2025届新高考数学冲刺精准复习成对数据的统计相关性与一元线性回归分析

2025届新高考数学冲刺精准复习成对数据的统计相关性与一元线性回归分析01课前自学02课堂导学目录【课时目标】结合实例，了解样本相关系数的统计含义；结合具体实

例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最

小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；针对

实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.【考情概述】成对数据的统计相关性与一元线性回归分析是高考中的

低频考点，难度不大，但是计算量较大，注重考查阅读理解、数据运算

及应用能力.

知识梳理1.变量间的相关关系（1）

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定

另一个的程度，这种关系称为

⁠.（2）

常见的两个变量之间的关系有两类：一类是确定性函数关

系，另一类是

⁠；与函数关系不同，相关关系是一种非

确定性关系.（3）

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈

现增加的趋势，就称这两个变量

⁠；当一个变量的值增加时，

另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量

⁠.（4）

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落

在一条直线附近，我们就称这两个变量

⁠.相关关系相关关系正相关负相关线性相关

②

当

r

＞0时，称成对样本数据正相关；当

r

＜0时，称成对样本数据负

相关.③

｜

r

｜越接近1，成对样本数据的线性相关程度

，｜

r

｜越接

近0，成对样本数据的线性相关程度

⁠.越强越弱（2）

回归方程①

最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的竖直距离的平方和最

小的方法叫做最小二乘法.

截距系数回归值

观测值减去预测值

越

小越好越

大越差

✕✕✕√2.（RA选三P118定义改编）有一散点图如图所示，在5个数据（

x

，

y

）中去掉

D

（3，10）后，下列说法正确的是（

A

）A.残差平方和变小B.样本相关系数

r

变小C.决定系数

R

2变小D.变量

x

与变量

y

的线性相关程度变弱A

A4.（多选）（RA选三教参P207本章学业水平测试题第2题改编）对于样

本相关系数，下列说法正确的是（

ABD

）A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据的正、负相关性B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的C.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强D.样本相关系数

r

∈[－1，1]ABD

2

考点一

成对数据的统计相关性考向1

相关关系的判断例1（1）

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率

y

和温度

x

（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，

由实验数据（

xi

，

yi

）（

i

＝1，2，…，20）得到如图所示的散点图.由

散点图，得在10℃至40℃之间，下列四个回归方程类型中最适宜作为发

芽率

y

和温度

x

的回归方程类型的是（

D

）DA.

y

＝

a

＋

bx

B.

y

＝

a

＋

bx

2C.

y

＝

a

＋

b

e

x

D.

y

＝

a

＋

b

ln

x

解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率

y

随温度

x

的增大而增

大，但增长的速度越来越慢，故最适宜作为发芽率

y

和温度

x

的回归方

程类型的是

y

＝

a

＋

b

ln

x

.（2）

对变量

x

，

y

，有观测数据（

xi

，

yi

）（

i

＝1，2，…，10），其

散点图如图①所示；对变量

u

，

v

，有观测数据（

ui

，

vi

）（

i

＝1，

2，…，10），其散点图如图②所示.由这两个散点图可以判断

（

C

）

CA.变量

x

与变量

y

正相关，变量

u

与变量

v

正相关B.变量

x

与变量

y

正相关，变量

u

与变量

v

负相关C.变量

x

与变量

y

负相关，变量

u

与变量

v

正相关D.变量

x

与变量

y

负相关，变量

u

与变量

v

负相关解：由散点图可知，变量

x

与变量

y

负相关，变量

u

与变量

v

正相关.[拓展探究]1.（2023·石家庄三模）观察下列四幅残差图，其中满足一元线性回归

模型中对随机误差的假定的是（

B

）BABCD解：根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0，

方差为σ2的随机变量的观测值.对于A，残差与观测时间有线性关系，故

A不符合题意.对于B，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称

轴的水平带状区域内，故B符合题意.对于C，残差与观测时间有非线性

关系，故C不符合题意.对于D，残差的方差不是一个常数，且随着观测

时间变大而变大，故D不符合题意.考向2

样本相关系数例2（1）

（RA选三教参P208本章学业水平测试题第7题改编）下列四

幅散点图所对应的样本相关系数及0的大小关系为

⁠

（用“＞”连接）.

r

1＞

r

3＞0＞

r

4＞

r

2

（2）

（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了

绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树

木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），

得到如下数据：样本号

i

根部横截面积

xi

/m2材积量

yi

/m310.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.36样本号

i

根部横截面积

xi

/m2材积量

yi

/m380.070.4690.070.42100.060.40总和0.63.9

①

估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.

A.若

r

1＞

r

2，则第一组变量比第二组变量的线性相关程度强B[拓展探究]考点二

一元线性回归分析考向1

经验回归方程及其应用例3为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合

种植A，B两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果.

通过大量考察研究，得到如下统计数据：经济作物A的亩产量约为300千

克，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份编号

x

12345年份20192020202120222023收购价格y/（元/千克）1820232529经济作物B的收购价格始终为25元/千克，其亩产量的频率分布直方图如

图所示.（1）

若经济作物A的收购价格

y

（单位：元/千克）与年份编号

x

具有线

性相关关系，请求出

y

关于

x

的经验回归方程，并估计2024年经济作物A

的收购价格.

[拓展探究]3.（2024·常州期中）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采

集了变量

x

，

y

的一组数据如下表：

x

234567

y

52.54540302517.5该社团对上述数据进行了分析，发现

y

与

x

之间具有线性相关关系.（1）

画出表中数据的散点图，并指出

y

与

x

之间的样本相关系数

r

是正

还是负；解：（1）

散点图如图所示，

r

是负的.

考向2

非线性回归问题（可转化为线性回归问题）例4（2023·广东模考）某企业为了提升行业竞争力，加大了科研投入.

该企业连续6年来的科研投入

x

（单位：百万元）与收益

y

（单位：百万

元）的数据统计如下：科研投入x/百万元24681012收益y/百万元5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示.根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数型函数

y

＝

c

·2

bx

的图象的

周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：43.54.5854.034.712730.470.0

（1）

①

请根据表中数据，建立

y

关于

x

的经验回归方程（精确到

0.1）；②

根据所建立的经验回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿

元，则科研投入至少为多少（log25≈2.3）？

②

由题意，令20.5

x

＋1＝200，则0.5

x

＋1＝log2200，即

x

＝4＋

4log25≈13.2.所以若该企业想在下一年的收益达到2亿元，则科研投入至

少为13.2百万元.

解：（2）

甲建立的回归模型的残差如

下表：

yi

5.66.512.027.580.0129.2481632641281.6－1.5－4－4.5161.2

4.经观测，长江中某鱼类的产卵数

y

与温度

x

（单位：℃）有关，现将

收集到的温度

xi

和产卵数

yi

（

i

＝1，2，…，10）的10组观测数据进行

了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量如下表：30054.513603588[拓展探究]

（2020·山东适应性考试）如图所示为根据我国2012～2018年水果人均

占有量

y

（单位：kg）和年份代码

x