2024年高考数学第一轮复习讲义第十三章13.2　参数方程(学生版+解析)VIP

§13.2参数方程考试要求1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过________________而从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα·(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ为参数)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ为参数)抛物线y2＝2px(p>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数．()(2)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．()(3)已知椭圆的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq\f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq\r(3).()(4)参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))(θ为参数且θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))表示的曲线为椭圆．()教材改编题1．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t为参数)的图象是()A．离散的点 B．抛物线C．圆 D．直线2．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,2)＝1C．y2＋eq\f(x2,4)＝1 D．y2＋eq\f(x2,2)＝13．已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，则直线l的斜率为________．题型一参数方程与普通方程的互化例1已知曲线C1，C2的参数方程为C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若点P是曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．跟踪训练1(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s为参数)．(1)写出C1的普通方程；＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二参数方程的应用例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))，,y＝\f(\r(3),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,λ)))))(λ为参数)．(1)求曲线C的普通方程；(2)已知点M(2,0)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝t))(t为参数)，且直线l与曲线C交于A，B两点，求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．(2)对于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．跟踪训练2(2022·萍乡模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)，以直角坐标的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若A，B是曲线C上的两点，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例3(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解决参数方程和极坐标的综合问题的方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosα，,y＝－1＋sinα))(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C1的极坐标方程是ρcosθ－3＝0，点P是曲线C2上的动点．(1)求点P到曲线C1的距离的最大值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若曲线C3：θ＝eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ∈R))交曲线C2于A，B两点，求△ABC2的面积．_______________________________________________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B．抛物线C．圆 D．直线答案D解析参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))消去参数t，可得3x＋y＋1＝0，所以该参数方程的图象为直线．2．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,2)＝1C．y2＋eq\f(x2,4)＝1 D．y2＋eq\f(x2,2)＝1答案A解析易知cosθ＝x，sinθ＝eq\f(y,2)，则参数方程化成普通方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.3．已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，则直线l的斜率为________．答案±eq\f(\r(15),15)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，得y＝xtanα，设k＝tanα，得直线l的方程为y＝kx，由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1，则圆心到直线y＝kx的距离为eq\r(12－\f(|AB|2,4))＝eq\f(1,2)＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))，得k＝±eq\f(\r(15),15).题型一参数方程与普通方程的互化例1已知曲线C1，C2的参数方程为C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)若点P是曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最小值．解(1)已知曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)，化为普通方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1.曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，化为普通方程为eq\r(3)x＋y＝0.所以C1的普通方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1，C2的普通方程为eq\r(3)x＋y＝0.(2)由(1)知C1是以(eq\r(3)，1)为圆心，1为半径的圆，C2为直线，所以圆心C1(eq\r(3)，1)到直线C2的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)×\r(3)＋1)),2)＝2，所以点P到C2的距离的最小值为2－1＝1.所以点P到C2的距离的最小值为1.思维升华消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．跟踪训练1(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s为参数)．(1)写出C1的普通方程；＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．解(1)由y＝eq\r(t)，得t＝y2(y≥0)，代入x＝eq\f(2＋t,6)，可得x＝eq\f(2＋y2,6)，即y2＝6x－2(y≥0)，所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)．(2)曲线C3的极坐标方程可化为2ρcosθ－ρsinθ＝0，所以C3的直角坐标方程为y＝2x.由y＝－eq\r(s)，得s＝y2(y≤0)，代入x＝－eq\f(2＋s,6)，可得x＝－eq\f(2＋y2,6)，即y2＝－6x－2(y≤0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x－2y≥0，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以C3与C1交点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，(1,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－6x－2y≤0，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以C3与C2交点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))，(－1，－2)．题型二参数方程的应用例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))，,y＝\f(\r(3),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,λ)))))(λ为参数)．(1)求曲线C的普通方程；(2)已知点M(2,0)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝t))(t为参数)，且直线l与曲线C交于A，B两点，求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)的值．