2025届新高考数学冲刺精准复习 椭圆的方程与性质

2025届新高考数学冲刺精准复习椭圆的方程与性质01课前自学02课堂导学目录【课时目标】掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；了解椭圆

的简单应用.【考情概述】椭圆是新高考考查的重点内容之一，难度相对较大，在

选择题、填空题、解答题中都可以考查，小题常考数形结合思想，侧重

于几何性质的应用，大题常考解析思想，侧重于坐标运算.

知识梳理1.椭圆的定义

平面内与两个定点

F

1，

F

2的距离的和等于

（大于｜

F

1

F

2｜）

的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的

⁠，两焦点间的距

离叫做椭圆的

⁠.常数焦点焦距2.集合

P

＝{

M

｜｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝2

a

}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

，

c

为常数，且

a

＞0，

c

＞0.（1）

当2

a

＞｜

F

1

F

2｜时，点

M

的轨迹为

⁠；（2）

当2

a

＝｜

F

1

F

2｜时，点

M

的轨迹为

⁠；（3）

当2

a

＜｜

F

1

F

2｜时，点

M

的轨迹

⁠.椭圆线段

F

1

F

2

不存在3.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形

性

质范围－

a

≤

x

≤

a

－

b

≤

y

≤

b

－

b

≤

x

≤

b

－

a

≤

y

≤

a

对称性对称轴：

；对称中心：

⁠坐标轴原点标准方程图形

性

质顶点

A

1（－

a

，0），

A

2（

a

，0）

B

1（0，－

b

），

B

2（0，

b

）

A

1（0，－

a

），

A

2（0，

a

）

B

1（－

b

，0），

B

2（

b

，0）离心率

e

＝

，

e

∈（0，1）

a

，

b

，

c

的关系

c

2＝

a

2－

b

2

常用结论

（1）

点

P

（

x

0，

y

0）在椭圆内⇔

⁠；（2）

点

P

（

x

0，

y

0）在椭圆上⇔

⁠；（3）

点

P

（

x

0，

y

0）在椭圆外⇔

⁠.

回归课本1.判断：

（3）

（RA选一P112定义改编）椭圆的离心率

e

越接近于1，椭圆就越

圆.

（

✕

）（4）

（RA选一P114例7改编）若直线

l

与椭圆只有一个交点，则直线

l

与椭圆相切.

（

√

）✕√✕√

C

D

A.若｜

PF

1｜＝｜

PF

2｜，则∠

PF

1

F

2＝30°D.满足△

F

1

PF

2是直角三角形的点

P

有4个ABC

6

（6，12）

考点一

椭圆的定义及应用例1（1）

在平面内，

F

1，

F

2是两个定点，

M

是一个动点，则“｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜为定值”是“点

M

的轨迹是以

F

1，

F

2为焦点的椭

圆”的（

B

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解：由“点

M

的轨迹是以

F

1，

F

2为焦点的椭圆”可推出“｜

MF

1｜

＋｜

MF

2｜为定值”，反之不成立.所以“｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜为定

值”是“点

M

的轨迹是以

F

1，

F

2为焦点的椭圆”的必要不充分条件.（2）

一动圆与圆

x

2＋

y

2＋6

x

＋5＝0外切，同时与圆

x

2＋

y

2－6

x

－91

＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为

⁠.

总结提炼

1.椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周

长、面积及求弦长、最值和离心率等.2.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积

问题.[对点训练]

总结提炼

利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，即首先确定焦

点所在位置，然后根据条件建立关于

a

，

b

的方程组.如果焦点位置不

确定，可设椭圆方程为

mx

2＋

ny

2＝1（

m

＞0，

n

＞0，

m

≠

n

）的形式.[对点训练]3.已知椭圆

C

的左、右焦点分别为

F

1（－1，0），

F

2（1，0），过焦

点

F

2的直线与椭圆

C

交于

A

，

B

两点.若｜

AF

2｜＝2｜

F

2

B

｜，｜

AB

｜

＝｜

BF

1｜，则椭圆

C

的方程为（

B

）B

B考点三

椭圆的几何性质考向1

椭圆的离心率问题

C

D

D[对点训练]

B

考向2

与椭圆有关的最值或范围问题例4（1）

我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通

过“鹊桥”中继卫星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球

附近一点

P

变轨进入以月球球心

F

为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其

轨道的离心率为

e

，设月球的半径为

R

，“嫦娥四号”到月球表面最近

的距离为

r

，则“嫦娥四号”到月球表面最远的