高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (18)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（18）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知矩形ABC。，AB1,AD=V2.E为AD的中点，现分别沿BE,CE将2L4BE,4DCE翻

折，使点A,。重合，记为点P,则几何体P-BCE的外接球表面积为（）

A警B?C.57rD.10兀

2.四面体A8C£＞中，若△力BD和△CBD都是以BO为斜边的等腰直角三角形，BD=2AC,且四面

体ABC力的体积为呼，则该四面体的外接球半径为（）

•冷

AB-TC.V3D.2

3.已知棱长为1的正方体4BCD-&B1GD1，如图所示，P为棱A4上

一动点，Q为底面ABCQ内一动点，线段PQ长为1,记PQ中点

为E,则直线CE与8B］所成角正切值的最小值（）

A.2V2

B.1

C-T

D.V7

4.已知奇函数f（x）=鬻的图象经过点（1,1）,若矩形ABC。的顶点A,B在x轴上，顶点C,D

在函数外乃的图象上，则矩形ABCD绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（）

厂37T

A・3B.7TCTD.27r

5.如图,棱长为2的正方体4BCD-4遇£。1的顶点A在平面a上,棱力4与平面a所成的角为60°,

点4在平面a上的射影为。，正方体—绕直线441旋转，则当直线为。与8G所

成角最小时，侧面在平面a上的投影面积为（）

A.2V3B.V6—V2C.y/6+V2D.2

6.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已葭二：.../

知半球的半径为通，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（）/二二、、

'24兀（O）

B.（18+36）兀

C.21兀

D.（18+4V2）n-

7.已知某多面体是由两个具有共同底面的正三棱锥组成，两顶点位于底面的两侧，侧面与底面所

成的角分别为a,/?,底面边长为1.该多面体的所有顶点都在半径为R的球。的球面上，若a与

0的和为150。，则氏=

AJC.iD.J

在正方体ABCD-AiBiJDi中，N为底面ABCQ的中心，P为线段ARi

上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列判断错误的是

B.CM与PN是异面直线

C.平面PAN1平面BDD1B1

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

9.若正方体ABCD-4B1GD1表面上的动点P满足c7「（p%+无）=3而2,则动点P的轨迹为

（）

A.三段圆弧B.三条线段

C.椭圆的一部分和两段圆弧D.双曲线的一部分和两条线段

10.直三棱柱4BC-4B1Q外接球表面积为16兀,48=2,ZL48C与矩形力BB/i外接圆半径分别为心，

r2,则4+七的最大值为（）

A.2V2B.3C.V10D.26

11.正四棱台ZBCD-AiBiCiCi中，侧棱441与底面ABCD所成角为a,侧面44山1。与底面ABC。

所成二面角为。，侧棱A&与底面4BC。的对角线所成角为y,平面CCiD］。与平面^为劣。所

成二面角为。，则a,0,y,。之间的大小关系是（）.

A.a<P<9<yB,a<y<^<9C.a</3<y<9D.（i<a<y<0

12.正三角形ABC的边长为2,将它沿高4。折叠，使点B与点C间的距离为百，则四面体A8CD

外接球的表面积为（）

A.67rB.7兀C.87TD.97r

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

13.如图，以等腰直角AABC的斜边上的高AO为折痕，把△力BD和△4CD折成相互垂直的两个平面,

下列结论正确的是（）

A.BD1AC

B./.BAC=60°

C.若4D=1,则三棱锥内切球的半径为上更

6

D.二面角B—4C-D的平面角的正切值为立

2

14.已知四面体ABC。中，AB=CD=5,AC=BO=V34-AD=fiC=V41.。为其外接球球心，

A。与AB,AC,AO所成的角分别为a,0,y.有下列结论：

其中所有正确结论为（）

A.该四面体的外接球的表面积为50几，

B.该四面体的体积为10,

C.cos2a+cos2^+cos2y=1

D.^BAC+乙CAD+/.DAB=180°

三、填空题（本大题共13小题，共65.0分）

15.已知三棱锥P—4BC的四个顶点都在球。的球面上，平面ABC,4aBC是边长为2的等边

三角形，若球。的表面积为等，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为.

