2023-2024学年山东省青岛市即墨一中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省青岛市即墨一中高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z1−i=i，其中i为虚数单位，则z=(

)A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i2.下列说法正确的是(

)A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

B.过空间内不同的三点，有且只有一个平面

C.棱锥的所有侧面都是三角形

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台3.在△ABC中，若(a−acosB)sinB=(b−ccosC)sinA，则这个三角形是(

)A.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O′A′B′C′，其中梯形的上底长是下底长的12，若原平面图形OABC的面积为32，则O′A′的长为(

)

A.22 B.2 C.15.若θ∈(0,π4),tan2θ=cosθ2−A.34 B.14 C.586.在等腰直角△ABC中，斜边AC=22,M为AB的中点，D为AC的中点.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则MEA.−2 B.−32 C.−17.函数f(x)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2A.f(x)=sin(4x+π3) B.f(x)=sin8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有四个结论：

①AP与CM是异面直线；

②AP，MN，DD1A.1

B.2

C.3

D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(

)A.x=0.01

B.该样本数据的中位数和众数均为85

C.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改

D.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在[50,60)的学生4人10.已知函数f(x)=3sinωxcosωx−sinA.当ω=2时，x=524π是y=f(x)的一条对称轴

B.若|f(x1)−f(x2)|=2，且|x1−x2|min=π，则ω=12

C.11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,AA1=2AC=2BC=22,M,N，Q，G点分别为棱AA.直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为2

B.三棱锥P−MNA的体积与P的位置无关

C.若P为B1C1的中点，则过A，M，P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高(单位：cm)数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是______．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−2bsinC=0,B∈(0,π2),b=1,a=314.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PAD；

(2)若AB=AP=2，求点P到平面AMC的距离．16.(本小题15分)

已知向量a=(1,0)，b=(m,1)，且a与b的夹角为π4．

(1)求|a+2b|；

(2)若17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知c=2，且a2+b2=43S+4．

(1)求C18.(本小题17分)

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，|AD|=|DE|=4，|AB|=2，F为CD的中点．

(1)求证：AF//平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．19.(本小题17分)

在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，bsinA+atanAcosB=2asinC．

(1)求A；

(2)奥古斯丁⋅路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．

①用向量证明二维柯西不等式：(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)；

②已知三维分式型柯西不等式：y1,答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.158

13.32或14.16π

15.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，

因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，

因为AD//BC，所以AE⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，

又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

所以AE⊥平面PAD．

(2)解：因为AB=AP=2，所以AD=AC=2，AE=3，

由勾股定理知，PD=PC=22，

所以PM=2，

在△PCD和△PCM中，由余弦定理得，cos∠CPM=8+8−42×22×22=8+2−CM22×22×2，解得CM=2，

在△AMC中，AM=2，AC=CM=2，

所以S△AMC=1216.(1)解：向量a=(1,0),b=(m,1)，可得|a|=1,|b|=m2+1，且a⋅b=m，

因为a与b的夹角为π4，可得a⋅b|a|⋅|b|=m1×m2+1=22，

解得m=1或m=−1(舍)，所以b=(1,1)，则a+2b=(1,0)+2⋅(1,1)=(3,2)17.解：(1)∵S=12absinC,a2+b2=43S+4，

∴a2+b2=23absinC+4，

由余弦定理，得a2+b2−c2=2abcosC，

∵c=2，∴a2+b2=4+2abcosC，

∴cosC=318.(1)证明：如图取CE的中点G，连接FG、BG，F为CD的中点，

所以GF/​/DE且GF=12DE，

由AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

所以AB/​/DE，所以GF//AB，

又|AB|=12|DE|，所以|GF|=|AB|，

所以四边形GFAB为平行四边形，则AF/​/BG，

因为AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

所以AF//平面BCE；

(2)证明：因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

所以AF⊥CD，

因为DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，DE⊥AF，

因为BG/​/AF，所以DE⊥BG，BG⊥CD，

又CD∩DE=E，所以BG⊥平面CDE，

因为BG⊂平面BCE，

所以平面BCE⊥平面CDE；

(3)解：如图：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于点H，连接BH，

因为平面BCE⊥平面CDE，平面BCE∩平面CDE=CE，FH⊂平面CDE，

因为FH⊥平面BCE.所以∠FBH为BF和平面BCE所成的角，

因为|AD|=|DE|=4，|AB|=2，

则|FH|=|CF|sin45°=2，|BF|=|AB|2+|AF|2=4，

19.解：(1)依题意，sinBsinA+sinAtanAcosB=2sinAsinC，

即sinB+sinAcosAcosB=2sinC，

所以sinBcosA+sinA