教与考衔接2 比较大小有方法

3/3教与考衔接2比较大小有方法例例题展示【例】已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b真题溯源与考法探究真题溯源与考法探究1.真题溯源（必修第一册第141页13（2）题）比较下列三个值的大小：log23，log34，log45.教材原题与真题虽然题目不同，但实质均为对数比较大小类问题.该类问题的设置主要考查数学运算，逻辑推理核心素养及必备的理性思维及数学探究能力.求解此类问题的一般思路为：（1）同底但不同真数，可通过构造函数，利用单调性比较；（2）同真数但不同底，可通过作函数图象或换底公式转化解决；（3）真数不同底数也不同的，可将其转化为（1）（2）两种情况或借助中间量（如“1”“0”）等比较.此类试题简洁朴实，但蕴含着丰富的数学思想方法，对学生的理性思维素养要求较高，有很高的拓广探究价值.2.解法探究（以教材原题为例）解法一（比较法）（1）比差法：log23－log34＝（ln3）2－ln2ln4ln2ln3，∵ln2ln4＜（ln2+ln4）24＝（ln8）2＜（ln3）2，∴log23－log34＞0.log34－log45＝（ln4）2－ln3ln5ln3ln4，∵ln3ln5＜（ln3+ln5）24＝（ln15）2＜（ln4）2，∴log34－log45＞（2）比商法：log23log34＝lg3·lg3lg2·lg4＝6lg3·lg36lg2·lg4＝lg9·lg27lg8·lg16＞1，log34log45＝lg4·lg4lg3·lg5＝20lg4·lg4方法总结比较法是我们比较大小最常用的方法，换底通分后可以使用对数的运算法则，其中比差法的难点是利用基本不等式时要对式子进行放缩重构，从而使两项合为一项，达到了比较大小的目的.解法二（中间值法）∵log23＞log222＝32，log34＜log3332⇔42＜33，∴log34＜32，∵log34＞log3365⇔36＜4中间值法是我们常见的求解对数大小比较的方法，对于既不同底也不同真数的对数，其中间值的寻找不仅依靠数感、经验、估算以及逻辑推理，还需要不断的尝试，可能比较难以发现.解法三（等价转化法）不妨先证log23＞log34⇔证log827＞log916，∵log827＞log927＞log916，∴log23＞log34，再证log34＞log45⇔证log2431024＞log256625，∵log2431024＞log2561024＞log256625，∴log34＞log45.综上有：log23＞log34＞log45.方法总结通过对数运算性质等价变换提升数据的策略，使两个数据变为接近而又立见分晓的数值，其难度是如何提升数据，即将底数、真数同乘以某个数（扩大相同的倍数），如log23→log827，log34→log916，这些数据提升的“度”都需要良好的数感、目标意识以及大胆的探索精神.方法拓展方法拓展技法1单调性法比较大小【例1】设a＝30.8，b＝90.5，c＝（13）－12A.a＞b＞c B.c＞b＞aC.b＞a＞c D.b＞c＞a方法总结单调性法在比较大小时的应用技巧（1）底数相同，指数不同，如ax1和ax2，利用指数函数y＝（2）指数相同，底数不同，如x1a和x2a，利用幂函数y＝（3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小.技法2构造函数法比较大小【例2】已知log2a＝a2（a≠2），log3b＝b3（b≠3），log4c＝c4（c≠4），则A.a＜b＜c B.c＜a＜bC.c＜b＜a D.a＜c＜b方法总结构造函数法比较大小常见的构造方法（1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小；（2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较数的大小.技法3放缩法比较大小【例3】若a＝log43，b＝log54，c＝2－0.03，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜b＜a B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c方法总结放缩法比较大小的常见放缩技巧（1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩；（2）利用基本不等式进行放缩；（3）利用泰勒公式进行放缩.常用的泰勒公式如下：ex＞x＋1（x≠0）；lnx＜x－1（x≠1）；lnx＞2（x－1）x+1；sinx＜x＜巩固练习1.若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A.logab＞logbc＞logca .logcb＞logba＞logacC.logbc＞logab＞logca .logba＞logcb＞logac2.已知13a＝log3a，3b＝log13b，13c＝log1