大圆锥的体积＝（1×1×）∶（4×2×）＝＝1∶8小圆锥与剩余部分的体积比＝1∶（8－1）＝1∶7【点睛】根据比的意义找出剪切后图形与原来的图形的对应边长的倍数关系是解决此题的关键，利用高或底的比推算出面积比，掌握三角形面积和圆锥体积的计算公式。例3．（2024六年级上·山东·培优）如图8所示，一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去一个横截面是边长为3厘米的正方形的正方体（都和对面打通）．求这个立体图形的体积．【答案】784立方厘米【分析】挖去的前后、左右、上下三个长方体在正方体内部的中间位置相交，形成一个空的小正方体．本题的一般解法是用大正方体的体积减去三个长方体的体积．必须注意：三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算．【详解】此立体图形的体积等于正方体的体积减去前后、左右、上下六长方体的体积．正方体的体积为10×10×10=1000（立方厘米）前后长方体的体积为3×3×10=90（立方厘米）同理，左右长方体和上下长方体的体积也是90立方厘米．正方体内部的小正方体的体积为3×3×3=27（立方厘米）因此，此立体图形的体积为1000-90×3+27×2=1000-270+54=784（立方厘米）【点睛】三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算．变式1．（23-24六年级下·山东德州·期中）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是立方分米。【答案】6.28【分析】把一个圆柱体木料沿着与底面平行的方向截成两部分，增加的表面积是圆柱的2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径。把这个圆柱体木料沿着直径截成两部分，增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高。最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这个圆柱的体积。【详解】圆柱的底面积：6.28÷2＝3.14（平方分米）底面半径的平方：3.14÷3.14＝1（平方分米）因为1＝1×1，所以圆柱的底面半径是1分米。圆柱的底面直径：1×2＝2（分米）圆柱的高：8÷2÷2＝2（分米）圆柱的体积：3.14×2＝6.28（立方分米）所以圆柱的体积是6.28立方分米。【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。变式2．（2021·江苏苏州·小升初真题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜卷的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已如薄膜的厚度为0.02厘米，则薄膜展开后的长度是多少米？【答案】131.88米【分析】由题图可知，缠绕在一起的塑料薄膜是空心圆柱形，已知底面外直径是20cm，底面内直径是8cm，高是100cm，根据圆柱的体积公式即可求出塑料薄膜的体积。塑料薄膜卷展开后为长方体，它的厚度即是长方体的高，空心圆柱的高即是长方体的宽，要求塑料薄膜卷展开后的长度，就是求长方体的长。因为塑料薄膜卷展开前、后的体积是不变的，所以根据“长方体的长＝长方体的体积÷长方体的宽÷长方体的高”就可以求出塑料薄膜卷展开后的长度。【详解】20÷2＝10（厘米）8÷2＝4（厘米）塑料薄膜的体积：（即展开后长方体的体积）3.14×（102－42）×100＝3.14×（100－16）×100＝3.14×84×100＝263.76×100＝26376（立方厘米）26376÷100÷0.02＝263.76÷0.02＝13188（厘米）13188厘米＝131.88米答：薄膜展开后的长度是131.88米。【点睛】本题考查了圆柱体和长方体认识。了解薄膜展开后的长方体的宽就是圆柱的高100厘米，，长方体的高就是薄膜的厚度0.02厘米，再利用长方体的体积除以宽除以高得薄膜展开后的长是解答本题的关键。变式3．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。【答案】455立方厘米【分析】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。【详解】624＝2×2×2×2×3×13长＞宽＞高长是13厘米，2×2×3＝1212＝5＋7宽为7厘米，高为5厘米，13×7×5＝455（立方厘米）答：这个长方体的体积是455立方厘米。【点睛】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。A组（能力提升）1．（2024·北京·小升初模拟）如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（

）cm2。A．25 B．50 C．75 D．100【答案】B【分析】如图所示，阴影①、②与空白③、④的面积相等，将阴影①、②移到空白③、④的位置，则这个等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份，所以阴影部分的面积就变成了原来等腰直角三角形的面积的一半，利用三角形的面积公式即可求解。【详解】20×（5×2）××＝200×＝50（cm2）故答案为：B【点睛】解答此题的关键是明白：阴影部分的面积是原来等腰直角三角形的面积的一半。2．（2023秋·山东潍坊·六年级校考期末）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的（