16.己知四面体ABCQ中，AB=3,AC=3,AD=5,BC=36,/-DAB=ADAC=60°,则四面

体ABCD的外接球的球面面积为.

17.仇章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖席”.如图，在“鳖腌"A-BCD

中，AB_L平面BCQ,且BD_LCD,AB=BD=CD=1,点P在侧棱AC上运动，当△PBC的面

积最小时，三棱锥P-BCO的外接球表面积为.

18.如图，圆形纸片的圆心为0,半径为6cm,该纸片上的正方形

ABCD的中心为。为圆。上的点，团2BE,回BCF,回

CDG,I3ADH分别是以4B,BC,CD,ZZ4为底边的等腰三角形，沿虚

线剪开后，分另！I以ASBC,CD,ZM为折痕折起回ABE,0BCF,团

CDG.^ADH,使得E,F,G,H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥

的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为

19.已知四面体ABCD的棱长满足AB=4C=8O=CO=2,BC=AD=1,现将四面体ABC。放

入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABC。可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面

积的最小值为

20.如图(1),在等腰直角△ABC中，斜边4B=4,。为AB的中点，将△4CD沿C。折叠得到如图(2)

所示的三棱锥C-&BD.若三棱锥C一A'BD的外接球的半径为遮，则乙4'DB

21.在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可能有..个。

22.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面

积是.

23.已知点P,A,B,C均在表面积为817r的球面上，其中PA1平面ABC,zBAC=30e,AC=昭AB,

则三棱锥P-ABC的体积的最大值为.

24.(1)(2/+白)6的展开式中不含x的项的系数为.(用数字作答)

(2)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进

入下一关，旦通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为

(3)设正三棱锥P-4BC的高为H,且此棱锥的内切球的半径R=则卷=.

(4)若曲线y=炉_存在平行于直线y=-3%+1的切线，则a的取值范围为.

25.棱长为2的正方体的顶点在同一个球上，则该球的表面积为.

26.三棱锥S-4BC的顶点S在平面ABC内的射影为P,给出下列条件：

①SA=SB=SC②SA,SB,SC两两垂直

③UBC=90。，SC1AB

@SC1.AB,SAIBC

一定可以判断P为三角形ABC的垂心的有

27.在三棱锥P-ABC中，P4_L平面ABC,=120°,4P=«4B=2,M是线段BC上动点，线

段PM的长度最小值为K，则三棱锥P-4BC的外接球的表面积为

四、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

28.已知三棱柱4$iCi-A8C中，AB=AC=&，BC=BB1=2,点M为CG的中点，B"=2NA.

(1)求证：&G〃平面B例N；

(2)条件①：直线AB】与平面BBiGC所成的角为30。,

条件②：LBiBC为锐角,三棱锥当一4BC的体积为苧.

在以上两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：

若平面平面BBiGC,,求平面BMN与平面BBiGC所成的锐二面角的余弦值.

(注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

29.如图，在直棱柱ABC-A'B'C'中，底面是边长为3的等边三角形，A4'=4,M为/L4'的中点，P

是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC'到M的最短路线长为内，设这条最短路线与CC'

的交点为M求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;

(2)PC与NC的长;

(3)三棱锥C-MNP的体积.

30.已知正四棱台两底面边长分别为3和9.(1).若侧棱所在直线与上、下底面的中心的连线所成的

角为45。，求棱台的侧面积；

(2).若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

此题考查了长方体外接球问题，属于基础题.

利用所给数据易得三线垂直，进而利用长方体外接球直径为其体对角线长，得解.

由=AD=V2,E为A。中点,

可得PE=返，PB=PC=1,

2

得4EPB=4EPC=90°,

乙CPB=90°（APBC满足勾股定理），

•••P-BCE为长方体一角，

其外接球直径为其体对角线长，

2R=yJPE2+PC2+PB2=--

2

：.R=叵

4

•••外接球表面积为4兀R2=

故选8.

2.答案：D

解析:

本题考查组合体的结构特征和球的半径，是一道难题.

取斜边BQ的中点，根据等腰直角三角形的性质得04_LBD,0CLBD,且0C=。4=OB=0。=

^BD,四面体A8CQ的外接球的球心是。，再由条件求出四面体ABCQ的外接球的半径.

