2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点21几何证明(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点21几何证明压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编一、解答题1．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点，射线交于点B．(1)求证：；(2)只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与相切的一条直线，并说明理由．（保留画图痕迹）2．某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形中，对角线相交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若（为锐角），求四边形的面积；（用含的代数式表示）(3)如图3，若，求四边形的面积．3．如图，已知四边形是的内接四边形，与交于点P，，是的直径，弦，垂足为M．(1)设与交点为N，求证：①，②；(2)若，求的值．4．如图1，在矩形中，E为延长线上一点，且，交于点F，．

(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，G为上一点，，相交于点O，连接．若，且，求的长．5．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．

(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．6．如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D，

(1)求证：；(2)如图2，连接交于点F，求证：；(3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长.7．知：如图1，是的弦，点是的半径的延长线上一点，将翻折得到，交半径于点．

(1)求证：．(2)若与相切．①如图2，点落在上，求的值．②如图3，若，，求的面积．8．如图，等腰直角与交于点B，C，，延长与分别交于点D，E，连接，并延长至点F，使得．

(1)求的度数；(2)求证：与相切；(3)若的半径为2，求的长．9．如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作于点，交于点．(1)如图1，当时，求证：；(2)若，，连接，求的最小值；(3)如图2，矩形对角线与相交于点，交于点，若平分．①判断与的数量关系，并证明；②连接，当的面积是矩形的时，求的值．10．如图，在中，为边的中点，点分别在线段上，平分，垂足为点，交于点．(1)求证：；(2)若（m为常数），求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的值．11．在四边形中，平分，点是上任意一点，连接，且，，点为延长线上一点，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，，求线段的长．12．综合与实践

在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，．(1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论．(2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度．(3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积．13．等边中，点为直线上一动点，连接．

(1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度；(2)如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出的面积．14．已知，如图1，中，，分别与、相切于点B、点D，点F在上，连接交于点G，且G在上，，过D作于H，交于E，交于点N；

(1)求证：；(2)射线交于M，求证：；(3)在（2）条件下，连接，若由、和弧BD所围成图形的面积为时，求四边形的面积．15．是的半径，C是半径上的动点，过C作的垂线交于F，交于D、E两点，过A点作的切线与的延长线交于点G．

(1)求证：；(2)已知的半径为4，①当的长为多少时，且，②请直接写出①中的长．压轴热点考点21几何证明压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编一、解答题1．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点，射线交于点B．(1)求证：；(2)只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与相切的一条直线，并说明理由．（保留画图痕迹）【答案】(1)见解析(2)图见解析，理由见解析【分析】（1）连接，作于D．求出，，证明，求出，得到，由垂径定理得到，即可得到结论；（2）连接并延长交于点E，连接，则直线为的切线．证明，由，得到，则，又由直径即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，作于D．由，得，．∵，，，∴．又∵，，∴，，∵，∴．又∵．∴．∴．∴．∴，∴．又∵，C是圆心，∴，∴．（2）解：连接并延长交于点E，连接，则直线为的切线．理由如下：∵，，∴．又∵．∴．∴，∵，．∴．∴．∴直径．∴为的切线．【点睛】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形中，对角线相交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若（为锐角），求四边形的面积；（用含的代数式表示）(3)如图3，若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了全等三角形、勾股定理、三角函数，最后一问由已知条件联想截长补短的辅助线，可发现图中隐藏的“手拉手”全等，从而解决问题．（1）由垂直定理得，再根据勾股定理，，即可解答．（2）过点作于点，过点作于点．根据即可解答．（3）在上取点，使，连接，，为，的交点，先证明，再证明即可．【详解】（1），．由勾股定理，得，，．（2）过点作于点，过点作于点．，．（3）如图，在上取点，使，连接，，为，的交点。，，，与均为等边三角形，，，，，，，，，又，，由（2）知．3．如图，已知四边形是的内接四边形，与交于点P，，是的直径，弦，垂足为M．(1)设与交点为N，求证：①，②；(2)若，求的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①由垂径定理可知，可得，由，可知，再由三角形的外角的性质可得，进而可证得结论；②连接，由圆周角定理可知，可得，利用等弧所对的圆周角相等可得，，结合三角形的内角和可知，可得，进而可证得结论；（2）连接，，，由，可得，，可得，可知是的垂直平分线，可得，易证得是等边三角形，得，利用等弧所对圆心角相等可得，由圆周角定理可得，，由三角形外角可知，即：，可得，即可求得答案．【详解】（1）证明：①∵，是直径，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；②连接，∵是直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）连接，，，∵，即，，∴，∵，∴则是的垂直平分线，∴，∵，∴，则是等边三角形，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等弧所对得圆周角、圆心角之间的关系，等边三角形的判定，求正切值等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．4．如图1，在矩形中，E为延长线上一点，且，交于点F，．