解(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ2＋2＋\f(1,λ2)))，,y2＝\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ2－2＋\f(1,λ2)))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2－2＝λ2＋\f(1,λ2)，,\f(4,3)y2＋2＝λ2＋\f(1,λ2)，))两式相减，可得曲线C的普通方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)直线l的方程可转化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t，))代入x2－eq\f(y2,3)＝1，得t2＋6eq\r(2)t＋9＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－6\r(2)，,t1·t2＝9，))所以eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)＝eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t2)))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＋t2)),t1t2)＝eq\f(2\r(2),3).思维升华(1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．(2)对于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．跟踪训练2(2023·榆林模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)，以直角坐标的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若A，B是曲线C上的两点，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值．解(1)在曲线C的参数方程中，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝2t，,2x－y＝\f(2,t)，))两式相乘得C的普通方程为4x2－y2＝4，故曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即ρ2＝eq\f(4,4cos2θ－sin2θ).(2)因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以可设A(ρA，θ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρB，θ±\f(π,2)))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))2＝ρeq\o\al(2,A)＋ρeq\o\al(2,B)＝eq\f(4,4cos2θ－sin2θ)＋eq\f(4,4cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ±\f(π,2)))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ±\f(π,2))))＝eq\f(4,4cos2θ－sin2θ)＋eq\f(4,4sin2θ－cos2θ)＝eq\f(4,5cos2θ－1)＋eq\f(4,5sin2θ－1)＝eq\f(12,5cos2θ－15sin2θ－1)＝eq\f(12,25sin2θcos2θ－4)＝eq\f(12,\f(25,4)sin22θ－4)≥eq\f(12,\f(25,4)－4)＝eq\f(16,3)，当且仅当sin22θ＝1时，等号成立，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值为eq\f(4\r(3),3).题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例3(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．解(1)直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0，即ρsinθ＋eq\r(3)ρcosθ＋2m＝0，根据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得l的直角坐标方程为eq\r(3)x＋y＋2m＝0.(2)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t为参数)，将sint＝eq\f(y,2)代入x＝eq\r(3)cos2t＝eq\r(3)(1－2sin2t)，得曲线C的普通方程为y2＝－eq\f(2\r(3),3)x＋2(－2≤y≤2)．联立直线l与曲线C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＋2m＝0，,y2＝－\f(2\r(3),3)x＋2－2≤y≤2，))消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)．方法一若直线l与曲线C有公共点，则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，所以－eq\f(19,12)≤m≤eq\f(5,2)，即m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(19,12)，\f(5,2))).方法二所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，因为3y2－2y－6＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－\f(2,3)y))－6＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))2－eq\f(19,3)，所以当－2≤y≤2时，－eq\f(19,3)≤3y2－2y－6≤10，即－eq\f(19,3)≤4m≤10，则－eq\f(19,12)≤m≤eq\f(5,2)，即m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(19,12)，\f(5,2))).思维升华解决参数方程和极坐标的综合问题的方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosα，,y＝－1＋sinα))(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C1的极坐标方程是ρcosθ－3＝0，点P是曲线C2上的动点．(1)求点P到曲线C1的距离的最大值；(2)若曲线C3：θ＝eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ∈R))交曲线C2于A，B两点，求△ABC2的面积．解(1)由曲线C2的参数方程，得其普通方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，表示以(－2，－1)为圆心，以1为半径的圆．由曲线C1的极坐标方程，得其直角坐标方程为x＝3.则圆心C2到直线x＝3的距离d＝2＋3＝5，所以点P到曲线C1的距离的最大值dmax＝1＋d＝6.(2)由曲线C3：θ＝eq\f(π,4)，得其直角坐标方程为y＝x，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋22＋y＋12＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝－2，))∴|AB|＝eq\r(－1＋22＋－1＋22)＝eq\r(2)，圆心C2到直线AB的距离d1＝eq\f(|－2＋1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴△ABC2的面积S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).课时精练1．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,3)，,y＝6＋tsin\f(π,3)))(t为参数)．(1)判断直线l和圆C的位置关系，并说明理由；(2)设P是圆C上一动点，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0))，若点P到直线l的距离为eq\f(3\r(3),2)，求eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))的值．解(1)圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)，消去θ得圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心C的坐标为(3,0)，半径为3.直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,3)，,y＝6＋tsin\f(π,3)))(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为eq\r(3)x－y＋6＝0.∵圆心C到直线l的距离d＝eq\f(3\r(3)＋6,2)>3，∴直线l和圆C相离．(2)设P(3＋3cosθ，3sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))))，由点P到直线l的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\r(3)cosθ－3sinθ＋6＋3\r(3))),2)＝eq\f(3\r(3),2)，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＋2＋\r(3)))＝eq\r(3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝－1.∴eq\f(π,6)＋θ＝π，则θ＝eq\f(5π,6)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3\r(3),2).2．(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出圆C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作圆C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．解(1)因为圆C的圆心为(2,1)，半径为1，所以圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)．(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线的距离为2>r，不符合题意，舍去；当直线斜率存在时，设切线为y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，故eq\f(|2k－1－4k＋1|,\r(1＋k2))＝1，即|2k|＝eq\r(1＋k2)，解得k＝±eq\f(\r(3),3)