解：取斜边80的中点为。，连接OA,0C,

••・△•。与4CBD是全等的等腰直角三角形，。为斜边BD的中点，

•••0A1BD,0C1BD,JiOC=0A=^BD,

oc=OA=OB=0D=-BD,

A2

又•••OACiOC=0,

•••BDAOC,ZiAOC为正三角形，

四面体ABCD的外接球的球心是0,设半径为R,

1/I,,\4V3

^A-BCD=^B-AOC+^D-AOC=§'(万xRxsin60°JX2R--^―

解得R=2.

故选。.

3.答案：D

解析：

本题考查正方体的结构特征和球的结构特征，异面直线所成角，考查空间想象能力与计算能力，属

于综合题.

由题意，点E是在以点A为球心，;为半径的球面上，根据对称性在平面ACC14上，点E是在以A

为圆心，g为半径的圆上，

当CE与圆相切时，CE与CG所成角最小，即直线CE与BN1所成角正切值最小，利用解析几何计算

可得结论.

解：由题意，△2/!(?为直角三角形，\PQ\=1,E为线段尸。的中点，

则|4用号，.•.点E是在以点A为球心，沙半径的球面上，

根据对称性在平面力CC14上，点E是在以A为圆心，［为半径的圆上，

当CE与圆相切时，CE与CG所成角最小，即直线CE与所成角正切值最小,

如图，以A为原点，AC为x轴，44］为)，轴建立平面直角坐标系，

则C(&,0),设CE的方程为丫=软％-&)，(/c<0),

由点到直线的距离公式得，害I=L解得k=-亘，

VP+127

・・・切线CE的方程为y=—¥(x—&)，

当x=0时,y「=手,即防=|明=与,

・•・直线CE与BBi所成角正切值的最小值为舍=V7.

-7~

故选。.

4.答案：B

解析：

本题考查圆柱的体积公式以及利用基本不等式求最值，根据条件求出a、人的值，矩形ABC。绕x轴

旋转而成的圆柱半径R=|BC|,令言=R，整理得RM-2X+R=0,则右,如是方程的两个不等

22

实根，圆柱的体积V=TIR\XC-xD\=nRx更亚=2兀RJFR，利用基本不等式求最值即可，

属于难题.

解：因为奇函数/(%)=黑图象经过点(1,1),

所以/(0)=0//(1)=1,得到a=2,b=0,

不妨设C、。在X轴上方，如图：

D__C

__________

AR

则矩形ABC。绕x轴旋转而成的圆柱半径R=\BC\,

令卫7=R,整理得R/-2X+R=0,

1+X2

则Xc，和是方程的两个不等实根，

X2

则l%c-D\=yj(,xc+XD)-4XCXD=

则圆柱的体积：

cc>/4-4R2,---------

V=nR2\x-x\=nR2x-----------=2nRy/l—R2

cDR

______2

<7l[R2+(V1—/?2)]=7T，

当且仅当R2=q时，等号成立.

故选反

5.答案：D

解析：

本题考查平行投影，直线与平面所成角，异面直线所成角，线面垂直的判定与性质，正方体的结构

特征，考查空间想象能力，属于综合题.

直线41。与BCi所成角最小，即直线40与AD1所成角最小，此时面4送0。1与面4。4共面时，可得

AB在平面a内，侧面力抽出在平面a上的投影为矩形,由题意，矩形的长为2,宽为1,可得投影面

的面积为2.

解：如图，直线为。与BQ所成角最小，即直线

Di

公。与4劣所成角最小，

此时面4遇与面41tM共面时，可得AB在

平面a内，AB1]S]A1OADD1,

•­•A1B1//AB,；.〃平面a,A1B1iffi

A^OADD^,OE1^AA1OADD1,

EB

侧面ZBBi力i在平面a上的投影为矩形A0E8,

由题意，AB=2,0A=1,

矩形的长为2,宽为1,可得投影面的面积为2.

故选O.

6.答案：D

解析：

本题主要考查了空间几何体的三视图及其表面积的计算，球体的体积和面积公式，圆柱的体积和面

积公式，函数模型的应用，利用导数来求函数闭区间上的最值，考查了综合分析能力和计算能力，

属于中档题.

