高中数学课时作业五十三角函数模型的简单应用湘教版必修第一册

课时作业（五十）三角函数模型的简单应用

［练基础］

1.电流/（A）随时间乂s）变化的关系是/=3sin100Jit,te［0,+«，）,则电流/变

化的周期是（）

11

A.—B.50C.yrrD.100

50100

2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单

价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足y=500sin（ox+0）+9

500（«>0）,已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.

X12

y100009500

则此楼群在第3季度的平均单价大约是（）

A.10000元B.9500元

C.9000元D.8500元

3.如图，单摆离开平衡位置。的位移s（单位：cm）和时间乂单位：s）的函数关系为s

=6sin（2m2+看），则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（）

A.2sB.1s

11

-S-

2D.4s

4.设尸/'（力是某港口水的深度以米）关于时间t（时）的函数，其中0WCW24,下表是

该港口某一天从0时至24时记录的时间力与水深y的关系：

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数y=#+/sin（。*+。）的图象,

下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）

JI

A.y=12+3sin~t,[0,24]

B.y=12+3sinK+五），te[0,24]

JI

C.y=12+3sin~t,力£[0,24]

（JIJIA

D.y=12+3sin[访方+万＞te[0,24]

5.改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务.某

地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路.平面示意图如图所

示，道路%长度为8(单位：百米)，以是函数y=loga(x+6)图象的一部分，是函数p

0＜；■，[4,8])的图象，最高点为彳5,4口，

=Msin(GX+。)G＞0,

则道路如6。所对应函数的解析式为()

V百米

4B

Z

\o~X/百米

(log/3(x+l),0«4

A.kq4yr./兀-y),44iW8

〔3‘in(6]

flogy3(-r+l),09V4

B.4疝./7T,

■^),4＜久＜8

O/

pog夕(2十1),0＜久＜4

C.V=q./7t

[3sin(6"

0/

flog「(2+1),0〈1r＜4

D.V={46'./7V

-

[3sm(6-■Z),4

J'6.

tiz

（多选）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒

针针尖位置为点-(X,力.若初始位置为点秒针从&(规定此时2=0)开始沿顺

时针方向转动，则点户的纵坐标y与时间力的函数关系式可能为()

(JIJI、

A.y=2sin1—而%+~§-J

(jiJIA

B.y=-sin\^t-

(JIJIA

“sin厂才+可

(JIJIA

D.尸cos

7.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈/(x)=/sin

(ox+0)+(〉O,。〉0,|。|〈意的模型波动(X为月份)，已知3月份达到最高价9千

元，9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为元.

8.某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acos

JI

石(X—6)(x=l,2,3,…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃,12

月份的月平均气温最低，为18℃,则10月份的平均气温为℃.

9.已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离尔cm)与

时间t(s)的函数关系式为人=3sin1力+高.

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标.

10.

如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=4sin（。了+。）+b.

（1）求这一天最大的温差；

（2）求这段曲线的函数解析式.

[提能力]

11.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为：辆/分，上班高峰期

某十字路口的车流量由函数户（8=50+4sin：（0WtW20）给出，户㈤的单位是辆/分，大的

单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的（）

A.[0,5]B.[5,10]

C.[10,15]D.[15,20]

12.

（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自

然和改造自然的象征，如图是一个半径为"的水车，一个水斗从点2（3,—3线）出发，沿

圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过2秒后，水斗旋转到尸点，设点

〃的坐标为（x,y）,其纵坐标满足y=F（»=Asin（32+0）（t20,3＞0,|。I〈2），则

下列叙述正确的是（）

A.（P=~—

O

B.当大e[0,60]时，函数y=f（。单调递增

C.当te[0,60]时，点户到x轴的距离的最大值为3^3

D.当2=100时，|处|=6

13.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：户=/sin力+2）+60（美

元）（给0,。＞0）,现采集到下列信息：最高油价80美元,当t=150（天）时达到最低油价,

则3的最小值为.

14.如下图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于

水平位置.风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片

的端点尸离地面距离为米；风车翼片的端点离地面距离尔米）与启动时间乂分钟）

之间的函数关系式为.

15.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每口分钟转1圈，筒车的轴心。距水面

的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒必到水面的距离为d（单位：米）（在水面下，则为负

数）.若以盛水筒/刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间乂单位：分钟）之间的关系为d

JIJI

=Asin（o0）+4（4＞0,。＞0,-^~＜。＜万）.

⑴求4。，。，4的值;

（2）求盛水筒/出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

（3）某时刻点单位：分钟）时，盛水筒始在过点。的竖直直线的左侧，到水面的距离为

JI

5米，再经过百分钟后，盛水筒「是否在水中？

［培优生］

16.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐,

他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期

性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=f(x)=Asin(ox+0)

+Z)U>0,O>0,0<|0I<冗)近似描述，求该函数解析式；

(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐?

课时作业(五十)三角函数模型的简单应用

,2Ji1

1.解析：?=]oo口=而故选A，

答案：A

2.解析：因为y=500sin(3才+0)+9500(3>0),所以当£=1时，500sin(G+

0)+9500=10000；当x=2时，500sin(2g+。)+9500=9500,即

[sin(2g+。)=0,

[sin(3+0)=1,

2g+0="兀,勿£Z,

所以，JI易得3G+0=—?+24兀，kGZ.

口+。=5+2刀兀,7?ez.2

又当x=3时，y=500sin(3G+。)+9500,所以尸9000.

故选C.

答案：C

3.解析：由题意，知周期7=|亍=1(s),从最右边到最左边的时间是半个周期，为ts.故

选C.