(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，G为上一点，，相交于点O，连接．若，且，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据证明，得出即可；（2）证明，得出，根据，，得出，求出结果即可；（3）连接，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，求出．设，则，根据谷歌定理求出，得出（负值舍去）．求出，，根据勾股定理求出．【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴，∴，即．

（3）解：连接，如图所示：

∵，且，∴，，又∵，∴，∴，∵O为的中点，∴，∵，∴．由（2）可知：，则，设，则，在中，，即，解得：（负值舍去）．∴，，又∵，∴，∴在中，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法．5．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．

(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②(3)或或【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．【详解】（1）如图，

∵为的中线，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴；∴为关于边的“华益美三角”；（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，∴，又∵为的直径，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵为的半径，∴为的切线；②∵由题意可知，，∴，，∴，∵的直径为，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，解得：（负值舍去）；（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴；当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，根据还有：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴；综上：的面积为或或．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，理解“华益美三角”的含义，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．6．如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D，

(1)求证：；(2)如图2，连接交于点F，求证：；(3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据圆心角与弧之间的关系得出即可；（2）连接，证明，得出，即可证明；（3）连接，交于点H，证明，得出，求出，得出，根据为的中点，得出，求出，根据解析（2）求出，设的半径为r，根据勾股定理得出，求出，最后求出圆的周长即可．【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∴，∵E是弦中点，∴，∴．（2）证明：连接，如图所示：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：连接，交于点H，如图所示：

∵为的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵为的中点，∴，∴，由（2）得：，∴，设的半径为r，在中，，，，∴，解得：，∴，即的周长为．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂径定理，圆心角、弧之间的关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．7．知：如图1，是的弦，点是的半径的延长线上一点，将翻折得到，交半径于点．

(1)求证：．(2)若与相切．①如图2，点落在上，求的值．②如图3，若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)①；②．【分析】（1）证明即可；（2）①通过、和的关系，结合是直角三角形得到，进而求的值；②说明是直角三角形，再利用求面积即可．【详解】（1）证明：将翻折得到，，，，，，；（2）解：①与相切，，，，将翻折得到，，，，，，；②作，垂足为，则，

，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，．【点睛】本题以圆为载体考查了圆的性质，平行线的判定，翻折问题，相似，解直角三角形等知识，（2）②的关键是得出是直角三角形．8．如图，等腰直角与交于点B，C，，延长与分别交于点D，E，连接，并延长至点F，使得．

(1)求的度数；(2)求证：与相切；(3)若的半径为2，求的长．【答案】(1)(2)证明见详解(3)【分析】（1）连接，由，得为的直径，再由是等腰直角三角形，即可求解；（2）根据圆的性质可知，得，进而即可证明；（3）连接，，即可求解；【详解】（1）解：连接，∵，∴过圆心O，∴为的直径，∴，∵是等腰直角三角形，∵，∴．