如图，设几何体的体积为匕挖去的圆柱的体积为匕，圆柱的高4B=x(x>0),利用球体的体积公

式和圆柱的体积公式，表示出几何体的体积％求V的导数，利用导数来求函数V在闭区间上的最

值，进而得出几何体体积最小时的x的值，进而得出圆柱的底面半径，再利用球体的表面积公式，

圆的面积公式，圆柱的表面积公式，求出该几何体的表面积.

解：设几何体的体积为匕挖去的圆柱的体积为匕，

・•・半球的半径为遥，

所以半球的体积为：1XJ开，(4)IV/ttlT,

则几何体的体积V4V品r-11，

如下图，A为半球的圆心，C为圆柱上底面圆上的一点，过A点作圆柱底面的垂线，垂足为8,

设圆柱的高ZB=x(x>0)

在RtAABC中，由勾股定理得：B(72=AC2-AB2=(«)2一％2=6一%2,

22

则V=4小笈-=4V^TT-7T-BC-AB=4V/6TT-?r(6-x)-x=TTX3—6TTN+4通产(工>Ui,

则I"3TTJ-2—6?r,令V'=0,解得x=&或％=—企(舍去),

当％=鱼，此几何体体积V最小，

此时圆柱底面半径为：BC=J(V司匚6^/

2,

则几何体的表面积为：

：X4?r•(4-Jrx((/)■—7T-BC2+7T-BC2+27r-BC-AB

=：x4?r•(通)+7Tx(悟)+2?r-2xy/l

=12TT+6亓+4x/2;r

=(18+4班)行

故选D

7.答案：D

解析:

本题考查棱锥、球的结构特征，考查两角和差的正切公式应用，属于中档题.

连接尸。，贝IJPQ1平面ABC,垂足为H,且球心。在PQ上，连接CH并延长交AB于。，D为AB

的中点，连接PAQD,不设立PDH=a,乙QDH=B，可求得PH=在tana，QH=&an0，由PH+

66

QH=2R可得,tana+tan0=4旧/?,在直角三角形PA。中，tanatan£=4,由a+夕=150°,根

据两角和差正切即可求得R.

解：如图所示，连接PQ,贝UPQ平面ABC,垂足为H,且球心。在尸。上，

连接CH并延长交AB于。，。为AB的中点，连接PC,QD,不设4PDH=a,乙QDH=B.

在等边AABC中，DH=-CD=-)

36

所以P〃=DHtana=-tana,

6

同理Q"=3匕邛.

6

由P”+QH=2R可得，理(tana+tan?)=2R,即tana+tan£=4BR.

又因为尸。为球。的直径，则N/MQ=90。，

又ZH1PQ,则在直角三角形PAQ中，根据相似三角形的性质得4H2=PH・QH,

即(j)2=谭)2tanatan0,所以tanatanf=4.

因为a+0=150°,则tan(a+0)=tana+tan0_4-^3RV3，

1-tanatan0-33

所以R=；.

4

故选D

解析：

本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断，难度较大.

由CN,PM交于点4得共面，可判断B,利用余弦定理把CM,PN都用4&4P表示后可比较大小，证明

AN与平面BDDiBi后可得面面垂直，可判断C,作出过P,A,C三点的截面后可判断。.

解：连接PC,由正方体性质可得共线，

而PA,AC在APAC所在的平面内，且点M在直线PA上，点N在直线AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故B错误；

记ZP4C=9,则PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP-ACcosd,

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosB=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又AP<AC,

4

CM2-PN2=^(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正确；

由于正方体中，AN1BD,BBrABCD,ANu平面ABC。，

则BB1J_4N,BBiCBD=B,BB>在平面BB/i。内

可得AN_L平面8B15。，

力Nu平面PAN,从而可得平面PAN1平面BDDiBi，故C正确；

取GA中点K,连接KP,KC,&G，易知PK〃4G，

又正方体中，AG//AC,：.PK"AC,PK,AC共面，PKCA就是过尸，4,C三点的正方体的截面,

PKC4是等腰梯形.。正确.

故选B.

9.答案：A

解析：

本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学转化与化归思想，属于难题.

