(学生版+解析)第10讲不等式及不等式组-尖子

第10讲不等式及不等式组知识点1不等式1．不等式的定义不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．注意：凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．2．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞b③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜b（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．3．不等式的解和解集（1）不等式的解的：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（3）解不等式的：求不等式的解集的过程叫做解不等式．【典例】例1（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你认为其中是不等式的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例2（2020春•南昌期末）如图，是某品牌的酒精消毒液，容积为，标注的酒精含量是，此时，每毫升酒精消毒液约是0.85克，设该品牌酒精消毒液含酒精为克，则的取值范围约是．例3（2020秋•奉化区期中）已知关于的不等式，两边都除以，得，试化简：．【方法总结】1．不等式的判定方法用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式． 2．不等式的基本性质①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．判断某个数是否为不等式的解法思路将某个数代入不等式，如果不等式成立，那么这个数是该不等式的解；否则，这个数不是不等式的解．4．求不等式的解集的依据解不等式的依据是不等式的基本性质，要熟练掌握不等式的基本性质．【随堂练习】 1．（2020春•西城区校级期中）用不等式表示“与的差是非正数”．2．（2019秋•长兴县期中）已知，比较下列式子的大小，并说明理由：（1）（2）3．（2020春•济南期中）若，试比较，的大小．知识点2一元一次不等式1．一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．2．解一元一次不等式解一元一次不等式步骤如下①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式性质3，即可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．3．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【典例】例1（2020春•高新区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为．例2（2020春•天心区期末）若是关于的一元一次不等式，则．例3（2020秋•越城区期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．例4（2020秋•萧山区期中）解下列不等式（1）；（2）【方法总结】1．一元一次不等式常考查一元一次不等式的定义，解答这类题目要记住以下两个关键点：①含有一个未知数，②未知数的次数是1．2．解一元一次不等式解一元一次不等式关键在于掌握其解题步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．3．求一元一次不等式的整数解的解题思路①求一元一次不等式的解集；②结合题目所给条件，然后在一元一次不等式解集内找出相应的整数，从而解答此类题目．【随堂练习】1．（2020春•凉山州期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为．2．（2020春•高州市期中）若是关于的一元一次不等式，则．3．（2020春•庐阳区校级月考）（1）解方程：；（2）解不等式：，并把不等式的解集在数轴上表示出来．4．（2020春•洛宁县期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：．知识点3一元一次不等式组1．一元一次不等式组的概念由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．注意：一个一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：(1)这里的几个可以是两个、三个、…；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)必须都含有同一个未知教．2．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间夹；大大小小无解答．【典例】例1（2020春•高新区校级月考）下列不等式组是一元一次不等式组的是A． B． C． D．例2（2020秋•新都区期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【方法总结】1．解一元一次不等式组方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：大大取最大；小小取最小；大小小大中间夹；大大小小无解答．解集的规律如下图所示：2．一元一次不等式组的整数解①求出一元一次不等式组的解集；②在数轴上表示出一元一次不等式组的解集；③结合题目所给条件，然后在一元一次不等式组的解集内确定一元一次不等式组的整数解，从而解答此类题目．【随堂练习】1．（2020春•越秀区校级月考）如果点在第三象限，那么的取值范围是A． B． C． D．2．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来．3．（2020•柳州）解不等式组请结合解题过程，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．综合运用1．（2020春•磁县期末）下列选项中是一元一次不等式组的是A． B． C． D．2．（2020春•密山市期末）数学表达式中：①②③④⑤⑥不等式是（填序号）．3．（2020秋•柯桥区期中）已知，则下列四个不等式中，不正确的是A． B． C． D．4．（2020秋•南岗区校级月考）解不等式：（1）；（2）．5．（2020春•抚顺县期末）解不等式，并在数轴上表示它的解集．6．（2020秋•金东区期中）解不等式组．7．（2020秋•湖里区校级月考）解不等式组：．第10讲不等式及不等式组知识点1不等式1．不等式的定义不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．注意：凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．2．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞b③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜b（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．3．不等式的解和解集（1）不等式的解的：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（3）解不等式的：求不等式的解集的过程叫做解不等式．【典例】例1（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你认为其中是不等式的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以：①；②；③；⑥．为不等式，共有4个．故选：．例2（2020春•南昌期末）如图，是某品牌的酒精消毒液，容积为，标注的酒精含量是，此时，每毫升酒精消毒液约是0.85克，设该品牌酒精消毒液含酒精为克，则的取值范围约是．【解答】解：，，则，故答案为：．例3（2020秋•奉化区期中）已知关于的不等式，两边都除以，得，试化简：．【解答】解：由，两边都除以，得，，，．【方法总结】1．不等式的判定方法用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式． 2．不等式的基本性质①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．判断某个数是否为不等式的解法思路将某个数代入不等式，如果不等式成立，那么这个数是该不等式的解；否则，这个数不是不等式的解．4．求不等式的解集的依据解不等式的依据是不等式的基本性质，要熟练掌握不等式的基本性质．【随堂练习】 1．（2020春•西城区校级期中）用不等式表示“与的差是非正数”．【解答】解：依题意，得：．故答案为：．2．（2019秋•长兴县期中）已知，比较下列式子的大小，并说明理由：（1）（2）【解答】解：（1），，；（2），．．故答案为：，．3．（2020春•济南期中）若，试比较，的大小．【解答】解：两边同时减去，得．显然．所以．知识点2一元一次不等式1．一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．2．解一元一次不等式解一元一次不等式步骤如下①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式性质3，即可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．3．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【典例】例1（2020春•高新区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为4．【解答】解：是关于的一元一次不等式，且，解得：，故答案为：4．例2（2020春•天心区