），表示为（

），三角形的高是圆的半径的（

）倍，表示为（

），圆形和三角形的（

）相等。请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程。【答案】；；4；4r；面积；见详解【分析】从图中可以看出，拼成的近似三角形的底是圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr得出三角形的底是；三角形的高是圆的半径的4倍，即高是4r；因为圆的面积等于三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，即可推导出圆的面积公式。【详解】如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的，表示为，三角形的高是圆的半径的4倍，表示为4r，圆形和三角形的面积相等。三角形的面积＝底×高÷2圆的面积＝×4r÷2＝πr2所以，圆的面积S＝πr2。【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，把圆剪拼成一个近似三角形，找出三角形的底、高与圆周长、半径的关系是解题的关键。3．（2023春·江苏无锡·六年级专题练习）芳芳用一张长10厘米的长方形纸如右图进行翻折，折出的平行四边形面积比原来少了15平方厘米。这张长方形纸的宽是()厘米，折成的平行四边形的面积是()平方厘米。【答案】535【分析】通过观察图形可知，折成的平行四边形比原来长方形的面积减少了15平方厘米，面积减少的部分是两个完全一样三角形的面积，已知每个三角形的底是3厘米，三角形的高等于原来长方形的宽，这两个完全一样的三角形可以拼一个长方形，根据长方形的面积＝长×宽，那么宽＝面积÷长，把数据代入公式求出长方形原来的宽，用原来长方形的面积减去15平方厘米就是折成的平行四边形的面积。【详解】15÷3＝5（厘米）10×5－15＝50－15＝35（平方厘米）所以，这张长方形纸的宽是5厘米，折成的平行四边形的面积是35平方厘米。【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。重点是求出原来长方形的宽。4．（2023春·重庆六年级月考）如图所示的纸带，()是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，()（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。【答案】②不能【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断，图②是莫比乌斯带；根据图①的特点，蚂蚁不爬过纸带的边缘，无法进入纸带的内部，也就无法吃到面包屑。据此解答。【详解】如图所示的纸带，②是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，不能吃到纸带内的面包屑。【点睛】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。5．（2023春·山东青岛·六年级统考期末）求下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）（1）（2）【答案】（1）12.56cm2（2）28.26cm2【分析】（1）把右下角的三角形进行旋转，转到左上角，与左上角的阴影部分组成一个扇形，这样阴影部分的面积即是圆面积的。（2）把右下角的三角形旋转至左上方，也就是把两块阴影部分转化成一个规则的图形——扇形，再计算面积。【详解】（1）3.14×42×＝12.56（cm2）（2）3.14×62×＝28.26（cm2）6．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。【答案】8平方厘米【分析】如下图箭头所示旋转阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。【详解】（平方厘米）答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。7．（2024·湖北武汉·六年级校考期中）下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是()。【答案】100平方厘米/100cm2【分析】由图可知，大圆的半径等于大正方形的边长，小圆的半径等于小正方形的边长，利用环形的面积公式“”求出大圆半径的平方与小圆半径的平方的差，正方形的面积＝边长×边长，阴影部分的面积＝大圆半径的平方－小圆半径的平方，据此解答。【详解】314÷3.14＝100（平方厘米）所以，阴影部分的面积是100平方厘米。【点睛】掌握并灵活运用环形的面积计算公式是解答题目的关键。8．（2020·江苏·小升初真题）（1）计算图1阴影部分的周长；（π≈3）（2）两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积。