解：设正方体棱长为1,以。为原点，以D4,DC,DD、为x,y,z轴建立直角坐标系，

.।_x_x_x__>—x_k_,2―>—x

则4式1,0,1),C(o,l,0),CA「(P41+PC)=(P41-PC)(P&+PC)=P41-PC2=3PC2'

T2—>

P&=4PC29

设P(%y,z),则(％—1)2+y2+(z-1)2=4%2+4(y-1)2+4,2,

化为(X+1)2+(y-+(Z+i)2=p

轨迹为以(一g±-｝为球心，以竽为半径的球面，

该球面分别与正方体的三个表面ABC。，CGDDi，BaCG相交得三段圆弧，

所以P点的及为三段圆弧.

故选A.

10.答案：C

解析:

本题考查三角形的外接圆和矩形的外接圆的半径之和的最大值的求法，考查直三棱柱、球、圆的性

质、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

推导出直三棱柱ABC-AiBiG外接球半径r=2,设AB中点为M,△ABC,矩形的外接圆的

圆心分别为。1，02,球心为。，由。。11平面4BC与。2Ml平面ABC,得OO1MO2是矩形，从而得

22

到*+以=OrA+O2A=。1"2+AM2+02M2+AM2=5,进而得到巳+r2<VlO.由此能求出

6+〃的最大值.

解：••・直三棱柱ABC-4道传1外接球表面积为16兀,

•••直三棱柱ABC-481cl外接球半径r=2,

设AB中点为M,△ABC,矩形4BB14的外接圆的圆心分别为Oi，02,球

心为O,

则由。01_L平面4BC与02M1平面ABC,得OOiM。2是矩形，

。例2_222

12+02M2=0M=A02AM=2-l=3,

...母+琢=。〃2+劣/=01M2+AM2+02M2+AM2=5,

•,乎居

•••+r2<V10，

当且仅当%=0时.，取得等号,

n+万的最大值为旧•

故选c.

11.答案：c

解析：

本题考查了正四棱台的性质，空间角的定义及度量.三角函数的单调性.考查了空间想象能力、转

化、计算能力，属于中档题.

将正四棱台力BCD-AiBiCi。］的侧棱延长交于点匕在正四棱锥P-ABCD,找出空间角的平面角,

考虑通过三角函数的值大小关系得出角的大小关系.

解：如图，将正四棱台ABC。-AiBiGDi的侧棱延长交于点匕

在正四棱锥P-4BC。，设AB=2,高U。=为AB中点.

.,.在RtZkVOA中，tana=tanzVAO=焉=、,

在RtAlZOH中，tan。=tanzV/70===八，

HO

7T

1•10<tana<tanp,■■a<p<-,

侧棱与底面4BC£>的对角线8。所成角为y,

•••BDLAC,VOJL底面ABCD,BDu底面ABCD,

•••VO1BD,AC^VO=0,AC、VOu平面VAC,

BD_L平面VAC,VAu平面VAC,BDIVA,■■r=p

•••a</?<y=p

过点C作CE1PO于E,连接EA,由于三AVDC,

•••EA1VD,Z_AEC为平面CG5D与平面44也。所成二面角0.

22

ShVDA=^VDxAE=^xABxVH,即/尼+2xAE=^x2xV/1+1,AE=邛箸,

则AE2+CE2=2AE2<AC2,：.“EC为钝角，

・•・a<£Vy<8.

故选C.

12.答案：B

解析:

本题考查空间想象能力，对球模型的转换能力，属于较难题.

三棱锥B-4CD的三条侧棱BD1AD,DC1DA,底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱

柱的外接球，求出三棱柱的底面中心与球心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的

表面积即可.

解：以ABDC为底面，AD为高构造出一个三棱锥A-BCD所在的三棱柱，

三棱柱中，底面ABDC,BD=CD=1,BC=V3.

在三角形BCD中，由余弦定理可得BC?=BD2+CD2-2BD-CDcos^BDC,

即3=l+l-2cos^BDC,

AZ.BDC=120°,

在ABDC中，利用正弦定理求得ABDC的外接圆的半径为乙x3-=1，

2sinl2O°

由题意可得：球心到底面的距离为丝=立，

22

•••球的半径为r=f+l=^.

