山东省青岛市四区联考2024年中考猜题数学试卷含解析

山东省青岛市四区联考2024年中考猜题数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为()A．3.5 B．3 C．4 D．4.52．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（）A． B． C． D．33．从，0，π，，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A． B． C． D．4．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A．60° B．35° C．30.5° D．30°5．在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于于x轴对称的△A2B2C2，则点B的对应点B2的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A． B． C． D．8．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．10 B．12 C．20 D．249．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根10．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（）学生数（人）5814194时间（小时）678910A．14，9 B．9，9 C．9，8 D．8，9二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____．12．如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点．设，，那么向量用向量表示是________．13．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______.14．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是x=-2,x=4，则的值为________.15．如图，在平面直角坐标系中，矩形活动框架ABCD的长AB为2，宽AD为，其中边AB在x轴上，且原点O为AB的中点，固定点A、B，把这个矩形活动框架沿箭头方向推，使D落在y轴的正半轴上点D′处，点C的对应点C′的坐标为______．16．已知扇形AOB的半径OA=4，圆心角为90°，则扇形AOB的面积为_________.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算：÷+8×2﹣1﹣（+1）0+2•sin60°．18．（8分）如图，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.求证：是⊙的切线；若,且,求⊙的半径与线段的长.19．（8分）如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°,∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；②如图丙，在顶点G运动的过程中，若，探究线段EC、CF与BC的数量关系；（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=，当＞2时，求EC的长度．20．（8分）先化简，再求代数式（）÷的值，其中a=2sin45°+tan45°．21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BC=6，AC=4CE时，求⊙O的半径．22．（10分）解方程：=1．23．（12分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．24．如图1，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解析】

解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝10°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝10°，∴∠A＝∠ABD，∴BD＝AD＝6，∵在Rt△BCD中，P点是BD的中点，∴CP＝BD＝1．故选B．2、B【解析】

根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，设a=x,则c=3x,b==2x.即tanA==.故选B.【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.3、C【解析】

根据有理数的定义可找出在从，0，π，，6这5个数中只有0、、6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．【详解】∵在，0，π，，6这5个数中有理数只有0、、6这3个数，∴抽到有理数的概率是，故选C．【点睛】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键．4、D【解析】

根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理即可解答.【详解】连接OB，∵点B是弧的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，故选D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键在于利用好圆周角定理.5、C【解析】：∵点的横纵坐标均为负数，∴点（-1，-2）所在的象限是第三象限，故选C6、D【解析】

首先利用平移的性质得到△A1B1C1中点B的对应点B1坐标，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2中B2的坐标，即可得出答案．【详解】解：把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，此时点B（-5，2）的对应点B1坐标为（-1，2），则与△A1B1C1关于于x轴对称的△A2B2C2中B2的坐标为（-1，-2），故选D．【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．7、C【解析】

根据已知三点和近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选：C，【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．8、B【解析】过点A作AM⊥BC于点M，由题意可知当点P运动到点M时，AP最小，此时长为4，观察图象可知AB=AC=5，∴BM==3，∴BC=2BM=6，∴S△ABC==12，故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AC的长，以及点P运动到与BC垂直时最短是解题的关键.9、B【解析】试题分析：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△=10、C【解析】

解:观察、分析表格中的数据可得：∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，∴众数为1．∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2，∴中位数为2．故选C．【点睛】本题考查（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为奇数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、y=1（x﹣3）1﹣1．【解析】

抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．【详解】∵y=1x1的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣1），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=1（x﹣3）1﹣1．故答案为y=1（x﹣3）1﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．12、【解析】分析：根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可．详解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，FC=DC，∴EF=（AD+BC）．∵BC=3AD，∴EF=（AD+3AD）=2AD，由三角形法则得，=+=2+===2+．故答案为：2+．点睛：本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半．13、【解析】

