高中数学人教A版2019必修 第一册 《弧度制》

《5.L2弧度制》教学设计

教学目标

1.根据函数概念中强调函数必须是实数集到实数集的对应，体会弧度制引

入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量.

2.在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式

能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加

深弧度制概念的理解.在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理

的严谨性.

3.体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用180。=nrad进行弧度制

与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1

弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时能理解角与实数之间

的一一对应关系.

教学重难点

教学重点：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制

与弧度制的互化.

教学难点：弧度制概念的理解.

课前准备

计算器、PPT课件.

教学过程

（-）创设情境

问题1：我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中

却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明.

预设的师生活动：学生针对老师提出的问题进行思考与回答.

预设答案：因为用了不同的单位.再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不

同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制.

设计意图：通过生活中的发现，度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，

让学生体会度量一样东西可以有多种度量制.

（二）新知探究

1.弧度制

问题2：度量角除了角度制，还有什么单位制呢？

追问1：如图1,射线如绕端点。旋转到如形成角。.在

旋转过程中，射线如上的点P（不同于点。）的轨迹是一

条圆弧，这条圆弧对应于圆心角a.设,。片r,点

P所形成的圆弧尸《的长为，回忆初中所学知识，弧长/欠?

如何用圆心角。来表示？%\

OPA

预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论.

预设答案：/谭

追问2：如图2,在射线处上任取一点0（不同于点0

和月），0吐.在旋转过程中，点。所形成的的圆弧的/\\

长为4,那么义与巧的比值是多少？你能得出什么结论？。PQA

图2

预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论.

预设答案：=;圆心角a所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无

rx180

关，只与a的大小有关，也就是说，这个比值随a的确定而唯一确定.因此可以

用弧长和半径的比值表示圆心角.

设计意图：通过复习初中所学知识可知，使学生得到弧长与半径的比只与角

的大小有关，推广到一般也成立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新

概念，使学生明白新概念的由来和定义的合理性.

追问3：结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是1弧度角吗？

预设的师生活动：学生用自己的语言表述清楚即可，教师在学生表述的基础

上进行完善.

预设答案：我们规定：

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad

表示，读作弧度.

设计意图：引导学生得出定义，体会定义产生的背景、原由及过程.

追问4：（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆.既然角的大小与半径无关,

那么在单位圆中如何确定1rad的角呢？

（2）在半径为r的圆中，弧长为1的弧所对的圆心角a的弧度数是多少？

（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？

预设的师生活动：学生思考后回答.

预设答案：得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就

是1rad（如图3）；在半径为r的圆中同=：；类比角度制，

«的正负由角a的终边的旋转方向决定.

设计意图：深化理解弧度的定义.在单位圆中，直观感受

1rad的角的大小，体会1rad角的几何表示；进一步能在一般圆中求得角的弧

度数，使学生通过图形获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力.

追问5：请你说说弧度制与角度制有哪些不同？

预设的师生活动：学生展开讨论之后总结提炼.

预设答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；

第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；

第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的

1

3601

第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大

小无关的定值，等等.

设计意图：概念辨析，深化理解.

2.角度制与弧度制的换算

问题3既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？

你认为在换算的过程中最为关键的是什么？

预设的师生活动：学生思考后回答，得出答案.

预设答案：这两种角度度量制之间的关系是：360°=2nrad.其中，最为

基础也是最为关键的是180°rad,即1°=，-rad,1rad=f—~

180<180j

57.30°.

设计意图：通过思考，让学生掌握弧度和角度换算的方法.体会同一个数学

对象用不同方式表示时，它们之间的内在联系.认识这种联系性是数学研究的重

要内容之一.

例1按照下列要求，把67°30,化成弧度：

(1)精确值;(2)精确到0.001的近似值.

预设的师生活动：学生自行完成并回答问题.

预设答案：⑴因为67。30'=f—V,所以67。30zrad=3

<2J2ll80j8

兀rad.

（2）利用计算器有

日口1188「3]。EE2I1]=履Bi178097245.

因此，67°30z^1.178rad.

设计意图：在换算中学会根据要求的精度不同，选择不同的计算方式.

例2将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.

预设的师生活动：使用计算器完成.

预设答案：利用计算器有

SHIFT

巨五

E•「1IqEfll2I」179.9087477.

因此，3.14rad心179.909°.

设计意图：学会利用计算器完成这种繁杂的计算问题.

追问：（1）67°30,能直接化成弧度吗？你是怎么做的？应该注意什么问

题？

（2）相互交流一下，如何使用计算机完成弧度制与角度制的换算？

预设的师生活动：学生独立完成角度制与弧度制的换算的精确值，之后交流

展示用计算机完成弧度制与角度制换算的近似值.

设计意图：通过简单应用，熟悉弧度制、熟悉弧度制与角度制的换算.

学生可能出现的问题：第一，进行角度制与弧度制的换算不够熟练；第二,

角度转化弧度时需要把含分或秒的角度统一为度的单位；第三，计算机完成弧度

制与角度制换算的近似值时，操作需要一个熟悉的过程.

练习填写特殊角的角度数与弧度数的对应表(课本174页).

120135150360

度0°30°45°

OOOO

兀兀3兀

弧度n

2~2

预设的师生活动：快问快答，进行训练.

预设答案：

120135150180270360

度0°30°45°60°90°

OOOOOO

717171兀2兀3兀5兀3兀

弧度0JT2兀

64323462

设计意图：这些角是今后常用的特殊角，不仅要求学生会换算，而且要让学

生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值.另外，熟练角度和弧度的换算，进

一步加深对180°=“rad的理解和掌握.同时进一步体会角的概念推广后，无

论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集"之间建立一一对应关系.

例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：

(1)1=aR.(2)S=-a宜;(3)S=-1R

22,

其中《是圆的半径，a(0<a<n)为圆心角，/是扇形的弧长，S是扇形

的面积.

预设的师生活动：学生学生利用弧度制证明关于扇形的公式，教师进行点评

及板书.

预设答案：（1）由公式|。1=，可得片a兄

r

下面证明（2）（3）.

由于半径为圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是人型,

180

2

年鹏,将〃。转换为弧度，得a士,于是年工aR.将片aH代入上式，

3601802

即得义工/兄

2

设计意图：体会弧度制下的扇形弧长、面积公式的简洁美，这是引入弧度制

的一个理由.

（三）归纳小结

问题4通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？

追问：你觉得这样定义弧度制合理吗？在度量角的时候你觉得需要注意哪些

问题？你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？你能

画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？

预设的师生活动：学生自主总结，并作出回答.

预设答案：圆心角。所对的弧长与半径的比值随。的确定而唯一确定，因此

利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的；在度量角的时候需要注意：

联系两种度量制的桥梁是360°=2兀rad；要注意防止出现角的两种度量制混用

的现象，等等；用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简

单,这是引入弧度制带来的一个便利.实际上,角度制下角的度量制是六十进制，

与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”二~.而弧

180

度制下角度与长度、面积一样，都