\]42

外接球的表面积为：4nr2-7n

故选B.

13.答案：AB

解析：

本题考查空间中直线的位置关系，考查三棱锥的内切球的半径问题及二面角的作法与运算，属于中

档题.

设等腰直角三角形△4BC的腰为“，则斜边BC=五a，再结合选项依次判断即可.

解：设等腰直角三角形AABC的腰为a,则斜边8。=或。，

对于A项，•.•0为8（7的中点，；.4。18。，

又平面ABC_L平面4CZ）,平面AB。n平面ACD=4D,BD1AD,BDc^jgfABD,

BD1平面ADC,又ACu平面ADC,

BD1AC,故A正确；

对于8项，由A知，BD，平面ADC,CDu平面AOC,

•••BDLCD,又BD=CD=—a,

2

BC=V2x—a=又4B=AC=a,

2

.•.△ABC是等边三角形，故B正确；

对于C项，若ZD=1,则BD=CD=1,AB=AC=BC=&，

设三棱锥内切球的半径为r,

rr

因为%-BCD=I5AXBD-+I5ABCD'+[SAACD'R>

所以：x：xlxlxl=H：xlxl+；xlxl+；xlxl)r

323\222J

解得r=：.故C错误；

对于。项，•・•△AOC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点凡则DF14C,又△ABC为等边三角形,

连接BF,则BF1AC,

而。尸=竽=号,BD=—a,

222

则tanz_BFD=—==V2»故。错误；

DF-

2

故选48.

14.答案:AD

解析：

本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题.

由题意可采用割补法，考虑到四面体ABC。的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个

以5,闻，同为三边的三角形作为底面，且以分别x,»z长、两两垂直的侧棱的三棱锥.从而可

得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体，并且/+y2=25,X2+Z2=34,y2+z2=41,

求出x,y,z即可.

解:

由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，

所以可在其每个面补上一个以5,回，风为三边的三角形作为底面，

且以分别x,y,z长、两两垂直的侧棱的三棱锥

从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体，

并且/+y2=25,x2+z2=34,y24-z2=41,

则有(2R)2=x2+y2+z2=50(R为球的半径)，

对于A,球的表面积为S=4兀辟=507r.故正确.

由上可知M=x2+y2+z2-(y2+z2)=50-41=9,x=3

y2=x2+y2+z2-(x2+z2)=50—34=16,y=4,

z2=x2+y2+z2—(x2+y2)=50-25=25,x=5,

对于B,四面体ABC。体积U=xyz-4x[x|xyz=^xyz=gx3x4x5=20,故错.

T*,万。J.L.A.H.

r?,|.o2.o2n.o2AB^AC^AD^25+41+34

对于C，cosa+cos^+cosylZ]^7+^7+^=32+4,+52=2,故施•

对于。，^BAC,^CAD,々MB是边长为5,用,在I的三角形的三个内角，故正确.

故选：AD.

15.答案:在

4

解析：

本题主要考查了三棱锥的结构特征以及外接球结构特征及其性质的运用，直线与平面所成角，涉及

球的表面积公式的运用，考查了空间想象能力，属于较难题.

根据题意，设△力BC的中心为E,连接BE交4c于点M,证明1平面PAC,得至UNBPA/即为直

线PB与平面PAC所成角，然后根据几何关系求出P8,即可求解.

解：由题意，如图，

设△力BC的中心为E,

连接BE交AC于点M,则M为4C的中点，

过球心。作。D1PA,则。为PA中点.

vPA1•平面ABC,BMu平面ABC,

•••PA1BM,

•••△ABC是边长为2的等边三角形，

•••BM1AC,

vPACtAC=A,PA,ACu平面PAC,

•••BM1平面PAC,

则NBPM即为直线PB与平面PAC所成角,

•••△4BC是边长为2的等边三角形，

0D=AE=—,

3

•••球。的表面积S=471-0P2=等，

0P2=

3

・・・PA=2PD=2y/OP2-0D2=2，

易知，BMARsinGO\&,

PB=y/PA2+AB2=V4T4=2/，

故答案为生

16.答案：267r

解析：

本题考查了简单组合体及其结构特征，球的表面积和体积，面面垂直的性质和直线与平面所成角，

考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于较难题.