要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．

∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，

∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，

∴AC2=22+22=8，

∴AC=2dm．

∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．

故答案为：4dm【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．14、-10【解析】

根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n，求出即可．【详解】∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为x=-2,x=4，∴−2+4=−m，−2×4=n，解得：m=−2，n=−8，∴m+n=−10，故答案为：-10【点睛】此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键15、（2，1）【解析】

由已知条件得到AD′=AD=，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′==1，于是得到结论．【详解】解：∵AD′=AD=，AO=AB=1，∴OD′==1，∵C′D′=2，C′D′∥AB，

∴C′（2，1），

故答案为：（2，1）【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．16、4π【解析】根据扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为，故答案为4π.三、解答题（共8题，共72分）17、6+．【解析】

利用负整数指数幂、零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式=+8×﹣1+2×=3+4﹣1+=6+．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18、（1）证明参见解析；（2）半径长为，=.【解析】

（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，连结，则，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出结论；（2）由得到，设，则.，，，由，解得值，进而求出圆的半径及AE长.【详解】解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切线；（2）在和中，∵，∴.设，则.∴，.∵，∴.∴，解得=，则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为，=.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.19、（1）证明见解析（2）①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝BC.②CE＋CF＝BC（3）【解析】

（1）利用包含60°角的菱形，证明△BAE≌△CAF，可求证;(2)由特殊到一般，证明△CAE′∽△CGE，从而可以得到EC、CF与BC的数量关系(3)连接BD与AC交于点H,利用三角函数BH,AH,CH的长度，最后求BC长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB=BC，AB=AC，∵∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，,∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF，∴EC＋CF＝EC＋BE＝BC，即EC＋CF＝BC；（2）知识探究：①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝BC.理由：如图乙，过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．

类比（1）可得：E′C+CF′=BC，

∵AE′∥EG，

∴△CAE′∽△CGE，，同理可得：，，即；②CE＋CF＝BC.理由如下：过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′.类比（1）可得：E′C＋CF′＝BC，∵AE′∥EG，∴△CAE′∽△CAE，∴，∴CE＝CE′，同理可得：CF＝CF′，∴CE＋CF＝CE′＋CF′＝（CE′＋CF′）＝BC，即CE＋CF＝BC；（3）连接BD与AC交于点H，如图所示：在Rt△ABH中，∵AB＝8，∠BAC＝60°，∴BH＝ABsin60°＝8×＝，AH＝CH=ABcos60°＝8×＝4，∴GH＝＝＝1，∴CG＝4－1＝3，∴，∴t＝（t＞2），由（2）②得：CE＋CF＝BC，∴CE＝BC－CF＝×8－＝.【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形．20、，．【解析】

先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．【详解】解：原式当时原式【点睛】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．21、（1）AE与⊙O相切．理由见解析.（2）2.1【解析】

（1）连接OM，则OM=OB，利用平行的判定和性质得到OM∥BC，∠AMO=∠AEB，再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证；（2）设⊙O的半径为r，则AO=12﹣r，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12，易证△AOM∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解：（1）AE与⊙O相切．理由如下：连接OM，则OM=OB，∴∠OMB=∠OBM，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠EBM，∴∠OMB=∠EBM，∴OM∥BC，∴∠AMO=∠AEB，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠AMO=90°，∴OM⊥AE，∴AE与⊙O相切；（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴BE=BC，∠ABC=∠C，∵BC=6，cosC=，∴BE=3，cos∠ABC=，在△ABE中，∠AEB=90°，∴AB===12，设⊙O的半径为r，则AO=12﹣r，∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE，∴，∴=，解得：r=2.1，∴⊙O的半径为2.1．22、x=1【解析】

方程两边同乘转化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.【详解】解：方程两边同乘得:，整理，得，解这个方程得，，经检验，是增根，舍去，所以，原方程的根是．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是方程两边同乘分母的最简公分母化为整式方程然后求解，注意要进行检验.23、（1）；（2）.【解析】

（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是．24、（1）；（2），；（3）【解析】