【答案】（1）29.25厘米；（2）18平方厘米【分析】（1）根据题意可知，阴影部分的周长＝以9厘米为直径的圆周长的一半＋以45°为圆心角，以9厘米为半径的扇形的弧长＋9厘米，根据圆的周长＝πd，弧长＝圆的周长×（扇形圆心角÷360°）分别求出半圆的周长和弧长，最后再加起来即可；（2）根据题意可知：阴影部分的面积＝大正方形的面积＋小正方形的面积－3个空白三角形的面积；最小的空白三角形的底为6厘米，高为6厘米；第二个空白三角形的底为（12－6）厘米，高为12厘米；最大空白三角形的底为12厘米，高为（12＋6）厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，据此解答即可。【详解】（1）9×3÷2＝13.5（厘米）×9×3×2＝×54＝6.75（厘米）13.5＋6.75＋9＝29.25（厘米）答：阴影部分的周长为29.25厘米。（2）6×6÷2＋（12－6）×12÷2＋（12＋6）×12÷2＝18＋36＋108＝162（平方厘米）6×6＋12×12－162＝36＋144－162＝18（平方厘米）答：阴影部分的面积是18平方厘米。【点睛】主要考查组合图形的面积和周长，把求阴影部分的周长或面积等量拆成求几个规则图形的周长或面积的相加相减的形式是解决此题的关键。9．（2023六年级上·河北·专题练习）如图，一只羊被一根30米的绳子拴在一座长方形建筑的一个墙角（图中黑点）上，建筑物长是20米，宽是10米，建筑物周围全是草地，这只羊能吃到的草地的面积是多少平方米？【答案】2512平方米【分析】通过图可知，羊能吃到草的总面积是由三部分组成，分别是半径为30米的圆的，半径为（30－20）米的圆的，半径是（30－10）米的圆的，根据圆的面积公式：S＝πr2，之后求出三个部分的面积，再乘对应的圆的几分之几，之后三个部分面积相加即可。【详解】3.14×302×＝3.14×900×＝2826×＝2119.5（平方米）3.14×（30－10）2×＝3.14×400×＝1256×＝314（平方米）3.14×（30－20）2×＝3.14×100×＝314×＝78.5（平方米）2119.5＋314＋78.5＝2433.5＋78.5＝2512（平方米）答：这只羊能吃到的草地的面积是2512平方米。【点睛】本题主要考查扇形的面积，找出羊所吃的草地面积的3个圆环的半径是解题关键。10.一个高1米的直柱体容器如图1所示，俯视图如图2所示（单位：分米）。容器中有甲、乙两块挡板（挡板的体积忽略不计）将容器分成A、B、C三个区域，其中甲挡板高6分米，乙挡板高8分米。往C区域匀速注水，10分钟后，B区域水的高度是3分米。（1）每分钟注水多少升？（2）如果往C区域注水的同时以同样的速度往A区域注水，多少分钟后，A区域水的高度是B区域的2倍？【答案】（1）每分钟注水6升（2）9.6分钟【分析】（1）先向C区域注水，注满后再流向B区域，当B区域水的高度是3分米时，用此时B、C区域的水的总容积除以10分钟就是每分钟注水多少升；（2）因为A区域的底面积是12平方分米，C区域的底面积是8平方分米，所以相同时间内一定是C区域先注满水后流向B区域。先求B区域注满水需要的时间及此时A区域里水面的高度。再设还需t分钟，A区域水的高度是B区域的2倍。解出的t与B区域注满所需时间求和，即为所求。【详解】（1）2×4×6＋2×2×3＝8×6＋4×3＝48＋12＝60（立方分米）60立方分米＝60升60÷10＝6（升）答：每分钟注水6升。（2）2×4×6÷6＝8×6÷6＝8（分钟）6×8÷（2×6）＝48÷12＝4（分米）设还需t分钟，A区域水位是B区域的2倍，；；；；；；8＋1.6＝9.6（分钟）答：9.6分钟后，A区域水位是B区域的2倍。【点睛】本题考查应用长方体体积公式的灵活变形解决水的容积问题。11．（23-24六年级上·广东深圳·阶段练习）如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。【答案】20.56平方厘米【分析】如图，将阴影部分进行拆分，先计算弓形面积，再计算三角形面积，相加的阴影部分的面积。【详解】如图所示，弓形面积可以用圆的面积减去三角形面积，右图三角形面积直接利用底和高来计算；（厘米）（平方厘米）12．（23-24六年级上·上海普陀·期中）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域。有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（下图所示）是司机视线的盲区。卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线。下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长。【答案】面积18.06平方米，周长33.98米【分析】观察图形可知，“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积＋扇形O2BC的面积－扇形O1AD的面积；“右转危险区”的周长＝弧AD长度＋AB＋CD＋弧BC的长度，据此解答。【详解】10×10－4×4＋3.14×42×－3.14×102×＝100－16＋12.56－78.5＝18.06（平方米）；3.14×10×2×＋（10－4）×2＋3.14×4×2×＝3.14×5＋12＋3.14×2＝21.98＋12＝33.98（米）答：“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米。