取BC中点E,连接AE,利用平面几何知识得4E平分角NB4C,且E是△ABC的外心，AE=—，

2

再利用直线与平面所成角得ND4E是AD与平面ABC所成角，再利用直线与平面所成角与直线与平

面内任意一条直线所成角的关系得NZME=45。，在平面AOE内，过E作直线IJ.4E,利用面面垂

直的性质得直线11平面48C,再利用简单组合体及其结构特征得球心。在直线/上，设OE=x,则

四面体ABC。的外接球的半径平方R2=/+£再利用平面几何知识得％=a,从而得R2=£,最

后利用球的表面积公式计算得结论.

因为AB=3,AC=3,BC=3夜，所以NBA。=90。.

取BC中点E,连接AE,

则AE平分角NBAC,且E是△ABC的外心，AE=—.

2

又因为ND4B=Z.DAC,所以AC在平面ABC内的射影是NB4C的平分线,

即AE是AD在平面ABC内射影，

因此ND4E是AO与平面A8C所成角，且平面4DEJL平面ABC,交于AE.

又因为=ADAC=60°,4BAE=45°,

所以COSNOAB=cosz.BAE-cos/ZME,

即COS6(T=COS45O-COS4ZME,解得coszSZME=立，因此/04E=45。.

2

因为平面ADE1平面ABC,交于AE,

所以在平面AOE内，过E作直线/14E,则直线平面ABC,

因此球心。在直线/上.

设0E=x,则四面体ABCD的外接球的半径平方R2=/+AE2=%2+1.

在平面4OE内，过。作直线DH14E,交直线AE于H,

在RtZkDA"中，因为4D=5,/.DAE=45°,

所以DH=ADsm^DAE=—.AH=ADcos^DAE=­.

22

过。在平面AQE内作直线。G〃4E,交直线。”于G,连接OD,

则OG=EH=AH-AE=—~—=V2,GH=OE=x,

22

2

因此R2=OD2=OG2+(DH±GH)2=(V2)2+(^±x)，

2

所以/+g=(或)2+(苧±%),解得％=近或%=-&(舍去)，

因此R2=(V2)2+|=y,球心0在如图所示的位置(平面ABC下面)，

所以四面体ABCD的外接球的球面面积为垢x1267r.

故答案为26二.

17.答案：当

4

解析：

本题考查三角形面积的最小值的求法，球的表面积公式，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档

题.

作P01BC于。，ONA.BD于N,连接PM推导出P0〃4B,ON//CD,PO1BD,设PC=x,可得

「。=苧，得PNJ2(x_»+|,当“争|JP为AC的中点，三角形PBD的面积的最小值,

此时三棱锥P-BCD的外接球的球心在直线P。上，求得外接球的球的半径，即可求得结果.

解：过点P作P。1BC于。，ONLBD于■N,连接PN,如图,

则P。〃/IB,ON//CD,所以P。_L平面BCD,

所以POJ.B。，BDPON,所以PN1BD,

由4B=BD=CD=1可得8C=VLAC=V3,

设PC=x，由我若可得「。=争

崂吟啜可得。”等

所以PN=«P0'2+\。2=y72x2-2V3x+3

,2（%号）2+三，

2

当△PSD的面积最小时，PN最小,此时X=当即P为AC的中点,

所以。也为RtZ^CD斜边的中点，8。=逆=争PO="B/

所以三棱锥P-BCD的外接球的球心在直线P。上，设为。I，设外接球半径为r,

连接0/,则0避2=（r-1）2+（苧）2,

所以（一1+呼）2=八，解得r=（,

所以三棱锥P-BCD的外接球表面积S=47n=4兀x(|)2=

故答案为

4

18.答案：酗匣

27

解析：

本题主要考查三棱锥的应用，熟悉导数求函数最值的方法是解答本题的关键，属于难题.

解：：如图，连结0E交AB于点/,设E,F,G,〃重合于点P.

正方形的边长为x(x>0),则0/=云/E=6-；.

该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，•••6=2・；,解得彳=4.

