人教版数学高一-必修2学案 直线与平面平行的判定

2.2.1直线与平面平行、平面与平面平行的判定

匿匾］施画

线面平行的判定定理面面平行的判定定理

平面外一条直线与此一个平面内的两条相

平面内的一条直线平交直线与另一个平面

文字叙述

红，则该直线与此平面平行,则这两个平面

平行平行

个？

答案：两个

练习2:若平面a内有直线b与a平行，那么a与a的位置关系如何？

答案：a〃a或aUa

练习3:直线与平面相交时，平面内是否有与该直线平行的直线？

答案：没有

练习4：直线与平面内无数条直线都平行能否保证该直线与这个平面

平行?

答案：不能

练习5:如果一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，能否保证

两个平面平行？

答案：不能

练习6:两个平面相交，其中一个平面内是否有两条直线与另外一个平

面平行？

答案：有

»思考应用

你能证明线面平行的判定定理吗？

证明：假设直线a与平面a不平行，VaCa,

・・・a与平面a相交，不妨设aDa=O,AOGa,OGa.

Va/7b,；.O-b,在平面a内过O点作c〃b,

VOGa,.\anc=O.

•；c〃b,a〃b,.\c//a,与aCc=O矛盾.

・•・假设不成立，故直线a〃平面a.

画画画园

1.若1〃平面a,mCa,贝！)1与m的关系是(0)

A.\//mB.1与m异面

C.irimW。D.irim=0

解析：1与m可以异面或平行，即IGm=0.

2.下列选项中能得到平面a〃平面P的是(D)

A.存在一条直线a,a/7a,a〃B

B.存在一条直线a,aUa,a〃B

C.存在两条平行直线a,b,aCa,buB,a〃B,b//a

D.存在两条异面直线a,b,aUa,bUB,a〃B,b〃a

解析：根据两个平面平行的判定定理进行判定，将两条异面直线a,b

平移到一个平面，则此平面与a和P都平行，于是a和0平行.

3.下列说法中正确的个数是(4)

①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；②两个平面没有公共

点，那么这两个平面平行；③如果两条直线都平行于另一个平面，那么这

两条直线平行；④两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行.

A.1个3.2个

C.3个D.4个

解析：①③④错，②正确.

AMAN

4.如图，在空间四边形ABCD中，M£AB,N£AD,若疝=而，

则直线NM与平面BDC的位置关系为平行.

AMAN

解析：连接BD,♦••而R=而，・・・MN〃BD.

又•.•MN6平面BDC,BDU平面BDC,

•'.MN〃平面BDC.

题型一直线与平面平行判定定理的应用

题型二平面与平面平行判定定理的应用

题型三线面平行、面面平行的综合应用

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1.a、b、c为三条不重合的直线，a,B,Y为三个不重合的平面，

现给出下列命题：

a〃丫1a//cla〃y

①心〃»a〃b；②。〃2ci〃8；③pa〃a.

b〃yj0〃cja//yj

其中正确命题的个数是(4)

A.0个B.1个

C.2个0.3个

解析：①错，a与b可平行、相交、异面.

②错，c可平行于a与p的交线.

③错，aua也可能.

2.如图，长方体ABCD-AiBiGDi中，与BC平行的平面是;

与BCi平行的平面是；与平面AiCi和平面AiB都平行的棱是

解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面AiG

与平面ADi；与BC平行的平面是平面ADi；由于平面AiCi与平面AiB

的交线是AiBi,所以与其都平行的棱是DC.

答案：平面AiCi与平面AD］平面ADiDC

3.经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作(。

A.0个8.1个

C.0个或1个D.1个或2个

解析：连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线

的平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平面有。个.故选C.

4.经过两条异面直线a、b之外的一点P,可作个平面与a、

b都平行.

答案：1

5.(1)直线在平面外，这条直线一定与平面平行对吗？

(2)直线与平面平行，那么该直线与平面内每条直线都平行对吗？

(3)直线与平面平行，那么该直线与平面内每条直线都没有公共点对

吗？

(4)三棱柱的棱和面之间可以形成多少对线面平行？

(5)正方体的棱和面之间可以形成多少对线面平行？

答案：⑴错⑵错(3)对(4)9对⑸24对

6.正四棱柱ABCD-AiBiGDi中，E是DDi的中点.

求证：BDi〃平面ACE.

证明：如右图所示，连接BD,交AC于点O,则O是BD的中点，连

接OE,因为E是DDi的中点，EO〃BDi,因为BDQ平面ACE,EOU平

面ACE,所以BDi〃平面ACE.

画画瑁圆

7.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O,M

为PB的中点，给出以下结论：①OM〃PD；②OM〃平面PCD；③OM〃

平面PDA；④OM〃平面PBA；⑤OM〃平面PBC,其中正确的个数有（0

解析：由题意知，OM〃PD,则OM〃平面PCD,且OM〃平面PDA.

8.如图所示，已知四棱锥PABCD底面ABCD为平行四边形，E,F

分别为AB,PD的中点.求证：AF〃平面PCE.

证明：如图所示

取CD中点M,连接MF,MA,则在4PCD中，MF/7PC,

又MFQ平面PCE,PCU平面PCE,

，MF〃平面PCE.

又TABCD为平行四边形，E,M分别为AB,CD中点，

.\AE^CM.

工四边形EAMC为平行四边形，・・・MA〃CE,又MAC平面PCE,CE

U平面PCE.

JMA〃平面PCE.

又MADMF=M,・•・平面MAF〃平面PCE.

又TAFU平面MAF,，AF〃平面PCE.

9.在正方体ABCDAiBiGDi中，M,N,E,F分别是棱AiBi,A1D1,

BiCi,C1D1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：平面AMN〃平面OEF.

证明：连接AiCi交EF于点G,交MN于点H,连接AC,显然O为

AC的中点.

在平面AiACC中，

VA1C1/7AC,

AGH/7AO.

VM,N,E,F分别是AiBi,AiDi,BiCi,C1D1的中点，GH=1AICI,

AO=|AC,/.GH=AO.

连接AH,OG,则四边形AOGH是平行四边形.

AAH/7OG.

又YOGU平面OEF,AHQ平面OEF.

，AH〃平面OEF.

连接BiDi,则MN〃BiDi,EF/7B1D1,

Z.MN/7EF.

又丁FEU平面OEF,MN。平面OEF.

，MN〃平面OEF.

又MN,AHU平面AMN,且MNCAH=H,

，平面AMN〃