答案：C

4.解析：由表知周期7=15—3=12,排除C、D,

又t=3时，y=15,排除B.故选A.

答案：A

5.解析：由三角函数的图象知〃一芈，

O

Tr2兀兀

/一85—3,即7—12,贝!J—12,得公一日,

4g6

贝!1y--^-sin卜工+0),

由函数过《5,明，

得乎sinQX5+0)—半，得sin+0)=1,

5JIJiJI

即「+0—2A兀+,kRZ,得0—2A兀,kRZ

6zQ3o

,JIJI

*.*O<—，*'•当k=0时，O=—―,

/o

4A/3(兀兀、

则sin—I,(4WxW8),排除B,D,

,4m/兀.几、4m兀4mA/S

当rzx=4时，y=-sinT-X4——sin-=--X^-=2,

即2(4,2),

尸loga(x+6)过(0,0),则loga8=0,则6=1,

则尸loga(4+l)=loga5=2,得a=(,

则尸logf(x+l),(0WxV4),排除A,

故选C.

答案：C

2兀兀

6.解析：•函数的周期为7=60,工G=—^~=彳，

1JU

设函数解析式为尸sin1舒+。)(顺时针转动为负方向)

・・,初始位置为总［；,书，

.•・方=0时，P=乎，

Asin。=坐，。可取告，

(JIJI\

函数解析式为y=sin］一而力+句・

由诱导公式可得函数解析式为y=cos句.

故选CD.

答案：CD

7.解析：由最局价和最低价可求得：A=-------------------=2000,：.B=9000-2000

=7000

2兀兀

又T=—=2义(9-3),・・・3=三

3O

由r(3)=2OOOsin停X3+。)+7000=9000得：。=0

jtx7兀

：.f{x}=2OOOsin—+7000,A/(7)=2OOOsin—+7000=6000

00

答案：6000

JI

8.解析：根据题意得28=a+418=a+/cos石"(12—6)=a~A,

解得a=23,A=5,

JI

所以P=23+5cos-(^r—6),

JI2兀

令x=10,得y=23+5cos(10—6)=23+5cos—“=20.5.

答案：20.5

9.解析：（1）令t=0,得分=3sin^=等，所以开始振动的位置为（o,

Ji/JiA

（2）由题意知，当方=3时，t的最小值为石，即所求最高点为仁，3）当人=—3时,

力的最小值为5土Ji，即所求最低点为/5吐兀，-3J、.

10.解析：（1）由图象得这一天的最高温度是一2℃,最低温度是一12°C,

所以这一天最大的温差是一2—（―12）=10（℃）.

A~\~b——2,4=5,

（2）由（1）得解得

—A+b=—⑵b=~l

2JIJi

由图象得函数的周期T=2X（14—6）=16,则丁=16,解得。=芍.

3o

所以y=5sin百1+6）—7.

由图象知点（6,—12）在函数的图象上，

则一12=5sinK~X6+。］一7,整理得sin。）=一1，

~3兀3兀3兀,3兀

所以0=/一+24兀，kRZ,即0=~^+2«兀，kGZ,则可取。=一^.

所以这段曲线的函数解析式是y=5sin6力十丁^一7（6W届14）.

JIt兀

11.解析：由24兀一万W5W24J1+5，Aez,得4«冗一兀+兀（A£Z）,由

于0WZW20,所以0WK兀或3兀WZW5兀，从而车流量在时间段［10,15］内是增加的.

答案：C

12.解析：由题意，R=1片+（-3第）2=6,7=120=，口=而，当力=0时，y

=f（6=—3^/3,

代入可得-3/=6sin。，:|0|〈万，・，・。=一5.故A正确；

―JIJI兀兀兀2兀

所以f{t}=6sin（—t——）,当［0,60］时，—t——―1，,所以函数p

6036。3JJ_

=F（力在［0,60］不是单调递增的，故B不正确；

JIjiit2兀IIII

因为示7一'Te一~71一丁，旧则=花|=6,所以点户到X轴的距禺的最大值为6,

003oo

故C不正确；

当力=100时，而力—此时尸一3/，点M—3,—3^/3）,|必|=I3—（—3）|

=6,故D正确，

故选AD.

答案：AD

13.解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：-Asin（。口力+亍）+

60,最高油价80美元，

所以4=20.当2=150（天）时达到最低油价，

即sin（150。Ji+了）=-1,

JIJI

此时150coJI-\--=2k^——,kGZ,

因为G>0,所以令A=l,

JIJI1

得1503兀+7=2冗一"］，解得G=诬.

故G的最小值为五

口采.120

JI

14.解析：由题意，7=12,J口=二~,设广（方）=/sin（口方+。）+6（/>0）,

6

伪+方

则［―4+=61=82,,

.\A=8,方=10,\,当力=0时，广（力）=10,；♦0=0,

JI

Af）=8sin—f+10,当方=17时，A17）=14.

6

JI

答案：14方=8sin工-方+10（120）

6

15.解析：⑴由题意，d=Asin（g1+0）+4,

［A+K=&

由图可知d的最大值为6,最小值为一2,即一“,解得4=4,K=2,

〔一/+«=—2

.每五分钟转1圈,

2兀

，函数的周期为7=--G-)--=兀，可得3=2,可得d=4sin(21+。)+2,

二•依题意，可知当方=0时，d=0,即0=4sin。+2,可得sin。=一；，

JIjiji

由--0<亏，可得。=一'—.

226

(2)由(1)可得d=4sin(2力一，+2,

,(兀\*(兀\jin,,ji

令6=4sin2力一不~+2,得sin2方一不~=1,取22