设该四棱锥的外接球的球心为Q,外接球半径为R,则OC=2丘,OP==N=2V3,R2=

(2b-/?)2+(2近产，

解得R=强外接球的体积V=如总3=有红.

故答案为空包

27

19.答案：y/r

4

解析：

本题主要考查四面体的外接球以及圆锥的内切球，属于难题，

若要四面体A8C。可以在圆锥中任意转动，则四面体ABC。的外接球也可以在圆锥中任意转动，当

圆锥侧面积的最小时，四面体ABC。的外接球即为圆锥的内切球，按这个思路求解即可.

解：由已知，四面体ABC。的对棱都相等，

故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示:

设4F=%,BF=y,CF=z,

则在2+z2=Jy2+%2=?,Jy2+/=\

□J得z—y——,:.x=

z22

四面体ABCD的外接球半径R=4^1=迎

~24

若要四面体A8C。可以在圆锥中任意转动，则四面体ABCD的外接球也可以在圆锥中任意转动，当

圆锥侧面积的最小时.，四面体A8C。的外接球即为圆锥的内切球，如图，设圆锥的高为/?,底面半

径为r，

计算可得”热，又圆锥主视图为等边三角形，•»=四，

联立可得r=y/3R=^h=V3r=

44

“346、后

•••圆锥侧面积的最小值为一1―jF27,

--------------------------=—7T

24

故答案为?7T.

4

20.答案：'二)7：T

解析:

本题考查三棱锥的结构特征及其外接球问题，属于较难题目.

根据题意得出三角形ABC的外接圆半径，设NA'DB=23,利用正弦定理及外接球的半径得出r,求

出cos。即可得出.

解：设的外接圆半径为r,4Ao8=28,其中06(0,技.

取AB的中点E,A'D=DB,：.DE1A'BSL/.A'DE=^A'DB=9,

AfE=2sm01/.AfB2A/Ekin。；

在△AB。中，由正弦定理易得匕

tinZ.AfDBsin20

由题意知Ji+八=炳.

解得cose=i,所以乙4/DB=29=

27r

故答案为.

21.答案:4

解析：

本题考查四棱锥的结构特征.

解：三棱锥的四个面中，可以四个面全是直角三角形.

故答案为4.

22.答案：8

解析:

本题考查空间几何体的表面积计算，考查学生空间想象能力和计算能力，有一定难度；5个边长为1

的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方

体.

解：把5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以

包住棱长为1的正方体，而这个形状可以用边长为2金的正方形来覆盖，此正方形的面积为8,所以

按题中要求所需包装纸的最小面积为8.

故答案为8.

23.答案：?

O

解析：

本题主要考查棱锥的外接球，棱锥的体积计算，利用导数法求最值等问题.属于较难题.

先求出球的半径，设=PA=y,由余弦定理求得BC,从而得到/+廿=%，再建立三棱锥

44

P-ABC的体积关于)，的函数关系式，再运用导数法求最值，即可得到答案.

解：设球的半径为R,

由4兀/?2=81TI■可得球的半径为R=

设AB=x,PA-y,则4C=bx，

由余弦定理可得EC?=AB2+AC2-2AB-ACcosAC=x2,所以BC=%.

将三棱锥P-力BC补成一个以△ABC外接圆面为底面，PA为高的圆柱，

则有R2=r2+g)2,其中「是△ABC外接圆的半径，2r=一与/=2加

sinz.BAC

即丁=%,h=PA=y,所以/+匕=巴.

44

三棱锥P—4BC的体积为

11V3,

Vv3x-sin30°•y=—x2y

=*6一?方=*(一y+80)，

V'=*(-3y2+81),

由U'>0可得0<丫<38，函数单调递增，

由,<0可得y>3g,函数单调递减，

所以当y=3VW,丫有最大值八泉

故答案为2.

O

24.答案：(1)60；

(2)0.224；

⑶条

(4)(-8,-3]U(3,+8)

解析:

(1)

本题考查二项式展开式特定项的求法，属于基础题.

利用通项公式求解即可.

6123rr

解：(2/+9)6的展开式的通项公式为：味.26-rx2(6-r).x-ry-r=禺•2^•X-y-,

若为不含X