【点睛】此题考查了有关扇形的周长和面积计算，找出面积和周长都包含哪些部分，认真计算即可。13．（2023·广东·小升初模拟）下图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径画两个半圆，求阴影部分的面积。（π取3.14）【答案】17.325平方厘米【分析】由题意可知：阴影部分的面积＝大圆的面积＋小半圆的面积×2（小圆的面积）－三角形的面积，大圆的直径＝6厘米，两个小圆的直径之和是6厘米，三角形的底和高都是6厘米，据此代入数据即可求解。【详解】根据分析可得：3.14×（6÷2）2＋3.14×（6÷2÷2）2－6×6×＝3.14×32＋3.14×1.52－18＝3.14×9＋3.14×2.25－18＝28.26＋7.065－18＝17.325（平方厘米）所以，阴影部分的面积是17.325平方厘米。B组（培优拓展）1．（2024六年级·湖北·培优）把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉。那么最后所得的立方体的体积是立方厘米。【答案】/【分析】通过观察可知，一共锯掉8个三角锥，每个三角锥的体积相同，三角锥的体积＝×底面积×高，已知三角锥的底面积是一个底为1厘米、高为1厘米的等腰直角三角形，这个三角锥的高也是1厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，用1×1×即可求出一个三角锥的底面积，用一个三角锥的底面积××1即可求出一个三角锥的体积，然后乘8即可求出8个三角锥的体积；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用2×2×2即可求出正方体的体积，再用正方体的体积减去8个三角锥的体积，即可求出剩余立方体的体积。【详解】2÷1＝1（厘米）；1×1×＝（平方厘米）×1×＝（立方厘米）；×8＝（立方厘米）2×2×2＝8（立方厘米）；8－＝（立方厘米）最后所得的立方体的体积是立方厘米。【点睛】解答本题的关键是掌握三角锥体积的求解方法，要注意它的体积求法和圆锥的一样。2．（23-24六年级下·江苏扬州·期末）如图，一张平行四边形的纸沿AB折叠（点A把平行四边形的一条边按2∶3的比分成了两段），阴影部分的面积是12平方厘米。这个平行四边形的面积是()平方厘米。【答案】40【分析】根据题意可知，折成的阴影部分是一个三角形，且该三角形的高与平行四边形的高相等，因为点A把平行四边形的一条边按2∶3的比分成了两段，所以三角形的底长占平行四边底长的，又因为三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形的面积占平行四边形面积的×，再根据分数的除法解决此题即可。【详解】2＋3＝5（份）；×＝；12÷＝12×＝40（平方厘米）【点睛】此题主要考查三角形和平行四边形的关系，等底等高时，三角形的面积＝平行四边形的面积×，注意图形折叠的部分在折叠前后的形状、大小不变。3．（2023·湖北武汉·六年级统考期末）如图中阴影部分的面积是40平方厘米，图中大圆的面积比小圆的面积大()平方厘米。【答案】251.2【分析】假设大圆的半径为R，小圆的半径为r，用含有字母的算式表示图中阴影部分的面积，求出R2－r2的差，进一步求出大圆面积比小圆面积大出的面积。【详解】可以设大圆的半径为R，小圆的半径为r，R2÷2－r2÷2＝40（R2－r2）÷2＝40；（R2－r2）÷2×2＝40×2；R2－r2＝80大圆面积比小圆面积大出的面积：（R2－r2）×π＝80×3.14＝251.2（平方厘米）大圆面积比小圆面积大251.2平方厘米.【点睛】本题运用三角形的面积公式及圆的面积公式进行解答即可。4．（2023春·江苏连云港·六年级专题练习）如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是()平方厘米。【答案】9【分析】标注字母并作出辅助线，如图：根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此重叠部分面积就是正方形面积的。【详解】根据分析可知，重叠部分面积：6×6＝36＝9（平方厘米）如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是9平方厘米。【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。5．（2023春·浙江·六年级专题练习）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是()平方厘米。【答案】6【分析】如图：根据题意得BD＝BC＝6厘米，AD＝AB－BD＝10－6＝4厘米，因为三角形ADE的面积＝×AD×DE，三角形BDE的面积＝×BD×DE，所以三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积＝AD∶BD＝4∶6＝2∶3，又因为三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米），所以三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）。【详解】根据分析得，BD＝6