（2）根据圆的性质可知，∵，∴，∵，∴，∴与相切．（3）连接，∵，∴．

【点睛】本题主要考查圆的综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的应用，正确做出辅助线是解本题的关键．9．如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作于点，交于点．(1)如图1，当时，求证：；(2)若，，连接，求的最小值；(3)如图2，矩形对角线与相交于点，交于点，若平分．①判断与的数量关系，并证明；②连接，当的面积是矩形的时，求的值．【答案】(1)见解析(2)的最小值为2(3)①，证明见解析；②【分析】（1）利用证明；（2）取的中点，连接，由圆周角定理得到点在以为直径的圆上运动，根据勾股定理计算，得到答案；（3）①过点作交于点，根据三角形中位线定理得到，证明，等量代换证明；②根据勾股定理得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式、矩形面积公式得到，得到，计算即可．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，在和中，，；（2）解：，点在以为直径的圆上运动，如图，取的中点，连接，当点在线段上时，取得最小值，，，，，，即的最小值为2；（3）解：①，证明如下：如图，过点作交于点，是的中点，，平分且，是等腰三角形，，，，，，；②如图2，连接，设，，由①可知：，，，，在中，，，，，，，，即，解得：，的面积是矩形的，，，，，．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．10．如图，在中，为边的中点，点分别在线段上，平分，垂足为点，交于点．(1)求证：；(2)若（m为常数），求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由垂直定义得，．进而得．根据直角三角形的性质得，从而利用等腰三角形的性质即可得解；（2）过点作于点．根据三线合一得，从而得．分别证明，根据相似三角形的性质即可得解；（3）过点作于点．设，由（2）知，．由得，根据勾股定理得．再证得，从而即可得解．【详解】（1）解：，．又，．为边的中点，，．（2）解：过点作于点．．，．，．．由（1）知，．（3）解：过点作于点．设，由（2）知，．由（2）知，，．，，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质以及同角的余角相等等，熟练掌握等腰三角形的性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．11．在四边形中，平分，点是上任意一点，连接，且，，点为延长线上一点，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，，求线段的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解(3)【分析】（1）设，则，通过计算出，由此即可求解；（2）如图所示，在上截取，取的中点，连接，根据中位线定理可得，从而可得，再证，可得是等边三角形，由此即可求解；（3）如图所示，连接，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，可证，由此可得，根据题意可求出，再证明点共圆，可得，由此即可求解．【详解】（1）证明：根据题意，设，则，在中，，，∴，∵平分，∴，在中，，，∴，∵是的外角，∴，∴，∴．（2）证明：如图所示，在上截取，取的中点，连接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴．（3）解：如图所示，连接，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，

∴，，由（2）可知，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由（2）可知，，，∵，∴点共圆，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等及相似．12．综合与实践

在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，．(1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论．(2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度．(3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，，根据对顶角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和定理可得，推得，根据等角对等边可得；（2）根据旋转的性质可得，，根据直角三角形中，度所对的边是斜边的一半可得，，根据勾股定理求得，同理求得，即可根据勾股定理求解；（3）根据相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理求得，根据正方形的性质可得，即可求得，最后利用正方形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，即，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵将以中点为旋转中心，逆时针旋转所得，∴，，∵，，，∴，∵点是的中点，∴，∵，，∴，在中，，即，解得：，同理可得，，，即，在中，．（3）解：∵，∴，∴，∵，在中，，∵四边形是正方形，∴，即，又，∴，即，∴，解得：，∴，∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等角对等边，旋转的性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．13．等边中，点为直线上一动点，连接．

(1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度；(2)如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出的面积．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）作，求出长，再求出，证明，即可；（2）作，交的延长线于点，由条件，，再证明出，得到，再证出，即可证明出结论；（3）判断出点在过且平行于的直线上，点定在以为圆心，为半径的上，连接，作直线，交于，作于，用梯形的面积减去三角形的面积，再减去三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图1，作于点，

，，，，，，，，，，，，，；（2）．如图，作，交的延长线于点，

，，即，，，即，，，，，，，，，，，，；（3）如图，若将沿直线翻折得到，则，点在过且平行于的直线上，将沿直线翻折得到，则，点定在以为圆心，为半径的上，过作于，交于点，则的长为最小值，连接，作直线，交于，作于，

由题得点在上，且，，，，，，，由折叠得，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角