2023年有理数相关能力提高及竞赛训练试题

有理数相关能力提高及竞赛训练练习数形结合谈数轴一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来解决几何问题；反过来，也借助于几何图形来解决代数问题，寻找解题思绪，这种数与形之间的互相作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，重要体现在以下几个方面：1、运用数轴能形象地表达有理数；2、运用数轴能直观地解释相反数；3、运用数轴比较有理数的大小；4、运用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反馈1、运用数轴能形象地表达有理数；例1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（）A．B．C．D．拓广训练：1、如图为数轴上的两点表达的有理数，在中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）A．1B．2C．3D．43、把满足中的整数表达在数轴上，并用不等号连接。2、运用数轴能直观地解释相反数；例2：假如数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为。拓广训练：1、在数轴上表达数的点到原点的距离为3，则2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、运用数轴比较有理数的大小；例3：已知且，那么有理数的大小关系是。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：若且，比较的大小，并用“”号连接。例4：已知比较与4的大小拓广训练：1、已知，试讨论与3的大小2、已知两数，假如比大，试判断与的大小4、运用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）A．B．C．D．拓广训练：1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为。2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是。①②③④3、已知有理数在数轴上的相应的位置如下图：则化简后的结果是（）（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）A．B．C．D．三、培优训练1、已知是有理数，且，那以的值是（）A．B．C．或D．或10A2B5C2、（07乐山）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．若点表达的数为1，则点10A2B5CＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D相应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（）A．A点B．B点C．C点D．D点4、数所相应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（）A．B．C．D．不拟定的5、不相等的有理数在数轴上相应点分别为A，B，C，若，那么点B（）A．在A、C点右边B．在A、C点左边C．在A、C点之间D．以上均有也许6、设，则下面四个结论中对的的是（）（全国初中数学联赛题）A．没有最小值B．只一个使取最小值C．有限个（不止一个）使取最小值D．有无穷多个使取最小值7、在数轴上，点A，B分别表达和，则线段AB的中点所表达的数是。8、若，则使成立的的取值范围是。9、是有理数，则的最小值是。10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：且求的值。11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表达实数，A、B两点这间的距离表达为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边；②如图3，点A、B都在原点的左边；③如图4，点A、B在原点的两边。综上，数轴上A、B两点之间的距离。（2）回答下列问题：①数轴上表达2和5两点之间的距离是，数轴上表达-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表达1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表达和-1的两点A和B之间的距离是，假如，那么为；③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是；④求的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，经常碰到具有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：2、恰本地运用绝对值的几何意义从数轴上看表达数的点到原点的距离；表达数、数的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质①②③④⑤⑥二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例1：已知且那么。拓广训练：1、已知且，那么。（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-132、恰本地运用绝对值的几何意义例2：的最小值是（）A．2B．0C．1D．-1解法1、分类讨论当时，；当时，；当时。比较可知，的最小值是2，故选A。解法2、由绝对值的几何意义知表达数所相应的点与数1所相应的点之间的距离；表达数所相应的点与数-1所相应的点之间的距离；的最小值是指点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知当时，的值最小，最小值是2故选A。拓广训练：已知的最小值是，的最大值为，求的值。三、培优训练1、如图，有理数在数轴上的位置如图所示：则在中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A．3个B．1个C．4个D．2个2、若是有理数，则一定是（）A．零B．非负数C．正数D．负数3、假如，那么的取值范围是（）A．B．C．D．4、是有理数，假如，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）也许是负数，其中（）（第15届江苏省竞赛题）A．只有（1）对的B．只有（2）对的C．（1）（2）都对的D．（1）（2）都不对的5、已知，则化简所得的结果为（）A．B．C．D．6、已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．97、已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（）A．唯一拟定的值B．3种不同的值C．4种不同的值D．8种不同的值8、满足成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）A．B．C．D．9、若，则代数式的值为。10、若，则的值等于。11、已知是非零有理数，且，求的值。12、已知是有理数，，且，求的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简具有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数提成不反复且不漏掉的如下3种情况：（1）当时，原式=;（2）当时，原式=；（3）当时，原式=。综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：分别求出和的零点值；（2）化简代数式14、（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，规定A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最佳？16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设立一个零件供应站P，使这台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简朴的情形：①②如图①，假如直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在和之间的任何地方都行,由于甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离.如图②,假如直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P设在中间一台机床处最合适，由于假如P放在处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离；而假如P放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D近段距离，这是多余来的，因此P放在处是最佳选择。不难知道，假如直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）：有机床时，P应设在何处？问题（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：一方面，有理数计算每一步要拟定符号；另一方面，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不仅规定我们能对的地算出结果，并且要善于观测问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、运用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈1、运用运算律：加法运算律乘法运算律例1：计算：解：原式=拓广训练：1、计算（1）（2）例2：计算：解：原式=拓广训练：计算：2、裂项相消（1）；（2）；（3）（4）例3、计算解：原式===拓广训练：1、计算：3、以符代数例4：计算：解：分析：令=，则原式=拓广训练：1、计算：4、分解相约例5：计算：解：原式===三、培优训练1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则=。2、计算：（1）=；（2）=。3、若与互为相反数，则=。4、计算：=。5、计算：=。6、这四个数由小到大的排列顺序是。7、（2023“五羊杯”）计算：=（）A．3140B．628C．1000D．12008、（2023“希望杯”）等于（）A．B．C．D．9、（2023“五羊杯”）计算：=（）A．B．C．D．10、（2023鄂州中考）为了求的值，可令S＝，则2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理计算出的值是（）A、B、C、D、11、都是正数，假如，，那么的大小关系是（）A．B．C．D．不拟定12、设三个互不相等的有理数，既可表达为的形式，又可表达为的形式，求的值（“希望杯”邀请赛试题）13、计算（1）（2023年第二十届“五羊杯”竞赛题）（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）14、已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，求的值15、已知，求的值（2023，香港竞赛）16、（2023，无锡中考）图1是由若干